SujetCorrigé

Petit devoir sur les suites

Sujet A

Durée : 45 min

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice 1 (5 points)

Chaque question est un questionnaire à choix multiples : plusieurs affirmations sont données, et vous devez à chaque fois dire si elles sont vraies ou fausses, sans justification.

Barème pour chaque question : 0.25 point par bonne réponse.

Question 1

On pose $u_n=8\times {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$

1. $(u_n)$ est décroissante.

2. $(u_n)$ est bornée.

3. $(u_n)$ tend vers +$\mathrm{\infty }$.

4. $u_n=4^n$.

Question 2

$(u_n)$ est une suite de nombres réels.

1. Si $(u_n)$ tend vers +$\mathrm{\infty }$, alors $(u_n)$ est croissante.

2. Si $(u_n)$ est bornée, alors $(u_n)$ ne tend pas vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Si $(u_n)$  n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\mathrm{\infty }$.

4. Si $(u_n)$ est croissante, alors $(u_n)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Question 3

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, et pour tout $n$ , $u_n⩽v_n$.

1. Si $(u_n)$ tend vers +$\mathrm{\infty }$, alors $(v_n)$ tend vers +$\mathrm{\infty }$.

2. Si $(u_n)$ est croissante alors $(v_n)$ est croissante.

3. Si $(v_n)$  tend vers +$\mathrm{\infty }$, alors $(u_n)$  tend vers +$\mathrm{\infty }$.

4. Si $(v_n)$ est majorée alors $(u_n)$ est majorée.

Question 4

$(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites, et pour tout $n$ , $u_n⩽v_n⩽w_n$ .

1. Si $(u_n)$ et $(w_n)$  tendent vers 0, alors $(v_n)$  tend vers 0.

2. Si $(u_n)$ tend vers 1 et $(w_n)$ tend vers 3, alors $(v_n)$ est convergente.

3. Si $(u_n)$ et $(w_n)$ sont bornées, alors $(v_n)$ est bornée.

4. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent vers 0, alors $(w_n)$ tend vers 0.

Question 5

$(u_n)$ est une suite de nombres réels.

1. Si $(u_n)$ converge, alors $(u_n^2)$ converge.

2. Si $(u_n^2)$ converge, alors $(u_n)$ converge.

3. Si $(u_n)$  converge, alors $(u_n)$ est bornée.

4. Si $(u_n)$  est bornée, alors $(u_n)$ converge.

Exercice 2 (3 points)

À l'aide des théorèmes sur les limites de suites, déterminer :

1. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3n-1}}-n$

2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n-3}{{\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}}}$

3. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\text{cos}\left({\displaystyle \frac{\pi }{3+n}}\right)$

Exercice 3 (3 points)

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  la suite définie par $u_n=4-{\displaystyle \frac{100}{n+2}}$ .

1. Déterminer les valeurs de $n$  pour lesquelles $4-{10}^{-3}<u_n<4+{10}^{-3}$ .

2. Soit $\alpha$ un réel strictement positif, déterminer les valeurs de $n$  pour lesquelles $4-\alpha <u_n<4+\alpha$ .

3. En déduire la limite de $u_n$ , à l'aide de la définition du cours.

Exercice 1

Question 1 : On pose $u_n=8\times \frac{1}{2^n}$

1. $(u_n)$  est décroissante. Vrai

2. $(u_n)$  est bornée. Vrai

3. $(u_n)$  tend vers +$\mathrm{\infty }$. Faux

4. $(u_n)=4^n$ . Faux

Question 2 : $(u_n)$  est une suite de nombres réels.

1. Si $(u_n)$  tend vers +$\mathrm{\infty }$, alors $(u_n)$  est croissante. Faux

2. Si $(u_n)$  est bornée, alors $(u_n)$  ne tend pas vers $+\mathrm{\infty }$. Vrai

3. Si $(u_n)$  n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\mathrm{\infty }$. Faux

4. Si $(u_n)$  est croissante, alors $(u_n)$  tend vers $+\mathrm{\infty }$. Faux

Question 3 : $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, et pour tout $n$, $u_n⩽v_n$ .

1. Si $(u_n)$  tend vers +$\mathrm{\infty }$, alors $(v_n)$  tend vers +$\mathrm{\infty }$. Vrai

2. Si $(u_n)$  est croissante alors $(v_n)$  est croissante. Faux

3. Si $(v_n)$  tend vers +$\mathrm{\infty }$, alors $(u_n)$  tend vers +$\mathrm{\infty }$. Faux

4. Si $(v_n)$  est majorée alors $(u_n)$  est majorée. Vrai

Question 4 : $(u_n)$  , $(v_n)$  et $(w_n)$  sont trois suites, et pour tout $n$, $u_n⩽v_n⩽w_n$.

1. Si $(u_n)$  et $(w_n)$  tendent vers 0, alors $(v_n)$  tend vers 0. Vrai

2. Si $(u_n)$  tend vers 1 et $(w_n)$  tend vers 3, alors $(v_n)$  est convergente. Faux

3. Si $(u_n)$  et $(w_n)$  sont bornées, alors $(v_n)$  est bornée. Vrai

4. Si $(u_n)$  et $(v_n)$  tendent vers 0, alors $(w_n)$  tend vers 0. Faux

Question 5 : $(u_n)$  est une suite de nombres réels.

