Devoir Primitives et équations différentielles sujet A

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Le barème est donné à titre indicatif

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 40 min

Exercice 1 : QCM (4 points)

Pour chacune des cinq questions suivantes,une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. La fonction \(\ln\) admet comme primitive sur \(]0;+\infty[\) :

   A. \(x \mapsto \ln{x} \quad\)

   B. \(x \mapsto \dfrac{1}{x} \quad\)

   C. \(x \mapsto x\ln{x}-x \quad\)

   D. \(x \mapsto \dfrac{\ln{x}}{x} \quad\)

2. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x^2e^{x^3}\).

   La primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(0) = 1\) a pour expression

   A. \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}e^{x^3} \quad\)

   B. \(F(x)=\dfrac{1}{3}e^{x^3} \quad\)

   C. \((1+x^2)e^{x^3} \quad\)

   D. \(\dfrac{1}{3}e^{x^3}+\dfrac{2}{3} \quad\)

3. Soit la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x}{1-x^2}\).

   Une primitive \(F\) sur \(]-1;1[\) de \(f\) a pour expression :

   A. \(-\dfrac{1}{2}\ln(1-x^2) \quad\)

   B. \(\dfrac{1+x^2}{(1-x^2)^2} \quad\)

   C. \(\dfrac{x^2}{2(x-\frac{x^3}{3})} \quad\)

   D. \(\dfrac{x^2}{2}\ln(1-x^2) \quad\)

4. \(f\) une solution de l'équation différentielle \(y'=-y+3\) telle que \(f(\ln{2}) = 1\) alors :

   A. \(f(x) = -2e^{-x} - 3 \quad\)

   B. \(f(x) = 8e^{-x} - 3 \quad\)

   C. \(f(x) = e^{-x} + 3 \quad\)

   D. \(f(x)=-4e^{-x}+3 \quad\)

Corrigé

1. C
2. D
3. A
4. D

Exercice 2 (2 points)

Soit l'équation différentielle (E) : \(2y'-3y=9\).

a) Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (E).

b) Déterminer la solution \(f\) de (E) telle que \(f(-1) = 1\).

Corrigé

a) On résout l'équation sans second membre:

\(f(x)=Ae^{ {\frac{3}{2}}x}-3\) (cours) avec \(A\) réel.

b) La condition initiale \(f(-1)=1\) permet de déterminer \(A\).

\(f(-1)=Ae^{-\frac{3}{2}}-3=1\) soit \(A=4e^{\frac{3}{2}}\)

D'où \(f(x)=4e^{ {\frac{3}{2}}x+\frac{3}{2}}-3\)

Exercice 3 (4 points)

On mesure le taux de présence d'un poison par litre de sang en gramme par litre. Soit \(f(t)\) ce taux, après un temps \(t\) en heures, d'une personne ayant absorbé une quantité de poison.

Cette fonction \(f\) vérifie l'équation différentielle (E) : \(y' + y = 4e^{-t}\)

1. Déterminer le réel \(a\) pour que la fonction \(p\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(p(t) = ate^{-t}\) soit une solution particulière de (E).

2. Résoudre alors l'équation (E).

3. Déterminer la fonction \(f\) solution de (E) telle que \(f(0) = 0.2\).

4. Déterminer le temps \(t_0\) pour lequel le taux de poison est maximum. Quel est alors ce taux en \(g.l^{-1}\) ?

Corrigé

1. \(te^{-t}\) est de la forme \(uv\) avec \(u(t)=t\) et \(v(t)=e^{-t}\) soit \(u'(t)=1\) et \(v'(t)=-e^{-t}\)

   d'où \((te^{-t})'=1 \times e^{-t}+t \times (-e^{-t})\)

   soit \((te^{-t})'=e^{-t}-te^{-t}\) on en déduit \(p'(t)=a(1-t)e^{-t}\)

   On calcule : \(p'(t)+p(t)=a(1-t)e^{-t}+ate^{-t}=ae^{-t}\) soit \(a=4\)

2. De plus, les solutions générales de l'équation différentielle \(y'+y=0\) s'écrivent sous la forme \(x \mapsto Ae^{-t}\). Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions \(f(t)=Ae^{-t}+4te^{-t}\) avec \(A\) un nombre réel.

3. On a $f(0)=0.2 \Leftrightarrow \(f(0)=Ae^{0}=0.2\) d'où \(A=0.2\)

   Soit \(f(t)=0.2e^{-t}+4te^{-t}=(4t+0.2)e^{-t}\)

4. \(f'(t)+f(t)=4e^{-t}\) donc \(f'(t)=4e^{-t}-(4t+0.2)e^{-t}=(3.8-4t)e^{-t}\)

   On a \(e^{-t}>0\) sur \(\mathbb{R}^+\) donc \(f'(t)\) est du signe de \(3.8-4t\)

   Soit positive sur \([0;0.95]\) et négative sur \([0;+\infty[\).

   \(f\) admet donc un maximum au bout de 0.95h, soit 57 minutes.

   Ce taux est alors de \(f(0.95) \approx 1.55 g.l^{-1}\)