Devoir sur les probabilités : Bienaymé-Tchebichev

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point. On considère que :

• Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1.
• Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2 ; s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note :

• \(A\) l'évènement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ;
• \(B\) l'évènement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».

On note \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) les évènements contraires de \(A\) et de \(B\).

1. Recopier et compléter les pointillés de l'arbre pondéré ci-dessous.

Corrigé

Les probabilités manquantes sont : \(P(A) = 0{,}8\), \(P(\overline{A}) = 0{,}2\), \(P_A(B) = 0{,}6\), \(P_A(\overline{B}) = 0{,}4\), \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}1\), \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}9\).

2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.

Corrigé

Par la formule des probabilités composées :

\[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}8 \times 0{,}6 = 0{,}48\]

3. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.

Corrigé

\(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\[P(B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B) = 0{,}8 \times 0{,}6 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}48 + 0{,}02 = 0{,}5\]

On note :

• \(X_1\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
• \(X_2\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
• \(X\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice, c'est-à-dire \(X = X_1 + X_2\).

4. Déterminer l'espérance de \(X_1\) et de \(X_2\). En déduire l'espérance de \(X\). Donner une interprétation de l'espérance de \(X\) dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

\(X_1\) vaut 1 avec probabilité \(P(A) = 0{,}8\) et 0 avec probabilité \(0{,}2\), donc :

\[E(X_1) = 1 \times 0{,}8 + 0 \times 0{,}2 = 0{,}8\]

\(X_2\) vaut 1 avec probabilité \(P(B) = 0{,}5\) et 0 avec probabilité \(0{,}5\), donc :

\[E(X_2) = 1 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}5 = 0{,}5\]

Par linéarité de l'espérance :

\[E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 0{,}8 + 0{,}5 = 1{,}3\]

Interprétation : Si l'on prenait un grand nombre de candidats, leur note moyenne au premier exercice serait proche de 1,3 point sur 2.

5. On souhaite déterminer la variance de \(X\).

a. Déterminer \(P(X = 0)\) et \(P(X = 2)\). En déduire \(P(X = 1)\).

Corrigé

\(X = 0\) signifie que le candidat rate les deux questions :

\[P(X = 0) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}18\]

\(X = 2\) signifie que le candidat réussit les deux questions :

\[P(X = 2) = P(A \cap B) = 0{,}48\]

Par complémentarité :

\[P(X = 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 2) = 1 - 0{,}18 - 0{,}48 = 0{,}34\]

b. Montrer que la variance de \(X\) vaut 0,57.

Corrigé

On calcule d'abord \(E(X^2)\) :

\[E(X^2) = 0^2 \times 0{,}18 + 1^2 \times 0{,}34 + 2^2 \times 0{,}48 = 0 + 0{,}34 + 1{,}92 = 2{,}26\]

Par la formule de König-Huygens :

\[V(X) = E(X^2) - \left[E(X)\right]^2 = 2{,}26 - 1{,}3^2 = 2{,}26 - 1{,}69 = 0{,}57\]

c. A-t-on \(V(X) = V(X_1) + V(X_2)\) ? Est-ce surprenant ?

Corrigé

\(X_1\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}8\), donc \(V(X_1) = 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16\).

\(X_2\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}5\), donc \(V(X_2) = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25\).

On obtient \(V(X_1) + V(X_2) = 0{,}16 + 0{,}25 = 0{,}41 \neq 0{,}57 = V(X)\).

Ce n'est pas surprenant : la formule \(V(X_1 + X_2) = V(X_1) + V(X_2)\) n'est valide que lorsque \(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes, ce qui n'est pas le cas ici — la probabilité de réussir Q2 dépend du résultat obtenu à Q1.

Partie II

Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point. Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité \(\dfrac{3}{4}\) de répondre correctement, indépendamment des autres questions. On note \(Y\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c'est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier que \(Y\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Corrigé

Pour chaque question, on a deux issues possibles : soit le candidat répond correctement (succès, \(p = \dfrac{3}{4}\)), soit il ne répond pas correctement (échec).