1. Si $(u_n)$  converge, alors $(u_n^2)$  converge. Vrai

2. Si $(u_n^2)$  converge, alors $(u_n)$  converge. Faux

3. Si $(u_n)$  converge, alors $(u_n)$  est bornée. Vrai

4. Si $(u_n)$  est bornée, alors $(u_n)$  converge. Faux

Exercice 2 (3 points)

Déterminer, en justifiant, les limites des suites ci-dessous :

1. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3n-1}}-n$   (Pas de forme indéterminée)

   Par produit et somme, on a $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}3n-1=+\mathrm{\infty }$

   donc, par inverse:

   $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{3n-1}}=0$ puis,

   $\begin{array}{c}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{3n-1}}=0\\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{10}=\sqrt{10}\end{array}\}$ par produit, on a $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3n-1}}=0$.

   $\begin{array}{c}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3n-1}}=0\\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-n)=-\mathrm{\infty }\end{array}\}$  par somme, on a $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3n-1}}-n=-\mathrm{\infty }$

2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n-3}{{\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}}}$ Pour déterminer cette limite, il est nécéssaire de déterminer le signe du dénominateur ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

   Pour tout n entier naturel non nul, ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1-n}{n^2}}$.

   Or pour tout entier $n⩾2$ , $1-n<0$  et $n^2>0$  donc ${\displaystyle \frac{1-n}{n^2}}<0$.

   $\begin{array}{c}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}=0^{-}\\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n-3=+\mathrm{\infty }\end{array}\}$  donc, par quotient : $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n-3}{{\displaystyle \frac{1}{n^2}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}}}=-\mathrm{\infty }$

3. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\text{cos}\left({\displaystyle \frac{\pi }{3+n}}\right)$

   Pour tout $n$ entier naturel, $-1\le \text{cos}({\displaystyle \frac{\pi }{3+n}})\le 1$ donc, par produit par ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}>0$, ${\displaystyle \frac{-1}{n+1}}\le {\displaystyle \frac{1}{n+1}}\text{cos}({\displaystyle \frac{\pi }{3+n}})\le {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ Or $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n+1}}=0$ et $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{-1}{n+1}}=0$

   donc, d'après le théorème des gendarmes, on a: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\text{cos}\left({\displaystyle \frac{\pi }{3+n}}\right)=0$.

Exercice 3 (3 points)

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  la suite définie par $u_n=4-{\displaystyle \frac{100}{n+2}}$ .

1. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $4-{10}^{-3}<u_n<4+{10}^{-3}$ .

   a. On remarque ici que pour tout $n$ entier naturel, $4-{\displaystyle \frac{100}{n+2}}<4$ car ${\displaystyle \frac{100}{n+2}}<0$ donc $u_n<4$

   et par conséquent $u_n<4+{10}^{-3}$

   b. Il nous reste à déterminer les valeurs de n pour lesquelles $4-{10}^{-3}<u_n$

   $4-{10}^{-3}<u_n\iff 4-{10}^{-3}<4-{\displaystyle \frac{100}{n+2}}$

   $4-{10}^{-3}<u_n\iff -{10}^{-3}<-{\displaystyle \frac{100}{n+2}}$

   $4-{10}^{-3}<u_n\iff -{10}^{-3}\times (n+2)<-100$

   $4-{10}^{-3}<u_n\iff -(n+2)<{\displaystyle \frac{-100}{{10}^{-3}}}$

   $4-{10}^{-3}<u_n\iff (n+2)>{\displaystyle \frac{100}{{10}^{-3}}}$ en multipliant par -1 \< 0

   $$4-{10}^{-3}<u_n\iff n>100\times {10}^3-2$$
   $$4-{10}^{-3}<u_n\iff n>99998$$

   c. on peut conclure que la double inégalité est vraie en prenant le plus grand des deux nombres $0$ et $99998$, soit $N=99998$

   Ainsi, pour tout n entier naturel tel que n > 99 998 (ou n $\ge$99 999, $4-{10}^{-3}<u_n<4+{10}^{-3}$

2. Soit $\alpha$ un réel strictement positif, déterminer les valeurs de $n$  pour lesquelles $4-\alpha <u_n<4+\alpha$ .

   Il suffit dans cette question de reproduire le raisonnement de la question 1. en remplaçant ${10}^{-3}$  par $\alpha$ et on trouve pour tout $n$ entier naturel tel que $n > ${\displaystyle \frac{100}{\alpha }}-2$, $4-\alpha <u_n<4+\alpha$

3. En déduire la limite de $u_n$ , à l'aide de la définition du cours. On a prouvé dans la question 2 que pour tout $\alpha$ réel strictement positif, il existe une valeur N entière (c'est le plus petit entier immédiatement supérieur à ${\displaystyle \frac{100}{\alpha }}-2$ ; en effet ${\displaystyle \frac{100}{\alpha }}-2$  n'est pas nécessairement entier) telle que pour tout n > N, $4-\alpha <u_n<4+\alpha$ : c'est la définition d'une limite finie en $+\mathrm{\infty }$ . On en déduit donc que : $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=4$.