SujetCorrigé

Petit devoir sur les suites

Sujet A

Durée : 45 min

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice 1 (5 points)

Chaque question est un questionnaire à choix multiples : plusieurs affirmations sont données, et vous devez à chaque fois dire si elles sont vraies ou fausses, sans justification.

Barème pour chaque question : 0.25 point par bonne réponse.

Question 1

On pose $u_n=8\times \dfrac 1{2^n}$

$(u_n)$ est décroissante.
$(u_n)$ est bornée.
$(u_n)$ tend vers +${\infty}$.
$u_n=4^n$.

Question 2

$(u_n)$ est une suite de nombres réels.

Si $(u_n)$ tend vers +${\infty}$, alors $(u_n)$ est croissante.
Si $(u_n)$ est bornée, alors $(u_n)$ ne tend pas vers $+{\infty}$.
Si $(u_n)$ n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$.
Si $(u_n)$ est croissante, alors $(u_n)$ tend vers $+{\infty}$.

Question 3

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, et pour tout $n$ , $u_n \leqslant v_n$.

Si $(u_n)$ tend vers +${\infty}$, alors $(v_n)$ tend vers +${\infty}$.
Si $(u_n)$ est croissante alors $(v_n)$ est croissante.
Si $(v_n)$ tend vers +${\infty}$, alors $(u_n)$ tend vers +${\infty}$.
Si $(v_n)$ est majorée alors $(u_n)$ est majorée.

Question 4

$(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites, et pour tout $n$ , $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ .

Si $(u_n)$ et $(w_n)$ tendent vers 0, alors $(v_n)$ tend vers 0.
Si $(u_n)$ tend vers 1 et $(w_n)$ tend vers 3, alors $(v_n)$ est convergente.
Si $(u_n)$ et $(w_n)$ sont bornées, alors $(v_n)$ est bornée.
Si $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent vers 0, alors $(w_n)$ tend vers 0.

Question 5

$(u_n)$ est une suite de nombres réels.

Si $(u_n)$ converge, alors $(u_n^2)$ converge.
Si $(u_n^2)$ converge, alors $(u_n)$ converge.
Si $(u_n)$ converge, alors $(u_n)$ est bornée.
Si $(u_n)$ est bornée, alors $(u_n)$ converge.

Exercice 2 (3 points)

À l'aide des théorèmes sur les limites de suites, déterminer :

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}-n$
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{n-3}{\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n}$
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n+1}\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3+n }\right)$

Exercice 3 (3 points)

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n=4-\dfrac{100}{n+2}$ .

Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $4-10^{-3}<u_n<4+10^{-3}$ .
Soit $\alpha$ un réel strictement positif, déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $4-\alpha<u_n<4+\alpha$ .
En déduire la limite de $u_n$ , à l'aide de la définition du cours.

Exercice 1

Question 1 : On pose $u_n=8\times \frac 1{2^n}$

$(u_n)$ est décroissante. Vrai
$(u_n)$ est bornée. Vrai
$(u_n)$ tend vers +${\infty}$. Faux
$(u_n)=4^n$ . Faux

Question 2 : $(u_n)$ est une suite de nombres réels.

Si $(u_n)$ tend vers +${\infty}$, alors $(u_n)$ est croissante. Faux
Si $(u_n)$ est bornée, alors $(u_n)$ ne tend pas vers $+{\infty}$. Vrai
Si $(u_n)$ n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$. Faux
Si $(u_n)$ est croissante, alors $(u_n)$ tend vers $+{\infty}$. Faux

Question 3 : $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, et pour tout $n$, $u_n\leqslant v_n$ .

Si $(u_n)$ tend vers +${\infty}$, alors $(v_n)$ tend vers +${\infty}$. Vrai
Si $(u_n)$ est croissante alors $(v_n)$ est croissante. Faux
Si $(v_n)$ tend vers +${\infty}$, alors $(u_n)$ tend vers +${\infty}$. Faux
Si $(v_n)$ est majorée alors $(u_n)$ est majorée. Vrai

Question 4 : $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites, et pour tout $n$, $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$.

Si $(u_n)$ et $(w_n)$ tendent vers 0, alors $(v_n)$ tend vers 0. Vrai
Si $(u_n)$ tend vers 1 et $(w_n)$ tend vers 3, alors $(v_n)$ est convergente. Faux
Si $(u_n)$ et $(w_n)$ sont bornées, alors $(v_n)$ est bornée. Vrai
Si $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent vers 0, alors $(w_n)$ tend vers 0. Faux

Question 5 : $(u_n)$ est une suite de nombres réels.

