Devoir Probabilités et Suites Mardi 7 octobre 2025

Le barème est donné à titre indicatif.

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Durée 1H50

Exercice 1 - 9 points

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Au cours de la fabrication d'une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.

On prélève au hasard une paire de verres dans la production.

On désigne par A l'évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».

On désigne par B l'évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».

On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de A et B.

Une étude a montré que :

la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée $P(A)$ est égale à 0,1.
la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée $P(B)$ est égale à 0,2.
la probabilité qu'une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0,75.

1. Affirmation 1 : « Les événements $A$ et $B$ sont indépendants »

Indication : On pourra commencer par recopier et compléter le tableau suivant :

	$A$	$\overline{A}$	Total
$B$	...	...	...
$\overline{B}$	...	...	...
Total	...	...	1

Corrigé

On remplit le tableau avec les données de l'énoncé, on peut éventuellement justifier avec la loi des probabilités totales.

	$A$	$\overline{A}$	Total
$B$	$0.05$	$0.15$	$0.2$
$\overline{B}$	$0.05$	$0.75$	$0.8$
Total	$0.1$	$0.9$	$1$

Si A et B étaient indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}1 \times 0{,}2 = 0{,}02$

Or $0{,}05 \neq 0{,}02$.

Affirmation 1 : FAUSSE

2. Affirmation 2 : « La probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements, vaut $\dfrac{1}{20}$. »

Corrigé

L'évènement "Présenter un seul défaut" est réalisé si le premier traitement présente un défaut ou si le deuxième traitement présente un défaut donc si $A \cap \overline{B}$ est réalisé ou si $\overline{A} \cap B$ est réalisé.

Grâce au tableau de la première affirmation, on a :

$P(A \cap \overline{B}) = 0{,}05$ et $P(\overline{A} \cap B)= 0{,}15$

D'après la formule des probabilités totales, on a donc :

$P(\text{un seul défaut}) = 0{,}05 + 0{,}15 = 0{,}20 = \dfrac{1}{5}$

Or $\dfrac{1}{20} = 0{,}05 \neq 0{,}20$

Affirmation 2 : FAUSSE

3. Affirmation 3 : « La probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1, vaut $\dfrac{1}{3}$. »

On prélève, au hasard, un échantillon de $n$ paires de verres dans la production, où $n$ est un entier non nul. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.

Corrigé

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}05}{0{,}1} = \dfrac{1}{2}$

Or $\dfrac{1}{3} \neq \dfrac{1}{2}$

Affirmation 3 : FAUSSE

4. Affirmation 4 : « Si $n = 50$, la probabilité arrondie au millième d'avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres qui ne présentent pas ce défaut vaut 0,015. »

Corrigé

Soit l'expérience à deux issues possibles : soit la paire présente le défaut $T_1$ avec la probabilité $0.1$, soit non.

On répète 50 fois cette expérience de façon identique et indépendante.

Donc $X \sim \mathcal{B}(50; 0{,}1)$

10 paires ne présentent pas le défaut = 40 paires présentent le défaut.

$P(X = 40) = \binom{50}{40}(0{,}1)^{40}(0{,}9)^{10}$ (pratiquement 0)

Affirmation 4 : FAUSSE (la probabilité est presque nulle, pas 0,015)

5. Affirmation 5 : « La plus petite valeur de $n$ pour laquelle $P(X \geqslant 1) > 0,99$ est 73. »

Corrigé

Dans cette question, $X \sim \mathcal{B}(n; 0{,}1)$

$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}9)^n > 0{,}99$

Avec la calculatrice, on cherche donc $n$ tel que $(0{,}9)^n < 0{,}01$

Et on obtient $n = 44$

Affirmation 5 : FAUSSE (c'est 44, pas 73)

Exercice 2 - 9 points

On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $\(u_0 = 1$\) et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2.$\)

Démontrer que $u_1 = -\dfrac{5}{3}$.

Corrigé

$u_1 = \dfrac{1}{3}u_0 + 0 - 2 = \dfrac{1}{3} \times 1 - 2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{6}{3} = -\dfrac{5}{3}$
Calculer $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Corrigé

$u_2 = \dfrac{1}{3}u_1 + 1 - 2 = \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{5}{3}\right) - 1 = -\dfrac{5}{9} - \dfrac{9}{9} = -\dfrac{14}{9}$

$u_3 = \dfrac{1}{3}u_2 + 2 - 2 = \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{14}{9}\right) = -\dfrac{14}{27}$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, $u_n \geqslant 0$.

Corrigé

Soit $H_n$ : $u_n \geqslant0$

Initialisation : Pour $n = 4$

$u_4 = \dfrac{1}{3}u_3 + 3 - 2 = \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{14}{27}\right) + 1 = -\dfrac{14}{81} + \dfrac{81}{81} = \dfrac{67}{81} > 0$

$H_0$ est vraie.

Hérédité : Supposons que pour un rang $n$ donné, on ait $u_n \geqslant0$.

Et montrons alors que $u_{n+1} \geqslant0$.

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2\]

$u_n \geqslant0 \Rightarrow \dfrac{1}{3}u_n \geqslant0$.

De plus, pour $n \geqslant4$, on a $n - 2 \geqslant2 > 0$.

Donc $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2 \geqslant0 + 2 > 0$.

$H_{n+1}$ est alors vérifiée.

