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Petit Devoir sur la loi binomiale

Durée : 30 minutes.

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Exercice 1

Dans un club de sport, Jihane joue au basket. Elle sait que lors d’un lancer sa probabilité de marquer un panier est égale à \(0.6\).

Jihane lance le ballon \(n\) fois de suite.

Les lancers sont indépendants les uns des autres, parce que Jihane a un moral en béton.

Soit \(\text{X}\) la variable aléatoire qui compte le nombre de paniers réussis.

  1. Quelle est la loi de probabilité de \(\text{X}\) ? Bien justifier.

  2. Jihane tente 4 paniers consécutifs.

    a) Montrer que la probabilité que Jihane ne marque aucun panier est égale à \(0.0256\).

    b) Calculer la probabilité que Jihane marque au moins deux paniers.

  3. Combien de fois Jihane doit-elle lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu’elle marque au moins un panier soit supérieure à \(0.999\) ?

Exercice 2

Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

  1. Si \(\text{X}\) est une variable aléatoire suivant la loi \(\text{B}(n,\frac{1}{3})\) avec \(n \geqslant2\), alors \(\text{P}(\text{X} \geqslant 1)=1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^n\).

  2. Si \(\text{X}\) suit la loi \(\text{B}(5,p)\) avec \(p \in ]0;1[\) et si \(\text{P}(\text{X}=1)=\dfrac{5}{3}\text{P}(\text{X}=0)\) alors \(\text{P}(\text{X}=2)=3\text{P}(\text{X}=3)\) .

  3. Si \(\text{X}\) est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale avec \(\text{E}(\text{X})=36\) et \(\sigma(\text{X})=3\) alors \(\text{P}(\text{X}=29) \approx 0.01\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 1

  1. L’expérience « lancer le ballon » a deux issues possibles : soit le panier est marqué, avec une probabilité de 0.6, soit il ne l’est pas, avec une probabilité de \(1-0.6=0.4\).

Cette expérience est répétée de façon identique et indépendante \(n\) fois de suite.

La variable aléatoire \(\text{X}\) qui compte le nombre de paniers réussis suit donc une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0.6\).

On a \(p(\text{X}=k)=\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) {0.6}^{k}{0.4}^{n-k}\).

  1. On prend \(n=4\).

    a) \(p(\text{X}=0)=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ \end{array} \right) {0.6}^{0}{0.4}^{4}=0.0256\)

    b) \(p(\text{X}\geqslant 0)=1-p(\text{X}= 0)-p(\text{X}= 1)\)

    On calcule \(p(\text{X}=1)=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ \end{array} \right) {0.6}^{1}{0.4}^{3}=0.1536\)

    D’où \(p(\text{X}\geqslant 0)=1-0.0256-0.1536=0.8208\)

    La probabilité que Jihane marque plus de deux paniers est \(0.8208\).

  2. \(p(\text{X}\geqslant 1)=1-p(\text{X}=0)=1-\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array} \right) {0.6}^{0}{0.4}^{n}=1-0.4^n\)

    On cherche \(n\) tel que \(1-{0.4}^n \geqslant 0.999\) avec la calculatrice, et grâce à la décroissance de la suite \((u_n)\) telle que \(u_n=0.4^n\), on trouve \(n\geqslant 8\).

    À partir de 8 lancers, la probabilité que Jihane marque au moins un panier sera supérieure à \(0.999\).

Exercice 2

  1. \(\text{X}\) suit la loi binomiale \(\text{B} \left(n;\dfrac{1}{3} \right)\) avec \(n \geqslant 2\).

    On a \(p(\text{X}\geqslant 1)=1-p(\text{X}=0)=1-\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right)^0\left( \dfrac{2}{3} \right)^n=1-\left( \dfrac{2}{3} \right)^n\).

    L’affirmation est donc vraie.

  2. \(\text{X}\) suit la loi \(\text{B} \left(5;p \right)\) donc:

    \(p(\text{X}=0)=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ \end{array} \right) p^0(1-p)^5=(1-p)^5\)

    \(p(\text{X}=1)=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ \end{array} \right) p^1(1-p)^4=5p(1-p)^4\)

    \(p(\text{X}=2)=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ \end{array} \right) p^2(1-p)^3=10p^2(1-p)^3\)

    \(p(\text{X}=3)=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) p^3(1-p)^2=10p^3(1-p)^2\)

    Première méthode:

    \(p(\text{X}=1)=\dfrac{5}{3}p(\text{X}=0) \Leftrightarrow 5p(1-p)^4=\dfrac{5}{3}(1-p)^5 \Leftrightarrow p=\dfrac{1}{3}(1-p) \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}p=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow p=\dfrac{1}{4}\)

    On résout ensuite: \(p(\text{X}=2)=3p(\text{X}=3) \Leftrightarrow 10p^2(1-p)^3=3 \times p^3(1-p)^2 \Leftrightarrow (1-p)=3p \Leftrightarrow p=\dfrac{1}{4}\)

    Deuxième méthode:

    \(p(\text{X}=1)=\dfrac{5}{3}p(\text{X}=0) \Leftrightarrow 5p(1-p)^4=\dfrac{5}{3}(1-p)^5 \Leftrightarrow 5p(1-p)^2=\dfrac{5}{3}(1-p)^3 \Leftrightarrow 3 \times 5p(1-p)^2=5(1-p)^3\)

    \(\Leftrightarrow 15p^3(1-p)^2=5p^2(1-p)^3 \Leftrightarrow 30p^3(1-p)^2=10p^2(1-p)^3 \Leftrightarrow 3 \times 10p^3(1-p)^2=10p^2(1-p)^3 \Leftrightarrow p(\text{X}=2)=3p(\text{X}=3)\)

    L’affirmation est vraie.

  3. On a \(\sigma(\text{X})=3 \Leftarrow \text{V}(\text{X})=9\)

    \(\text{X}\) suivant une loi binomiale, on a \(\text{E}(\text{X})=36=np\) et \(\text{V}(\text{X})=9=np(1-p)\)

    D’où \(9=36(1-p)\) et \(p=\dfrac{3}{4}\). On déduit aussi \(n \times \dfrac{3}{4}=36\) soit \(n=48\).

    \(\text{X}\) suit donc une loi binomiale \(\text{B} \left(48;\dfrac{3}{4} \right)\) .

    Reste Ă  calculer, avec la machine, \(p(\text{X}=29)=\left( \begin{array}{c} 48 \\ 29 \\ \end{array} \right) \dfrac{3}{4}^{29}\dfrac{1}{4}^{48-29} \approx 0.01\) Ă  \(10^{-3}\).

    L’affirmation est (encore) vraie.