Si $(u_n)$ converge, alors $(u_n^2)$ converge. Vrai
Si $(u_n^2)$ converge, alors $(u_n)$ converge. Faux
Si $(u_n)$ converge, alors $(u_n)$ est bornée. Vrai
Si $(u_n)$ est bornée, alors $(u_n)$ converge. Faux

Exercice 2 (3 points)

Déterminer, en justifiant, les limites des suites ci-dessous :

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}-n$ (Pas de forme indéterminée)

Par produit et somme, on a $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }3n-1=+\infty$

donc, par inverse:

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{3n-1}=0$ puis,

$\left.\begin{matrix}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{3n-1}=0\\\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{10}=\sqrt{10}\end{matrix}\right\}$ par produit, on a $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}=0$.

$\left.\begin{matrix}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}=0\\\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }(-n)=-\infty\end{matrix}\right\}$ par somme, on a $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}-n=-\infty$
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{n-3}{\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n}$ Pour déterminer cette limite, il est nécéssaire de déterminer le signe du dénominateur $\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n$.

Pour tout n entier naturel non nul, $\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n=\dfrac{1-n}{n^2}$.

Or pour tout entier $n\geqslant 2$ , $1-n<0$ et $n^2>0$ donc $\dfrac{1-n}{n^2}<0$.

$\left.\begin{matrix}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n=0^-\\\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n-3=+\infty\end{matrix}\right\}$ donc, par quotient : $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{n-3}{\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n}=-\infty$
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n+1}\text{cos}\left(\dfrac \pi {3+n}\right)$

Pour tout $n$ entier naturel, $-1\le \text{cos}(\dfrac{\pi }{3+n})\le 1$ donc, par produit par $\dfrac 1{n+1}>0$, $\dfrac{-1}{n+1}\le \dfrac 1{n+1}\text{cos}(\dfrac{\pi }{3+n})\le \dfrac 1{n+1}$ Or $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n+1}=0$ et $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{-1}{n+1}=0$

donc, d'après le théorème des gendarmes, on a: $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\dfrac1{n+1} \text{cos} \left(\dfrac{\pi}{3+n}\right)=0$.

Exercice 3 (3 points)

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n=4-\dfrac{100}{n+2}$ .

Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $4-10^{-3}<u_n<4+10^{-3}$ .

a. On remarque ici que pour tout $n$ entier naturel, $4-\dfrac{100}{n+2}<4$ car $\dfrac{100}{n+2}<0$ donc $u_n<4$

et par conséquent $u_n<4+10^{-3}$

b. Il nous reste à déterminer les valeurs de n pour lesquelles $4-10^{-3}<u_n$

$4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow 4-10^{-3}<4-\dfrac{100}{n+2}$

$4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow -10^{-3}<-\dfrac{100}{n+2}$

$4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow -10^{-3}\times (n+2)<-100$

$4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow -(n+2)<\dfrac{-100}{10^{-3}}$

$4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow (n+2)>\dfrac{100}{10^{-3}}$ en multipliant par -1 \< 0

\[4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow n>100\times 10^3-2\]

\[4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow n>99998\]

c. on peut conclure que la double inégalité est vraie en prenant le plus grand des deux nombres $0$ et $99998$, soit $N=99998$

Ainsi, pour tout n entier naturel tel que n > 99 998 (ou n ${\geq}$99 999, $4-10^{-3}<u_n<4+10^{-3}$
Soit $\alpha$ un réel strictement positif, déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $4-\alpha<u_n<4+\alpha$ .

Il suffit dans cette question de reproduire le raisonnement de la question 1. en remplaçant $10^{-3}$ par $\alpha$ et on trouve pour tout $n$ entier naturel tel que $n > $\dfrac{100}{\alpha }-2$, $4-\alpha<u_n<4+\alpha$
En déduire la limite de $u_n$ , à l'aide de la définition du cours. On a prouvé dans la question 2 que pour tout $\alpha$ réel strictement positif, il existe une valeur N entière (c'est le plus petit entier immédiatement supérieur à $\dfrac{100}{\alpha }-2$ ; en effet $\dfrac{100}{\alpha}-2$ n'est pas nécessairement entier) telle que pour tout n > N, $4-\alpha<u_n<4+\alpha$ : c'est la définition d'une limite finie en $+\infty$ . On en déduit donc que : $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_n=4$.