Devoir Probabilités et Suites

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Le barème est donné à titre indicatif.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction

Durée : 1h50

Exercice 1

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles

Partie A

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté Face.

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.

Corrigé

On répète trois fois de façon identique et indépendante une expérience à deux issues possibles : la pièce retombe sur Face, ou pas.

La variable aléatoire qui compte le nombre de fois où la pièce est retombée du côté Face suit donc une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{2}$.
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$

$k$ $\:0\:$ $\:1\:$ $\:2\:$ $\:3\quad$

$P(X = k)$

Corrigé

On a :

$P(X=k)=\begin{pmatrix}3\\k\end{pmatrix} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k} \ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3-k}$.

En remplaçant $k$ par $0,1,2,3$ on obtient:

$k$ $\:0\:$ $\:1\:$ $\:2\:$ $\:3\quad$

$P(X = k)$ $\dfrac{1}{8}$ $\dfrac{3}{8}$ $\dfrac{3}{8}$ $\dfrac{1}{8}$

Partie B

Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté Face en un ou deux essais :

On lance trois pièces équilibrées :

- Si les trois pièces sont tombées du côté Face , la partie est gagnée ;

- Sinon, les pièces tombées du côté Face sont conservées et on relance celles tombées du côté Pile .

La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté Face , sinon elle est perdue.

On considère les évènements suivants :

- $G$ : la partie est gagnée .

Et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3, les évènements:

- $A_k$ : $k$ pièces sont tombées du côté Face au premier lancer.

Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac14$.

Corrigé

Dans le cas où l'évènement $A_1$ s'est produit, on va devoir relancer 2 fois la pièce. On peut construire un arbre de probabilité qui illustre cette situation:
Compléter l'arbre pondéré suivant:

Corrigé
Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \dfrac{27}{64}$

Corrigé

$A_1 \cap G$, $A_2 \cap G$, $A_3 \cap G$, et $A_4 \cap G$ réalisent une partition de $G$, d'après la loi des probabilités totales, on a:

$P(G)=P(A_1 \cap G)+P(A_2 \cap G)+P(A_3 \cap G)+P(A_4 \cap G)$

$P(G)=\dfrac{1}{8} \times\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8} \times 1$

$P(G) = p =\dfrac{27}{64}$
La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté Face à la première tentative ?

Corrigé

On calcule $P_G(A_1)=\dfrac{P(A_1 \cap G)}{P(G)}=\dfrac{\frac{3}{8}\times\frac{1}{4}}{\frac{27}{64}}=\dfrac{2}{9}$
Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?

Corrigé

On répète les parties $n$ fois de manière identique et indépendante. La probabilité de gagner est $\dfrac{27}{64}$. Le nombre de parties gagnées noté $Y$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{27}{64}$.

La probabilité de gagner au moins une partie est:

$P(Y\geqslant1)=1-P(Y=0)=1-\left(1-\dfrac{27}{64}\right)^n$

d'où $P(Y\geqslant1)=1-\left(\dfrac{37}{64}\right)^n$.

Avec la calculatrice, on détermine la valeur de $n$ telle que $1-\left(\dfrac{37}{64}\right)^n \geqslant 0,95 \Leftrightarrow 0,05 \geqslant \left(\dfrac{37}{64}\right)^n$, on obtient $n=6$.

Exercice 2 (4,5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère une suite $\left(t_n\right)$ vérifiant la relation de récurrence :

\[\text{pour tout entier naturel } n,~t_{n+1}= - 0,8t_n + 18.\]

Affirmation 1 : La suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = t_n - 10$ est géométrique.

Corrigé

$w_{n+1}=t_{n+1}-10$

$\phantom{w_{n+1}}=- 0,8t_n + 18-10$

$\phantom{w_{n+1}}=- 0,8t_n + 8$

$\phantom{w_{n+1}}=-0,8(t_n-10)$

$\phantom{w_{n+1}}=-0,8w_n$

$(w_n)$ est bien une suite géométrique, l'affirmation 1 est vraie.
On considère une suite $\left(S_n\right)$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul :

\[3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4.\]

La suite $\left(u_n\right)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n=\dfrac{S_n}{n}$.

