DS1 : Probabilités et Suites

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Le barème est donné à titre indicatif.

Durée : 2h

Exercice 1 (d'après bac S, Nouvelle Calédonie 2012, 8 points)

On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

L'urne ${\text{U}}_1$  contient trois boules rouges et une boule noire.

L'urne ${\text{U}}_2$  contient trois boules rouges et deux boules noires.

Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1 ou 2, il tire au hasard une boule dans l'urne ${\text{U}}_1$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne ${\text{U}}_2$ .

On considère les évènements suivants :

• $\text{A}$ : obtenir 1 ou 2 en lançant le dé,

• $\text{B}$ : obtenir une boule noire,

$\overline{\text{A}}$  et $\overline{\text{B}}$ sont les évènements contraires.

1. a) Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

   b) Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $0,35$.

   c) Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

   d) Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 ou 2 en lançant le dé.

2. On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue cinq parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note $\text{X}$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

   a) Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.

   b) Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

3. On joue maintenant $n$  parties

   a) Donner, en fonction de $n$, la probabilité de gagner au moins une partie.

   b) Combien de parties doit-on jouer pour que la probabilité d'en gagner au moins une dépasse 0,999999?

Exercice 2 (d'après bac S; Liban 2013, 8 points)

On considère la suite numérique $(v_n)$  définie pour tout entier naturel $n$  par

$$\{\begin{array}{c}{v}_0=1\\ v_{n+1}={\displaystyle \frac{16}{8-v_n}}\end{array}$$

Partie A

1. Écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$  donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.

2. Pour $n=4$  on obtient l'affichage suivant :

   Sortie
   1
   2.28
   2.8
   3.077
   3.25

   Pour $n=100$, les derniers termes affichés sont :

   Sortie
   3.958
   3.958
   3.959
   3.960
   3.960

   Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $(v_n)$?

3. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0<v_n<4$.

   b) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}-v_n={\displaystyle \frac{(4-v_n{)}^2}{8-v_n}}$

   La suite $(v_n)$  est-elle monotone ?

   c) Démontrer que la suite $(v_n)$  est convergente.

Partie B

Recherche de la limite de la suite $(v_n)$

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $w_n={\displaystyle \frac{1}{4-v_n}}$.

1. Démontrer que $(w_n)$  est une suite arithmétique de raison ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

2. En déduire l'expression de $(w_n)$, puis celle de $(v_n)$ en fonction de $n$.

3. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

Exercice 3 - 4 points

1. Restitution organisée de connaissances

   On rappelle que par définition une suite tend vers +$\mathrm{\infty }$ si tout intervalle [A; +$\mathrm{\infty }$[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

   Démontrer que si $(u_n)$  et $(v_n)$  sont deux suites, que pour tout $n$  à partir d'un certain rang ${\text{N}}_0$  $u_n\le v_n$  et que $(u_n)$  tend vers $+\mathrm{\infty }$, alors $(v_n)$  tend vers $+\mathrm{\infty }$.

2. On considère la suite $(u_n)$  définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n={\displaystyle \frac{2^n}{n+1}}$.

   1. Montrer qu'elle est croissante.

   2. Montrer par récurrence que, pour tout $n\ge 8$, ${\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n\ge n+1$.

   3. En déduire que, pour tout $n\ge 8$, $u_n\ge {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n$.

   4. Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ ?