Devoir Probabilités et Suites

L'usage de la calculatrice est autorisé

Le barème est donné à titre indicatif

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 1h50

Exercice 1 (2 points)

Répondre par vrai ou faux. Justifier les réponses.

1. Si deux événements \(A\)  et \(B\)  sont indépendants, alors \(\bar A\) et \(B\)  le sont aussi.

2. Si \(2\)  événements \(A\)  et \(B\)  sont incompatibles, alors \(\bar A\) et \(\bar B\)  le sont aussi.

Exercice 2 (4 points)

Soit la suite \((u_n)\)  définie par \(u_0=3\)  et, pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}\) .

1. Déterminer les cinq premiers termes de la suite, puis faire une conjecture sur l'expression du terme général de la suite.

2. Démontrer par récurrence que le terme \(u_n\)  ne s'annule jamais.

3. On définit \((v_n)\)  telle que \(v_n=\frac 1{u_n}\)  pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).

   a. Montrer que la suite \((v_n)\)  est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

   b. En déduire l'expression de \(v_n\)  puis celle de \(u_n\)  en fonction de \(n\) .

   c. Déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\) .

Exercice 3 (8 points)

Soit \((u_n)\)  la suite définie par \(u_0=5\)  et pour tout nombre entier naturel \(n\) , par \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\) .

\(f\)  est la fonction définie sur \(]-4\mathrm ;+\infty [\)  par \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}\). On a donc, pour tout nombre naturel \(n\) , \(u_{n+1}=f(u_n)\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(]-4\mathrm ;+\infty [\) .

2. a. Construire ci-dessous les premiers termes de la suite \((u_n)\) sur l'axe des abscisses. Attention, le repère n'est pas orthonormé !

   

   b. Quelle conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et le comportement de \((u_n)\)  ?

3. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\) , \(u_n>1\) .

   b. Établir que pour tout entier naturel n, \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}\)  et en déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\) .

   c. En déduire la convergence éventuelle de \((u_n)\) . Justifier.

4. Dans cette question, on se propose de déterminer une expression de \(u_n\)  en fonction de \(n\) .

   Pour tout nombre entier naturel \(n\), on pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\) .

   a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac 2 5\) .

   b. Pour tout nombre entier naturel \(n\), exprimer \(v_n\)  puis \(u_n\) en fonction de \(n\) .

5. Pour cette question, on pourra admettre que \(u_n=\dfrac 3{1-\dfrac 4 7\times \left(\dfrac 2 5\right)^n}-2\) .

   a. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\)

   b. Donner un algorithme en langage naturel qui permet de déterminer le plus petit entier \(n\)  tel que \(u_n-1<10^{-9}\)  ?

   Question bonus : Le faire fonctionner sur la calculatrice pour obtenir la valeur de \(n\) .

Exercice 4 (6 points)

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l'horticulteur \(\mathrm H_1\) , 25% de l'horticulteur \(\mathrm H_2\)  et le reste de l'horticulteur \(\mathrm H_3\). Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur \(\mathrm H_1\)  comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur \(\mathrm H_2\)  n'en comporte que 50% et celle de l'horticulteur \(\mathrm H_3\)  seulement 30%.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

   On envisage les événements suivants :

   \(\mathrm H_1\) : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur \(\mathrm H_1\) »,

   \(\mathrm H_2\) : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur \(\mathrm H_2\) »,

   \(\mathrm H_3\) : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur \(\mathrm H_3\) »,

   \(\mathrm C\) : « l'arbre choisi est un conifère »,

   \(\mathrm F\) : « l'arbre choisi est un arbre feuillu ».

   1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

   2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur \(\mathrm H_3\) .

   3. Justifier que la probabilité de l'événement \(\mathrm C\)  est égale à \(0,525\) .

   4. L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur \(\mathrm H_1\) ? On arrondira à \(10^{-3}\) .

2. On choisit au hasard un échantillon de \(10\)  arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de \(10\)  arbres dans le stock.

   On appelle \(\mathrm X\)  la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.

   1. Justifier que \(\mathrm X\)  suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

   2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement \(4\)  conifères ? On arrondira à \(10^{-3}\) . Détailler les calculs.

   3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à \(10^{-3}\) . Préciser votre démarche.