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Petit devoir sur les suites

Sujet A

Durée : 45 min

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice 1 (5 points)

Chaque question est un questionnaire à choix multiples : plusieurs affirmations sont données, et vous devez à chaque fois dire si elles sont vraies ou fausses, sans justification.

Barème pour chaque question : 0.25 point par bonne réponse.

Question 1

On pose \(u_n=8\times \dfrac 1{2^n}\)

  1. \((u_n)\) est décroissante.

  2. \((u_n)\) est bornée.

  3. \((u_n)\) tend vers +\({\infty}\).

  4. \(u_n=4^n\).

Question 2

\((u_n)\) est une suite de nombres réels.

  1. Si \((u_n)\) tend vers +\({\infty}\), alors \((u_n)\) est croissante.

  2. Si \((u_n)\) est bornée, alors \((u_n)\) ne tend pas vers \(+{\infty}\).

  3. Si \((u_n)\)  n'est pas majorée, alors elle tend vers \(+\infty\).

  4. Si \((u_n)\) est croissante, alors \((u_n)\) tend vers \(+{\infty}\).

Question 3

\((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites, et pour tout \(n\) , \(u_n \leqslant v_n\).

  1. Si \((u_n)\) tend vers +\({\infty}\), alors \((v_n)\) tend vers +\({\infty}\).

  2. Si \((u_n)\) est croissante alors \((v_n)\) est croissante.

  3. Si \((v_n)\)  tend vers +\({\infty}\), alors \((u_n)\)  tend vers +\({\infty}\).

  4. Si \((v_n)\) est majorée alors \((u_n)\) est majorée.

Question 4

\((u_n)\) , \((v_n)\) et \((w_n)\) sont trois suites, et pour tout \(n\) , \(u_n\leqslant v_n\leqslant w_n\) .

  1. Si \((u_n)\) et \((w_n)\)  tendent vers 0, alors \((v_n)\)  tend vers 0.

  2. Si \((u_n)\) tend vers 1 et \((w_n)\) tend vers 3, alors \((v_n)\) est convergente.

  3. Si \((u_n)\) et \((w_n)\) sont bornées, alors \((v_n)\) est bornée.

  4. Si \((u_n)\) et \((v_n)\) tendent vers 0, alors \((w_n)\) tend vers 0.

Question 5

\((u_n)\) est une suite de nombres réels.

  1. Si \((u_n)\) converge, alors \((u_n^2)\) converge.

  2. Si \((u_n^2)\) converge, alors \((u_n)\) converge.

  3. Si \((u_n)\)  converge, alors \((u_n)\) est bornée.

  4. Si \((u_n)\)  est bornée, alors \((u_n)\) converge.

Exercice 2 (3 points)

À l'aide des théorèmes sur les limites de suites, déterminer :

  1. \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}-n\)

  2. \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{n-3}{\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n}\)

  3. \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n+1}\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3+n }\right)\)

Exercice 3 (3 points)

Soit \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\)  la suite définie par \(u_n=4-\dfrac{100}{n+2}\) .

  1. Déterminer les valeurs de \(n\)  pour lesquelles \(4-10^{-3}<u_n<4+10^{-3}\) .

  2. Soit \(\alpha\) un réel strictement positif, déterminer les valeurs de \(n\)  pour lesquelles \(4-\alpha<u_n<4+\alpha\) .

  3. En déduire la limite de \(u_n\) , à l'aide de la définition du cours.

Exercice 1

Question 1 : On pose \(u_n=8\times \frac 1{2^n}\)

  1. \((u_n)\)  est décroissante. Vrai

  2. \((u_n)\)  est bornée. Vrai

  3. \((u_n)\)  tend vers +\({\infty}\). Faux

  4. \((u_n)=4^n\) . Faux

Question 2 : \((u_n)\)  est une suite de nombres réels.

  1. Si \((u_n)\)  tend vers +\({\infty}\), alors \((u_n)\)  est croissante. Faux

  2. Si \((u_n)\)  est bornée, alors \((u_n)\)  ne tend pas vers \(+{\infty}\). Vrai

  3. Si \((u_n)\)  n'est pas majorée, alors elle tend vers \(+\infty\). Faux

  4. Si \((u_n)\)  est croissante, alors \((u_n)\)  tend vers \(+{\infty}\). Faux

Question 3 : \((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites, et pour tout \(n\), \(u_n\leqslant v_n\) .

  1. Si \((u_n)\)  tend vers +\({\infty}\), alors \((v_n)\)  tend vers +\({\infty}\). Vrai

  2. Si \((u_n)\)  est croissante alors \((v_n)\)  est croissante. Faux

  3. Si \((v_n)\)  tend vers +\({\infty}\), alors \((u_n)\)  tend vers +\({\infty}\). Faux

  4. Si \((v_n)\)  est majorée alors \((u_n)\)  est majorée. Vrai

Question 4 : \((u_n)\)  , \((v_n)\)  et \((w_n)\)  sont trois suites, et pour tout \(n\), \(u_n\leqslant v_n\leqslant w_n\).

