Devoir Probabilités et Suites
Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la précision des justifications
Lâusage de la calculatrice est autorisĂ©.
Durée : 55 min
En 2018, la municipalitĂ© dâun village a mis en place le service vĂ©lo en libertĂ©. Il s'agit d'un service de location de vĂ©los Ă la journĂ©e.
Les vĂ©los sont disponibles sur deux sites \(\text{A}\) et \(\text{B}\) et doivent ĂȘtre ramenĂ©s en fin de journĂ©e indiffĂ©remment sur l'un des deux sites.
- si un vĂ©lo est louĂ© sur le site A, la probabilitĂ© d'ĂȘtre ramenĂ© en \(\text{A}\) est 0,7 ;
- si un vĂ©lo est louĂ© sur le site B, la probabilitĂ© d'ĂȘtre ramenĂ© en \(\text{B}\) est 0,8 ;
- Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites.
Les rĂ©sultats numĂ©riques seront arrondis Ă \(10^{â3}\) prĂšs.
Partie A : Les deux premiers jours ...
On choisit un vélo au hasard et on considÚre les événements :
\(\text{E}_1\) : « le vélo est situé sur le site \(\text{A}\) la premiÚre journée » ;
\(\text{E}_2\) : « le vélo est situé sur le site \(\text{A}\) la deuxiÚme journée ».
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Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous.
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En déduire la probabilité pour le vélo soit ramené sur le site \(\text{A}\) la seconde journée.
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On constate que le vélo a été ramené sur le site \(\text{A}\) la seconde journée. Quelle est la probabilité qu'il se soit trouvé sur le site \(\text{B}\) la veille ?
Partie B : Les jours suivants ...
Pour tout entier \(n \geqslant1\) , on note \(p_n\) la probabilité que le vélo soit situé sur le site \(\text{A}\) la n -iÚme journée.
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Ătablir que, pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a \(p_{n+1}=0.5p_n+0.2\)
On pourra s'aider de l'arbre pondéré ci-dessous.
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On note \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par \(u_n=p_n-0.4\) .
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Montrer que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique.
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Préciser ses éléments caractéristiques.
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Donner l'expression de \(u_n\), puis celle de \(p_n\) en fonction de \(n\)
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En déduire la valeur de \(\lim\limits_{n \to \infty}p_n\) . Interpréter le résultat.
Partie C : Et si on répétait ?
AprÚs bien des années de mise en place de ce service vélo en liberté, on supposera que \(p_n=0.4\).
Le parc vélocipÚde comprend 10 vélos.
On supposera que les vélos sont empruntés par des personnes qui ne se connaissent pas et ne se sont pas rencontrées. On supposera, aussi, que le trajet suivi pendant la journée de location a été largement aléatoire.
Soit \(\text{X}\) le nombre de vélos situés sur le site \(\text{A}\) le 18 octobre 2137.
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Justifier Soigneusement la nature de la loi de probabilitĂ© suivie par X. DĂ©terminer la probabilitĂ© quâau moins un vĂ©lo soit en \(\text{A}\) Ă la fin de cette journĂ©e.
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DĂ©terminer la probabilitĂ© quâau moins un vĂ©lo soit en \(\text{A}\) Ă la fin dâun des trois premiers jours de dĂ©cembre 2137.
Partie A
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L'arbre complet est donné ci-dessous.
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\(\text{E}_1\) et \(\overline{\text{E}_1}\) réalisent une partition de \(\Omega\), avec la formule des probabilités totales :
\[p(\text{E}_2)=p(\text{E}_2 \cap \text{E}_1)+p(\text{E}_2 \cap \overline{\text{E}_1})=0.7 \times 0.5+0.2 \times 0.5=0.45\]La probabilité pour le vélo soit ramené sur le site \(\text{A}\) la seconde journée est \(0.45\)
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La probabilité demandée est \(p_{\text{E}_2}(\overline{\text{E}_1})\)
\(p_{\text{E}_2}(\overline{\text{E}_1})=\dfrac{p(\text{E}_2 \cap \overline{\text{E}_1})}{p(\text{E}_2)}=\dfrac{0.2 \times 0.5}{0.45}=\dfrac{0.1}{0.45}=\dfrac{2}{9} \approx 0.222\)
Donc, la probabilité que le vélo se soit trouvé sur le site \(\text{B}\) la veille est \(0.222\) à \(10^{-3}\).
Partie B
On note \(\text{E}_n\) l'événement : « le vélo est situé sur le site \(\text{A}\) la \(n^{\text{iÚme}}\) journée »; Ainsi, \(p_n=p(\text{E}_n)\) et on peut représenter la situation relative à deux jours consécutifs grùce à l'arbre pondéré ci-dessous.
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Partitions+probas totales.
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a: \(p_{n+1}=p(\text{E}_{n+1})=p(\text{E}_{n+1} \cap \text{E}_{n})+p(\text{E}_{n+1} \cap \overline{\text{E}_{n}})\)
donc \(p_{n+1}=0.7 \times p_{n}+0.2 \times (1-p_{n})=0.5p_{n}+0.2\)
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Pour tout entier \(n \geqslant 1\):
\(u_{n+1}=p_{n+1}-0.4=0.5p_n+0.2-0.4=0.5p_n-0.2=0.5(p_n-0.4)=0.5u_n\)
On en conclut que la suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q=0.5\) et de terme initial \(u_1=p_1-0.4=0.5-0.4=0.1\).
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Pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(u_n=u_1\times0.5^{n-1}=\dfrac{0.1}{0.5}{0.5}^n=0.2 \times {0.5}^n\) .
Comme \(p_n=u_n+0.4\), on en déduit que \(p_n=0.2\times{0.5}^n+0.4\).
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On a \(-1<0.5<1\), d'oĂč \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} {0.5}^n=0\), donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} p_n=0.4\).
Au bout d'un grand nombre de jours, la proportion de vélo sur le site \(\text{A}\) sera trÚs proche de 40 % .
Partie C
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On rĂ©pĂšte 10 fois lâexpĂ©rience suivante de façon identique et indĂ©pendante :
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Le vélo se trouve en \(\text{A}\) : \(p=0.4\)
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Le vélo ne se trouve pas en \(\text{A}\) : \(1-p=0.6\)
La variable aléatoire suit donc une loi binomiale de paramÚtres \(n=10\) et \(p=0.4\).
On cherche Ă calculer \(p(\text{X} \geqslant 1)=1-p(\text{X}=0)=1-0.6^{10} \approx 0.994\).
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On rĂ©pĂšte trois fois lâexpĂ©rience suivante de façon identique et indĂ©pendante :
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Au moins un vélo est en \(\text{A}\) : \(p=0.994\)
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Aucun vĂ©lo nâest en \(\text{A}\) : \(1-p=0.006\)
La variable aléatoire \(\text{Y}\) qui compte le nombre de jours durant lesquels au moins un vélo est en \(\text{A}\) lors des trois premiers jours de décembre suit donc une loi binomiale de paramÚtres \(n=3\) et \(p=0.994\).
DâoĂč \(p(\text{Y} \geqslant 1)=1-p(\text{Y}=0)=1-0.006^3 \approx 1\).
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