Affirmation 2 : La suite $\left(u_n\right)$ converge.

Corrigé

$3n - 4 \leqslant S_n \leqslant 3n + 4 \Leftrightarrow 3 - \dfrac{4}{n} \leqslant u_n \leqslant 3 + \dfrac{4}{n}$

Or $\lim\limits_{n \to \infty}{3-\dfrac{4}{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}{3+\dfrac{4}{n}}=3$

D'après le théorème d'encadrement, la suite $(u_n)$ est donc convergente vers $3$.

L'affirmation 2 est VRAIE
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :

$v_1=2$ et pour tout entier naturel $ n>1$, $v_{n+1}=2-\dfrac{1}{v_n}.$

Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_{n}=\dfrac{n+1}{n}$.

Corrigé

Soit $\text{H}_n$ : $v_{n}=\dfrac{n+1}{n}$ l'hypothèse de récurrence.

Initialisation

Pour $n=1$, on a $\dfrac{1+1}{1}=2$ et $v_1=2$. D'où $\text{H}_1$ est vraie.

Hérédité

Supposons $\text{H}_n$ vraie pour une valeur de $n$ donnée et montrons qu'alors $\text{H}_{n+1}$ est vraie.

$v_{n}=\dfrac{n+1}{n}$

$\Rightarrow-\dfrac{1}{v_n}=-\dfrac{n}{n+1}$

$\Rightarrow 2-\dfrac{1}{v_n}=2-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}=\dfrac{n+2}{n+1}$

D'où $\text{H}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion

$\text{H}$ est héréditaire et initialisée pour $n=1$, par récurrence sur $n$, on a $\text{H}_{n}$ vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

L'affirmation 3 est vraie.
Soient les suites $\left(w_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ telles que :

\[u_n=\dfrac{1}{1-w_n}\]

Affirmation 4 : Si $(w_n)$ converge vers 1, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Corrigé

Si $(w_n)$ converge vers $1^+$ (ou $w_n=1+\dfrac{1}{n}$), alors $\lim\limits_{n \to +\infty}1-w_n=0^-$, par inverse $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty$

L'affirmation 4 est fausse.

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\]

On admettra que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,

\[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 5\]

Corrigé

Soit $\text{P}_n$ : $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 5$ l'hypothèse de récurrence.

Initialisation

On calcule $u_1=5 - \dfrac{4}{u_0 + 2}=5 - \dfrac{4}{1 + 2}=\dfrac{15}{3}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{11}{3}$.

D'où $\text{P}_0$ est vraie.

Hérédité

Supposons $\text{P}_n$ vraie pour une valeur de $n$ donnée et montrons qu'alors $\text{P}_{n+1}$ est vraie.

$0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 5 \Rightarrow f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(5)$

or $f(0)=3 \geqslant 0$ et $f(5)=5-\dfrac{4}{7}\leqslant 5$

D'où $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 5$.

Conclusion

$\text{P}$ est héréditaire et initialisée pour $n=0$, par récurrence sur $n$, on a $\text{P}_{n}$ vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.

Corrigé

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 5, d'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\]
Calculer $S_0$, $S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près.

Corrigé

$S_0=u_0=1$

$S_1=u_0+u_1=1+\dfrac{11}{3}\approx4,67$

$S_2=u_0+u_1+u_2=1+\dfrac{11}{3}+\dfrac{73}{17}\approx8,96$

Compléter l'algorithme afin qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur.

def somme(n):
    u=1
    s=u
    i=0
    while ............................ :
        i = i+1
        u = ..........................
        s = ..........................
    return s

Corrigé

def somme(n):
    u=1
    s=u
    i=0
    while i<n :
        i = i+1
        u = 5-4/(u+2)
        s = s+u
    return s

Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$.

Corrigé

La suite $(u_n)$ étant croissante, chacun de ses termes est minoré par $u_0=1$. Par conséquent, $S_n \geqslant (n+1)\times 1$

Or $\lim\limits_{n \to +\infty}n+1=+\infty$, d'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty}S_n=+\infty$.