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date: 2024-16-04 geometry: "left=1.5cm,right=1.5cm,top=1cm,bottom=1cm" output: pdf_document status: new

# Devoir Primitives et équations différentielles sujet B _L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé_ *Le barème est donné à titre indicatif* *Un soin particulier sera apporté à la rédaction.* *Durée : 40 min*

Exercice 1 : QCM (4 points)

Pour chacune des cinq questions suivantes,une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

  1. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = xe^{x^2}\).

    La primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(0) = 1\) a pour expression

A. \(F(x)=\dfrac{x^2}{2}e^{x^2} \quad\) B. \(F(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^2} \quad\) C. \((1+2x^2)e^{x^2} \quad\) D. \(\dfrac{1}{2}e^{x^2}+\dfrac{1}{2} \quad\)

  1. Soit la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x^2}{1-x^3}\).

    Une primitive \(F\) sur \(]-1;1[\) de \(f\) a pour expression :

A. \(\dfrac{x^4+2x}{(1-x^3)^2} \quad\) B. \(\dfrac{4}{3}\dfrac{x^3}{x-x^4} \quad\) C. \(-\dfrac{1}{3}\ln(1-x^3) \quad\) D. \(\dfrac{x^3}{3}\ln(1-x^3) \quad\)

  1. \(f\) une solution de l'équation différentielle \(y'=y-3\) telle que \(f(\ln{3}) = 0\) alors :

A. \(f(x)=-3e^{-x}+1 \quad\) B. \(f(x) = e^{x} - 3 \quad\) C. \(f(x) = e^{-x} + 3 \quad\) D. \(f(x) = -e^{x} + 3 \quad\)

  1. La fonction \(x \mapsto \ln{x}+1\) admet comme primitive sur \(]0;+\infty[\) :

A. \(x \mapsto x\ln{x} \quad\) B. \(x \mapsto \dfrac{1}{x} \quad\) C. \(x \mapsto \dfrac{1+x^2}{x} \quad\) D. \(x \mapsto e^x \quad\)

Corrigé
  1. D
  2. C
  3. D
  4. A

Exercice 2 : Équations différentielles et dissolution d'un composé chimique (5 points)

  1. Soit l'équation différentielle (E) : \(2y'-3y=9\).

    a) DĂ©terminer l'ensemble des solutions de l'Ă©quation (E).

    b) DĂ©terminer la solution \(f\) de (E) telle que \(f(-1) = 1\).

  2. La vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante. On place 20 g de ce composé chimique dans l'eau.

    On note \(q(t)\) la quantité restante, en g, du composé en fonction du temps \(t\) exprimé en minutes.

    a) Que vaut \(q(0)\)?

    b) Au bout de 5 minutes, il ne reste que 10 g. Montrer que \(q(t) = 20 e^{-\frac{\ln 2}{5}t}\).

    c) Déterminer le temps nécessaire pour qu'il ne reste qu'un gramme de ce composé ?

    On donnera ce temps à la seconde près

Exercice 3

On mesure le taux de présence d'un poison par litre de sang en gramme par litre. Soit \(f(t)\) ce taux, après un temps \(t\) en heures, d'une personne ayant absorbé une quantité de poison.

Cette fonction \(f\) vérifie l'équation différentielle (E) : \(y' + y = 4e^{-t}\)

1) Déterminer le réel \(a\) pour que la fonction \(p\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(p(t) = ate^{-t}\) soit une solution particulière de (E).

2) RĂ©soudre alors l'Ă©quation (E).

3) DĂ©terminer la fonction \(f\) solution de (E) telle que \(f(0) = 0.2\).

4) DĂ©terminer le temps \(t_0\) pour lequel le taux de poison est maximum. Quel est alors ce taux en \(g.l^{-1}\) ?