  1. Si \((u_n)\)  et \((w_n)\)  tendent vers 0, alors \((v_n)\)  tend vers 0. Vrai

  2. Si \((u_n)\)  tend vers 1 et \((w_n)\)  tend vers 3, alors \((v_n)\)  est convergente. Faux

  3. Si \((u_n)\)  et \((w_n)\)  sont bornées, alors \((v_n)\)  est bornée. Vrai

  4. Si \((u_n)\)  et \((v_n)\)  tendent vers 0, alors \((w_n)\)  tend vers 0. Faux

Question 5 : \((u_n)\)  est une suite de nombres réels.

  1. Si \((u_n)\)  converge, alors \((u_n^2)\)  converge. Vrai

  2. Si \((u_n^2)\)  converge, alors \((u_n)\)  converge. Faux

  3. Si \((u_n)\)  converge, alors \((u_n)\)  est bornée. Vrai

  4. Si \((u_n)\)  est bornée, alors \((u_n)\)  converge. Faux

Exercice 2 (3 points)

Déterminer, en justifiant, les limites des suites ci-dessous :

  1. \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}-n\)   (Pas de forme indéterminée)

    Par produit et somme, on a \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }3n-1=+\infty\)

    donc, par inverse:

    \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{3n-1}=0\) puis,

    \(\left.\begin{matrix}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{3n-1}=0\\\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{10}=\sqrt{10}\end{matrix}\right\}\) par produit, on a \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}=0\).

    \(\left.\begin{matrix}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}=0\\\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }(-n)=-\infty\end{matrix}\right\}\)  par somme, on a \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{\sqrt{10}}{3n-1}-n=-\infty\)

  2. \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{n-3}{\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n}\) Pour déterminer cette limite, il est nécéssaire de déterminer le signe du dénominateur \(\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n\).

    Pour tout n entier naturel non nul, \(\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n=\dfrac{1-n}{n^2}\).

    Or pour tout entier \(n\geqslant 2\) , \(1-n<0\)  et \(n^2>0\)  donc \(\dfrac{1-n}{n^2}<0\).

    \(\left.\begin{matrix}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n=0^-\\\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n-3=+\infty\end{matrix}\right\}\)  donc, par quotient : \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{n-3}{\dfrac 1{n^2}-\dfrac 1 n}=-\infty\)

  3. \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n+1}\text{cos}\left(\dfrac \pi {3+n}\right)\)

    Pour tout \(n\) entier naturel, \(-1\le \text{cos}(\dfrac{\pi }{3+n})\le 1\) donc, par produit par \(\dfrac 1{n+1}>0\), \(\dfrac{-1}{n+1}\le \dfrac 1{n+1}\text{cos}(\dfrac{\pi }{3+n})\le \dfrac 1{n+1}\) Or \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n+1}=0\) et \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{-1}{n+1}=0\)

    donc, d'après le théorème des gendarmes, on a: \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\dfrac1{n+1} \text{cos} \left(\dfrac{\pi}{3+n}\right)=0\).

Exercice 3 (3 points)

Soit \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\)  la suite définie par \(u_n=4-\dfrac{100}{n+2}\) .

  1. Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(4-10^{-3}<u_n<4+10^{-3}\) .

    a. On remarque ici que pour tout \(n\) entier naturel, \(4-\dfrac{100}{n+2}<4\) car \(\dfrac{100}{n+2}<0\) donc \(u_n<4\)

    et par conséquent \(u_n<4+10^{-3}\)

    b. Il nous reste à déterminer les valeurs de n pour lesquelles \(4-10^{-3}<u_n\)

    \(4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow 4-10^{-3}<4-\dfrac{100}{n+2}\)

    \(4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow -10^{-3}<-\dfrac{100}{n+2}\)

    \(4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow -10^{-3}\times (n+2)<-100\)

    \(4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow -(n+2)<\dfrac{-100}{10^{-3}}\)

    \(4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow (n+2)>\dfrac{100}{10^{-3}}\) en multipliant par -1 \< 0

    \[4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow n>100\times 10^3-2\]
    \[4-10^{-3}<u_n\Leftrightarrow n>99998\]

    c. on peut conclure que la double inégalité est vraie en prenant le plus grand des deux nombres \(0\) et \(99998\), soit \(N=99998\)

    Ainsi, pour tout n entier naturel tel que n > 99 998 (ou n \({\geq}\)99 999, \(4-10^{-3}<u_n<4+10^{-3}\)

  2. Soit \(\alpha\) un réel strictement positif, déterminer les valeurs de \(n\)  pour lesquelles \(4-\alpha<u_n<4+\alpha\) .

    Il suffit dans cette question de reproduire le raisonnement de la question 1. en remplaçant \(10^{-3}\)  par \(\alpha\) et on trouve pour tout \(n\) entier naturel tel que $n > \(\dfrac{100}{\alpha }-2\), \(4-\alpha<u_n<4+\alpha\)

  3. En déduire la limite de \(u_n\) , à l'aide de la définition du cours. On a prouvé dans la question 2 que pour tout \(\alpha\) réel strictement positif, il existe une valeur N entière (c'est le plus petit entier immédiatement supérieur à \(\dfrac{100}{\alpha }-2\) ; en effet \(\dfrac{100}{\alpha}-2\)  n'est pas nécessairement entier) telle que pour tout n > N, \(4-\alpha<u_n<4+\alpha\) : c'est la définition d'une limite finie en \(+\infty\) . On en déduit donc que : \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_n=4\).