Devoir de mathématiques sur la loi binomiale
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction.
Durée : 40 minutes
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques lors desquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l'aller et le retour. À l'aller, le bateau est choisi dans 65% des cas.
- Lorsque le bateau est choisi Ă l'aller, il l'est Ă©galement pour le retour 9 fois sur 10.
- Lorsque le train a été choisi à l'aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70% des cas.
On interroge au hasard un client. On considère les événements suivants :
\(\text{A}\) : "le client choisit de faire l'aller en bateau" ;
\(\text{R}\) : "le client choisit de faire le retour en bateau" .
On rappelle que si \(\text{E}\) est un événement, \(\text{P(E)}\) désigne la probabilité de l'événement et on note \(\overline{\text{E}}\) l'événement contraire de \(\text{E}\).
-
Traduire cette situation par un arbre pondéré.
Corrigé
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On choisit au hasard un client de l'agence.
a. Calculer la probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau.
Corrigé
\(P(A \cap R)=P(A) \times P_{A}(R)=0.65 \times \dfrac{9}{10}=0,585\)
b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à \(0,31\).
Corrigé
Soit \(\text D\) l'évènement "utiliser deux moyens de transport"
\(A \cap \overline{R}\) et \(\overline{A} \cap R\) réalisent une partition de \(\text D\).
D'après la loi des probabilités totales :
\(P(D)= P(A \cap \overline{R})+P(\overline{A} \cap R)\)
\(P(D)= P(A) \times P_A(\overline{R})+P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(R)\)
\(P(D) = 0.65 \times \dfrac{1}{10}+0.35 \times \dfrac{7}{10}\)
\(P(D) = 0.31\)
-
On choisit au hasard 20 clients de cette agence. On note \(\text{X}\) la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
a. Quelle est la loi suivie par \(\text{X}\) ? Justifier.
Corrigé
Pour chaque client, on a deux issues possibles: soit il utilise le même moyen de transport à l'aller et au retour, soit il en utilise deux. On considère le succès comme étant l'issue "il en utilise deux", avec \(p=0.31\)
On répète cette expérience de façon identique et indépendante (les clients ne se connaissent pas) 20 fois, donc \(n=20\)
\(\text{X}\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0.31\)
b. Déterminer la probabilité qu'exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents.
Corrigé
\(P(\text{X}=12)=\left( \begin{array}{cc}20\\12\end{array}\right) 0.31^{12} \times 0.69^{(20-12)} \approx 0.005\)
c. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.
Corrigé
On a \(P(\text{X}\geqslant 2)=1-P(\text{X}\leqslant 1)=1-P(\text{X}=0)-P(\text{X}=1) \approx 0.994\)
-
Le coût d'un trajet aller ou d'un trajet retour est de 1560€ en bateau ; il est de 1200€ en train.
On note \(\text{Y}\) la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euros de son trajet aller-retour.
a. Déterminer la loi de probabilité de \(\text{Y}\).
Corrigé
\(k\) 2400 2760 3120 \(P(Y=k)\) 0.105 0.31 0.585 b. Calculer l'espérance mathématique de \(\text{Y}\). Interpréter le résultat.
Corrigé
\(E(Y)=0.105 \times 2400 + 0.31 \times 2760 + 0.585 \times 3120=2932.8\)
En moyenne, lors d'un grand nombre de voyages aller-retour, un passager dépense 2932.80€.