Devoir Probabilités et Suites 7 octobre 2022

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Sujet construit à partir de sujets du baccalauréat 2021

Durée: 1h50

Exercice 1 (10 points)

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à \(10^{-3}\).

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants:

• si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est \(0,98\) (sensibilité du test) ;

• si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est \(0,995\) (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à  une compétition d'athlétisme.

On note \(\text D\) l'évènement l'athlète est dopé et \(\text T\) l'évènement le test est positif .

On admet que la probabilité de l'évènement \(\text D\) est égale à 0,08.

1. Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.

2. Démontrer que \(p(\text T) = 0,083\).

3. 1. Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?

   2. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'évènement un athlète présentant un test positif est dopé est supérieure ou égale à  \(0,95\).

      Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ?

      Justifier.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est \(0,103\).

1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler \(5\) athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.

   On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les \(5\) athlètes contrôlés.

   1. Donner la loi suivie par la variable aléatoire \(X\). Préciser ses paramètres.

   2. Calculer l'espérance \(E(X)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

   3. Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

2. Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'évènement au moins un athlète contrôlé présente un test positif soit supérieure ou égale à \(0,75\) ? Justifier.

Exercice 2 (10 points)

Commun à tous les candidats

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable.

Elle propose alors à ses  collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.

En mai 2020, seuls \(200\) d'entre eux ont choisi le télétravail.

Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que \(85\) % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, \(450\) collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite \(\left(a_n\right)\).

Le terme \(a_n\) désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le \(n\)-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi \(a_0 = 200\).

Partie A :

1. Calculer \(a_1\).

2. Justifier que pour tout entier naturel \(n\),  \(a_{n+1} = 0,85a_n + 450\).

3. On considère la suite \(\left(v_n\right)\) définie pour tout entier naturel n par: \(v_n = a_n - 3000\).

   1. Démontrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(0,85\).

   2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).

   3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n = - 2800 \times 0,85^n + 3000\).

4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à \(2500\), après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise.

Partie B :

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}\]

\(u_n\) désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de \(n\) mois après le mois de mai 2020.

1. Démontrer que la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in [0~;~ +\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{5x+4}{x+2}\) est strictement croissante sur \([0~;~+ \infty[\).

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

   \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.\]

3. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\),

   \[0 \leqslant 4 - u_n \leqslant 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.\]

   indice: on pourra commencer par établir une relation entre \(4 - u_{n+1}\) et \(4 - u_n\).

Exercice 1

Partie A

1. Arbre pondéré

   

2. \(D \cap T\) et \(\overline{D} \cap T\) réalisent une partition de \(T\), d'après la loi des probabilités totales :

   \(P(T) = P(D \cap T) + P\left(\overline{D} \cap T \right)\) : or

   \(P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0,08 \times 0,98 = {0,0784}\) et

   \(P\left(\overline{D} \cap T \right) = P\left(\overline{D} \right) \times P_{\overline{D}}(T) = 0,92 \times 0,005 = {0,00460}\). Donc :

   \(P(T) = {0,0784} + {0,0046} = 0,083\).

3. 1. La probabilité conditionnelle \(P_T(D) = \dfrac{P(T \cap D)}{P(T)} = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{ {0,0784}}{0,083} \approx {0,9445}\), soit 0,945 au millième près.

   2. D'après la question précédente \(0,945 < 0,95\), donc le test ne sera pas commercialisé.

Partie B

1. 1. Soit l'expérience "un athlète présente un test positif" sa probabilité de succès est \(0,103\). On répète 5 fois cette expérience de façon indépendante et aléatoire. La variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre d'athlètes qui ont obtenu un test positif suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = 0,103\).

   2. On sait que \(E = n \times p = 5 \times 0,103 = 0,515\) : ceci montre que sur un grand nombre de contrôles, il y aura à peu près 1 athlète sur 10 contrôlé positif.

   3. La probabilité qu'aucun athlète ne soit contrôlé positif est :

      \(0,103^0 \times (1 - 0,103)^5 = 0,897^5 \approx {0,5807}\) soit environ 0,581 au millième près.

      Donc la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif est :

      \(1 - 0,581\), soit 0,419 au millième près.