On répète cette expérience 8 fois de façon identique et indépendante (les questions sont indépendantes, de même difficulté).

\(Y\) compte le nombre de succès, donc \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 8\) et \(p = \dfrac{3}{4}\).

2. Donner la valeur exacte de \(P(Y = 8)\).

Corrigé

\[P(Y = 8) = \binom{8}{8} \left(\frac{3}{4}\right)^8 \left(\frac{1}{4}\right)^0 = \left(\frac{3}{4}\right)^8 = \frac{3^8}{4^8} = \frac{6561}{65536}\]

3. Donner l'espérance et la variance de \(Y\).

Corrigé

Par les formules de la loi binomiale :

\[E(Y) = n \times p = 8 \times \frac{3}{4} = 6\]

\[V(Y) = n \times p \times (1-p) = 8 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\]

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l'examen : \(Z = X + Y\).

1. Calculer l'espérance et la variance de \(Z\).

Corrigé

Par linéarité de l'espérance :

\[E(Z) = E(X) + E(Y) = 1{,}3 + 6 = 7{,}3\]

\(X\) et \(Y\) étant indépendantes, la variance est additive :

\[V(Z) = V(X) + V(Y) = 0{,}57 + 1{,}5 = 2{,}07\]

2. Soit \(n\) un nombre entier strictement positif.

Pour \(i\) entier variant de 1 à \(n\), on note \(Z_i\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de \(n\) élèves, associe la note de l'élève numéro \(i\) à l'examen.

On admet que les variables aléatoires \(Z_1, Z_2, \ldots, Z_n\) sont identiques à \(Z\) et indépendantes.

On note \(M_n\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de \(n\) élèves, associe la moyenne de leurs \(n\) notes, c'est-à-dire :

\[M_n = \dfrac{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}{n}\]

a. Quelle est l'espérance de \(M_n\) ?

Corrigé

Les \(Z_i\) sont de même loi que \(Z\), donc par linéarité de l'espérance :

\[E(M_n) = \frac{1}{n} \times n \times E(Z) = E(Z) = 7{,}3\]

b. Quelles sont les valeurs de \(n\) telles que l'écart type de \(M_n\) soit inférieur ou égal à 0,5 ?

Corrigé

Les \(Z_i\) étant indépendantes et de même variance :

\[V(M_n) = \frac{V(Z)}{n} = \frac{2{,}07}{n}\]

On cherche \(\sigma(M_n) \leqslant 0{,}5\), soit \(V(M_n) \leqslant 0{,}25\) :

\[\frac{2{,}07}{n} \leqslant 0{,}25 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{2{,}07}{0{,}25} = 8{,}28\]

Donc les valeurs valides sont les entiers \(n \geqslant 9\).

c. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que \(6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3\) est supérieure ou égale à 0,75.

Corrigé

On remarque que \(6{,}3 = 7{,}3 - 1\) et \(8{,}3 = 7{,}3 + 1 = E(M_n) + 1\), donc :

\[\{6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3\} = \{|M_n - E(M_n)| \leqslant 1\}\]

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev appliquée à \(M_n\) avec \(\varepsilon = 1\) :

\[P\bigl(|M_n - E(M_n)| \geqslant 1\bigr) \leqslant \frac{V(M_n)}{1^2} = \frac{2{,}07}{n}\]

Par complémentarité :

\[P(6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3) \geqslant 1 - \frac{2{,}07}{n}\]

Pour \(n \geqslant 9\), la fonction \(n \mapsto 1 - \dfrac{2{,}07}{n}\) est croissante, donc :

\[1 - \frac{2{,}07}{n} \geqslant 1 - \frac{2{,}07}{9} \approx 1 - 0{,}23 = 0{,}77 \geqslant 0{,}75\]

Ainsi, pour tout entier \(n \geqslant 9\) :

\[P(6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3) \geqslant 0{,}75\]