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Devoir Suites 2012-2013

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la qualité et à la précision de la rédaction.

Durée: 2h

Exercice 1

On considère la suite \((u_{n})\) pour \(n\) entier naturel, définie par:

\[u_{n} = {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}\]

  1. Montrer que, pour tout entier \(n\) naturel non nul, on a:

    \[0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\]

  2. En déduire la limite de la suite \((u_{n})\). Justifier.

  3. On donne le théorème (admis) :

    Soit la fonction \(u\) strictement positive et dérivable sur l'intervalle \(I\).

    Si la fonction \(f\) est définie telle que \(f{ {(x)} = \sqrt{u{(x)}}}\), alors \(f\) est dérivable sur \(I\) telle que \(f'{ {(x)} = \dfrac{u'{(x)}}{2.\sqrt{u{(x)}}}}\).

    À l'aide de ce théorème, étudier la monotonie de la suite \((u_{n})\).

Exercice 2

On considère la suite \((u_{n})\) définie par :

\(u_{0} = 0\) et \(u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 1}{3 - u_{n}}\).

Partie A : conjectures à l'aide d'un graphique

  1. L'hyperbole est la représentation graphique d'une fonction \(f\).

    Quelle est l'expression de \(f{(x)}\) ?

  2. Tracer les premiers termes de la suite \((u_{n})\) sur le graphique ci-dessus. Laisser tous les traits de construction apparents.

  3. Conjecturer alors la monotonie et les propriétés de \((u_{n})\).

Partie B

  1. Démontrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leqslant u_{n} \leqslant 1\).

  2. Sans utiliser un raisonnement par récurrence, étudier le sens de variation de \((u_{n})\).

  3. a. À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier \(N\) tel que : pour tout \(n \geqslant N\), on a \(u_{n} > 0,99\).

    b. Écrire un algorithme en langage naturel qui permet d'obtenir \(N\).

  4. On définit la suite auxiliaire \((v_{n})\) de terme général \(v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}\).

    a. Démontrer que la suite \((v_{n})\) est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.

    b. En déduire une expression explicite de \(v_{n}\) en fonction de \(n\).

    c. Exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(v_{n}\).

    d. En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n} = {1 - \dfrac{2}{2 + n}}\).

  5. Résoudre l'inéquation \(u_{n} > 0,99\) pour retrouver le résultat de la question 3.

Exercice 3

Soit \({(a_{n})}_{n\in{\mathbb{N}}}\) la suite définie par \(a_0=13\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(a_{n+1}=\dfrac{1}{5}a_n+\dfrac{4}{5}\).

Soit \({(S_{n})}_{n\in{\mathbb{N}}}\) la suite définie par:

\[S_{n} = {\sum\limits_{k = 0}^{n}a_{k}} = {a_{0} + a_{1} + ... + a_{n}}\]

  1. Soit \((b_n)\) la suite définie par \(b_n=a_n-1\) pour \(n\in{\mathbb{N}}\). Exprimer \(b_{n + 1}\) en fonction de \(b_{n}\) et en déduire que \((b_n)\) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

  2. Déduire de ce qui précède que pour tout \(n\in{\mathbb{N}}\), \(a_n=1+\dfrac{12}{5^n}\). En déduire \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}a_{n}\).

  3. Déterminer le sens de variation de la suite \((S_n)\).

  4. Exprimer \(S_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout \(n\in{\mathbb{N}}\). En déduire \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}S_{n}\).

Exercice 4

Calculer les limites des suites suivantes:

a. \(u_n=\dfrac{2n+4}{3n^2-5}\)

b. \(v_{n} = \dfrac{\sqrt{n^{2} + 1} - n}{n}\)

Exercice 1

  1. \(1 > 0\) donc \({n + 1} > n\) donc \(\sqrt{n + 1} > \sqrt{n}\) donc \({\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} \geq 0\) donc \(u_{n} \geqslant 0\).

    \(u_{n} = {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} = \dfrac{n + 1 - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\)

    ce qui donne avec \(\sqrt{n + 1} \geq \sqrt{n}\) soit \({ {\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \geq 2}.{\sqrt{n} > 0}\) pour \(n > 0\).

    Par inverse, \(\dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \leq \dfrac{1}{2.\sqrt{n}}\) soit \(0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\).

  2. On sait que: \({\lim\limits_{x{\rightarrow + \infty}}\sqrt{n}} = {+ \infty}\). Par quotient, \({\lim\limits_{x{\rightarrow + \infty}}\dfrac{1}{2\sqrt{n}}} = 0\).

    Par le théorème d'encadrement, on a: \({\lim\limits_{x{\rightarrow + \infty}}u_{n}} = 0\).