Conclusion : $H_n$ est initialisée pour $n=4$ et héréditaire, par récurrence sur $n$, on a, pour tout $n \geqslant4$, $u_n \geqslant0$.
On définit la suite $(v_n)$ par : pour tout $n \in \mathbb{N}$,

\[v_n = -2u_n + 3n - \dfrac{21}{2}.\]

a. Démontrer que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

Corrigé

Calculons $v_{n+1}$ :

$v_{n+1} = -2u_{n+1} + 3(n+1) - \dfrac{21}{2}$

$\phantom{v_{n+1} }= -2\left(\dfrac{1}{3}u_n + n - 2\right) + 3n + 3 - \dfrac{21}{2}$

$\phantom{v_{n+1} }= -\dfrac{2}{3}u_n - 2n + 4 + 3n + 3 - \dfrac{21}{2}$

$\phantom{v_{n+1} }= -\dfrac{2}{3}u_n + n + 7 - \dfrac{21}{2}$

$\phantom{v_{n+1} }= -\dfrac{2}{3}u_n + n - \dfrac{7}{2}$

Or $v_n = -2u_n + 3n - \dfrac{21}{2}$, donc $u_n = \dfrac{-v_n + 3n - \dfrac{21}{2}}{2}$

Après calculs $v_{n+1} = \dfrac{1}{3}v_n$$

$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $r = \dfrac{1}{3}$.

Premier terme :

$v_0 = -2u_0 + 3 \times 0 - \dfrac{21}{2} = -2 - \dfrac{21}{2} = -\dfrac{25}{2}$

b. En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{3}{2}n - \dfrac{21}{4}.$

Corrigé

Puisque $(v_n)$ est géométrique : $v_n = v_0 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = -\dfrac{25}{2} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$

De $v_n = -2u_n + 3n - \dfrac{21}{2}$, on tire :

$u_n = \dfrac{-v_n + 3n - \dfrac{21}{2}}{2} = \dfrac{\dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 3n - \dfrac{21}{2}}{2}$$

$\phantom{u_n}= \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{21}{4}$$

Donc : $u_n = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{3}{2}n - \dfrac{21}{4}$

c. Soit la somme $S_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n = \sum_{k=0}^{n}u_k.\]

Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

On pourra remarquer que la suite $(u_n)$ est la somme d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique.

Corrigé

$u_n$ est la somme d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique.

$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n} \left[\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k + \dfrac{3}{2}k - \dfrac{21}{4}\right]$

$= \dfrac{25}{4}\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k + \dfrac{3}{2}\sum_{k=0}^{n}k - \dfrac{21}{4}(n+1)$

Somme géométrique : $\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k = \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{2}\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]$

Somme arithmétique : $\sum_{k=0}^{n}k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \dfrac{25}{4} \times \dfrac{3}{2}\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right] + \dfrac{3}{2} \times \dfrac{n(n+1)}{2} - \dfrac{21}{4}(n+1)$

$\phantom{S_n}= \dfrac{75}{8}\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right] + \dfrac{3n(n+1)}{4} - \dfrac{21(n+1)}{4}$

$\phantom{S_n}= \dfrac{75}{8} - \dfrac{75}{8}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} + \dfrac{3n^2 + 3n - 21n - 21}{4}$

$\phantom{S_n}= \dfrac{75}{8} - \dfrac{25}{8}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{3n^2 - 18n - 21}{4}$

Exercice 3 - 2 points

La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_4 = 1$ et

\[\dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = 2.\]

Déterminer $u_0$ et la raison $r$.

Corrigé

$(u_n)$ est une suite arithmétique donc pour tout entier $n$ , $u_n=u_0+nr$.

En particulier $u_4=u_0+4r$ donc $u_0+4r=1$ donc $u_0=1-4r$

et donc $u_1=u_0+r=1-3r$ , $u_2=1-2r$ et $u_3=1-r$

On note que $u_1 \neq 0 \iff r \neq \dfrac{1}{3}$ ; $u_2 \neq 0 \iff r \neq \dfrac{1}{2}$ et $u_3 \neq 0 \iff r \neq 1$

On a donc $\dfrac{1}{u_1u_2}+\dfrac{1}{u_2u_3}=2 \iff \dfrac{u_3}{u_1u_2u_3}+\dfrac{u_1}{u_1u_2u_3}=2 \iff \dfrac{u_1+u_3}{u_1u_2u_3}=2$

soit $\dfrac{1-3r+1-r}{(1-r)(1-2r)(1-3r)}=2 \iff \dfrac{2(1-2r)}{(1-r)(1-2r)(1-3r)}=2 \iff \dfrac{1}{(1-r)(1-3r)}=1$ car $r \neq \dfrac{1}{2}$

donc $(1-r)(1-3r)=1 \iff 3r^2-4r+1=1 \iff r(3r-4)=0$ car $r \neq \dfrac{1}{3}$ et $r \neq 1$

donc $r=0$ ou $r=\dfrac{4}{3}$ or $r=0$ donne une suite constante (qui est bien arithmétique) donc $r=\dfrac{4}{3}$ et donc $u_0 =1-4 \times \dfrac{4}{3}=-\dfrac{13}{3}$

Soit $u_n=1$ ou $u_n=-\dfrac{13}{3}+\dfrac{4}{3}n$

(Merci à Bruno Serres pour cette correction)

	\(A\)	\(\overline{A}\)	Total
\(B\)	\(0.05\)	\(0.15\)	\(0.2\)
\(\overline{B}\)	\(0.05\)	\(0.75\)	\(0.8\)
Total	\(0.1\)	\(0.9\)	\(1\)