2. On a pour \(n\) athlètes contrôlés, \(P(X = 0) = 0,103^0 \times 0,897^n = 0,897^n\).

   Il faut donc trouver \(n\) tel que :

   \(1 - 0,897^n \geqslant 0,75 \iff 1 - 0,75 \geqslant 0,897^n \iff 0,25 \geqslant 0,897^n\).

   La calculatrice donne le plus petit \(n \in \mathbb{N}\) vérifiant cette inéquation : pour \(n = 13\), on a \(0,897^{13} \approx 0,243\).

   Il faut donc contrôler 13 athlètes en moyenne pour en trouver un positif.

Exercice 2

Partie A

1. \(a_1 = a_0 \times \dfrac{85}{100}+ 450 = 200 \times \dfrac{85}{100}+ 450 = 620\)

2. Prendre les 85 % du nombre de collaborateurs en télétravail revient à multiplier par \(0,85\); puis on ajoute 450 donc, pour tout entier naturel \(n\), on a: \(a_{n+1} = 0,85a_n + 450\).

3. On considère la suite \(\left(v_n\right)\) définie pour tout entier naturel n par: \(v_n = a_n - {3000}\); on en déduit que \(a_n=v_n+{3000}\).

   1. Donc la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=0,85\) et de premier terme \(v_0=-{2800}\).

   2. On en déduit que, pour tout \(n\), on a \(v_n=v_0\times q^n = -{2800}\times 0,85^n\).

   3. Or \(u_n=v_n+{3000}\) donc, pour tout entier naturel \(n\),  \(a_n = {- 2800} \times 0,85^n + {3000}\).

4. Le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à \(2500\), après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise est le nombre entier \(n\) tel que \(a_n>{2500}\).

   Avec la calculatrice, on obtient 11.

   (à ce moment de l'année, on attend pas de démonstration.)

Partie B

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}\]

où \(u_n\) désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de \(n\) mois après le mois de mai 2020.

1. Soit \(f\) la fonction définie pour tout \(x \in [0~;~+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{5x+4}{x+2}\).

   \(f\) est une fonction rationnelle définie sur \([0~,~+\infty[\) donc elle est dérivable sur \([0~;~+\infty[\).

   \(f'(x)= \dfrac{5\times (x+2) - (5x+4)\times 1}{(x+2)^2} = \dfrac{5x+10 -5x-4)\times 1}{(x+2)^2} = \dfrac{6}{(x+2)^2}\)

   \(f'(x)>0\) sur \([0~,~+\infty[\), donc la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

2. Soit \(\mathcal P_n\) la propriété \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).

   Initialisation

   On a \(u_0=1\) et \(u_1=3\), \(\mathcal P_0\) est donc vraie.

   Hérédité

   Supposons \(\mathcal P_n\) vraie pour un \(n\) donné, montrons qu'alors \(\mathcal P_{n+1}\) l'est aussi.

   On a:

   \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4 \Rightarrow f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(4)\) car \(x \mapsto f(x)\) est une fonction croissante sur \([0~;~+\infty[\).

   \(\Rightarrow 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4\) \(\Rightarrow 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4\) soit \(\mathcal P_{n+1}\)

   Conclusion

   Par récurrence sur \(n\), on a donc démontré que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a:

   \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\]

3. On a \(4 - u_{n+1}=\dfrac{4(u_n+2)-(5u_n+4)}{u_n+2}=\dfrac{4-u_n}{u_n+2}\).

   De plus, \(u_n \geqslant 0 \Rightarrow u_n+2 \geqslant 2 \Rightarrow \dfrac{1}{u_n+2} \leqslant \dfrac{1}{2}\) soit \(\dfrac{4-u_n}{u_n+2} \leqslant \dfrac{1}{2} (4-u_n)\)

   On déduit \(4-u_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2} (4-u_n)\)

   De même, on déduit \(4-u_{n}\leqslant \dfrac{1}{2} (4-u_{n-1})\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

   Par récurrence, on obtient alors \(4-u_{n}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n (4-u_0)\Leftrightarrow 4-u_{n}\leqslant 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)

   Avec la question précédente on déduit \(0 \leqslant 4-u_{n}\leqslant 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)