  3. On a : \(f'{ {(x)} = {\dfrac{ {({x + 1})}'}{2\sqrt{x + 1}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}} = {\dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}\)

    Donc \(f'{ {(x)} \leq 0}\) car \(\sqrt{x + 1} > \sqrt{x}\) donne \(2{\sqrt{x + 1} > 2}\sqrt{x}\) soit \(\dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}} < \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

    Donc la suite \((u_{n})\) est décroissante (la suite est définie explicitement).

Exercice 2

Partie A

  1. L'expression de \(f{(x)}\) est \(f{ {(x)} = \dfrac{x + 1}{3 - x}}\) telle que \(f{ {(u_{n})} = u_{n + 1}}\).

  2. Graphique

  3. \((u_{n})\) semble croissante, convergente vers \(1\) et bornée par \(0\) et \(1\).

Partie B

  1. Travail préparatoire: la fonction \(f{ {(x)} = \dfrac{x + 1}{3 - x}}\) est croissante sur \([0;1]\)

    \((P_{n})\) : \(«0 \leqslant u_{n} \leqslant 1»\).

    Initialisation

    \(0 \leqslant 0 \leqslant 1\) donc \((P_{0})\) est vraie.

    Hérédité

    On suppose la proposition vraie pour un rang donné.

    \(0 \leqslant u_{n} \leqslant 1 \Leftrightarrow f(0) \leqslant f(u_{n}) \leqslant f(1)\) (car \(f\) croissante sur \([0;1]\))

    soit \(\dfrac{1}{3}< u_{n+1} \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant u_{n} \leqslant 1\) soit \((P_{n + 1})\).

    Conclusion

    la proposition est héréditaire et initialisée pour \(n=0\), la suite est donc bornée par \(0\) et \(1\) pour \(n\in{\mathbb{N}}\)

  2. Méthode de la différence :

    \({u_{n + 1} - u_{n}} = {\dfrac{u_{n} + 1}{3 - u_{n}} - u_{n}} = \dfrac{ {u_{n} + 1 - 3}{u_{n} + {u_{n}}^{2}}}{3 - u_{n}}\)

    soit

    \({u_{n + 1} - u_{n}} = \dfrac{ { {+ 1} - 2}{u_{n} + {u_{n}}^{2}}}{3 - u_{n}} = \dfrac{ {({1 - u_{n}})}^{2}}{3 - u_{n}}\).

    Le numérateur est positif car c'est un carré.

    Le dénominateur est positif grâce à l'inégalité de la question précédente.

    Donc \((u_{n})\) est croissante.

  3. a. Avec la calculatrice, le plus petit entier \(N\) tel que : pour tout \(n \geqslant N\), on ait \(u_{n} > 0,99\) est \(N = 199\).

    b. Algorithme en langage naturel qui permet d'obtenir \(N\).

    Variables: n entier et u réel
Début:
stocker 0 dans n
stocker 0 dans u
Tant que u <= 0,99
    stocker (u + 1)/(3 - u) dans u
    stocker n + 1 dans n
Fin tant que
Afficher n
Fin

  4. On définit la suite auxiliaire \((v_{n})\) de terme général :

    \(v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}\).\(u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 1}{3 - u_{n}}\)

    a. On a \(v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1} - 1} \Leftrightarrow v_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{u_{n} + 1}{3 - u_{n}}-1} \Leftrightarrow v_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{u_{n} + 1}{3 - u_{n}}-\dfrac{3-u_n}{3-u_n}}\)

    \(\Leftrightarrow v_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{2u_{n} -2}{3 - u_{n}}} \Leftrightarrow v_{n+1}=\dfrac{3-u_n}{2u_{n} -2}\Leftrightarrow v_{n+1}=\dfrac{2+1-u_n}{2u_{n} -2}\Leftrightarrow v_{n+1}=\dfrac{2}{2u_{n} -2}+\dfrac{1-u_n}{2u_{n} -2} \Leftrightarrow v_{n+1}=v_n-\dfrac{1}{2}\).

    Donc \((v_n)\) est arithmétique de raison \(-\dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac{1}{0-1}=-1\) .

    b. D'après a. on a \(v_{n} = { {- 1} - \dfrac{n}{2}} = {- \dfrac{n + 2}{2}}\)

    c.\(v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}\) donne \({ {v_{n} \times u_{n}} - v_{n}} = 1\) soit \({v_{n} \times u_{n}} = {1 + v_{n}}\) soit \(u_{n} = {1 + \dfrac{1}{v_{n}}}\)

    d. Donc \(u_{n} = {1 + \dfrac{1}{v_{n}}} = {1 - \dfrac{2}{n + 2}}\) Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n} = {1 - \dfrac{2}{2 + n}}\).

  5. On résout l'inéquation \(u_{n} > 0,99\) soit \({1 - \dfrac{2}{2 + n}} > 0,99\) soit \(\dfrac{- 2}{2 + n} > {- 0,01}\) soit \(\dfrac{2}{2 + n} < 0,01\) soit \(\dfrac{2 + n}{2} > 100\) car la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}^{+∗}\).

    \({2 + n} > 200\) soit \(n > 198\) soit \(n \geqslant 199\) donc \(N = 199\).

Exercice 3

  1. \({b_{n + 1} = {a_{n + 1} - 1} = \dfrac{1}{5}}{ {a_{n} + \dfrac{4}{5} - 1} = \dfrac{1}{5}}{ {a_{n} - \dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{5}}{ {({a_{n} - 1})} = \dfrac{1}{5}}b_{n}\)

    \((b_{n})\) est donc bien une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{5}\) avec \(b_{0} = {a_{0} - 1} = 12\)

  2. \(b_{n}\) peut donc s'écrire \(b_{n} = {12 \times \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n}}\), ce qui donne \(a_{n} = {b_{n} + 1} = { {12 \times \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n}} + 1}\)

    On a \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}\left( \dfrac{1}{5} \right)^{n}} = 0\) car \(0 < \dfrac{1}{5} < 1\), par produit, puis par somme on obtient donc \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}a_{n}} = 1\).

  3. \(a_{n}\) est la somme de \(1\) et de \(12 \times \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n}\), \((a_{n})\) est donc une suite de termes positifs.

    \({S_{n + 1} - S_{n}} = a_{n + 1}\), par définition, \((S_{n})\) est une suite croissante.

  4. \({S_{n} = {\sum\limits_{k = 0}^{k = n}{ {12 \times \left( \dfrac{1}{5} \right)^{k}} + 1}} = { {\sum\limits_{k = 0}^{k = n}{12 \times \left( \dfrac{1}{5} \right)^{k}}} + {\sum\limits_{k = 0}^{k = n}1}} = 12}{ {\sum\limits_{k = 0}^{k = n}\left( \dfrac{1}{5} \right)^{k}} + n + 1}\)

    Or \({ {\sum\limits_{k = 0}^{k = n}\left( \dfrac{1}{5} \right)^{k}} = \dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n + 1}}{1 - \dfrac{1}{5}} = \dfrac{5}{4}}\left( {1 - \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n + 1}} \right)\)

    On en déduit \({S_{n} = 15}{\left( {1 - \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n + 1}} \right) + n + 1}\).

    On a \({S_{n} = 12}{ {\sum\limits_{k = 0}^{k = n}\left( \dfrac{1}{5} \right)^{k}} + n + 1}\) d'où \(S_{n} > {n + 1}\).

    D'après le théorème de comparaison, \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}S_{n}} = {+ \infty}\).

Exercice 4

a. Avec , on a :

\({u_{n} = n}{\dfrac{n\left( {2 + \dfrac{4}{n}} \right)}{n^{2}\left( {3 - \dfrac{5}{n^{2}}} \right)} = \dfrac{2 + \dfrac{4}{n}}{n\left( {3 - \dfrac{5}{n^{2}}} \right)}}\) \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{2 = 2}\) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{\dfrac{4}{n} = 0}\) donc, par somme, \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{ {2 + \dfrac{4}{n}} = 2}\)

De même, \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{3 = 3}\) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{ {- \dfrac{5}{n^{2}}} = 0}\) d'où \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{ {3 - \dfrac{5}{n^{2}}} = 3}\)

Il vient alors \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{ {3 - \dfrac{5}{n^{2}}} = 3}\) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{n = {+ \infty}}\) donc \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{n{\left( {3 - \dfrac{5}{n^{2}}} \right) = {+ \infty}}}\)

Avec \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{ {2 + \dfrac{4}{n}} = 2}\) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{n{\left( {3 - \dfrac{5}{n^{2}}} \right) = {+ \infty}}}\), par quotient, on obtient: \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{u_{n} = 0}\).

b. Avec \(n\neq 0\), on a :

\(v_{n} = \dfrac{n^{2} + 1 - n^{2}}{n{({\sqrt{n^{2} + 1} + n})}} = \dfrac{1}{n{({\sqrt{n^{2} + 1} + n})}}\) (grâce à la quantité conjuguée de \(\sqrt{n^{2} + 1} - n\)).

on a \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{ {\sqrt{n^{2} + 1} + n} = {+ \infty}}\) (par comparaison, \(\sqrt{n^{2} + 1} + n\) étant supérieur à \(n\)) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{n = {+ \infty}}\), par produit, \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{n{ {({\sqrt{n^{2} + 1} + n})} = {+ \infty}}}\).

Par inverse, on obtient donc \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{v_{n} = 0}\).