DS de Mathématiques : ln, suites, espace.
Durée : 1 heure 40
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 5 points
Dans tout l'exercice, \(n\) désigne un entier naturel strictement positif.
Le but de l'exercice est d'étudier l'équation :
ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif \(x\).
Partie A
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).
On donne la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.
-
Déterminer les limites de la fonction \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Interpréter graphiquement.
Corrigé
\(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln (x)}{x} = -\infty\)
\(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0\)
Graphiquement, la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une asymptote verticale d'équation \(x=0\) et une asymptote horizontale d'équation \(y=0\) en \(+\infty\).
-
Donner le tableau des variations de la fonction \(f\).
Corrigé
\(f'(x) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}\)
On a x^2>0 sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\), donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1 - \ln (x)\).
\(f'(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow 1 - \ln (x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant e\) (car \(x \mapsto ln (x)\) est strictement croissante sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\)).
Le tableau de variations de la fonction \(f\) est le suivant :
\(x\) \(0\) \(e\) \(+\infty\) \(f'(x)\) + \(0\) − \(f(x)\) \(−\infty\) \(\nearrow\) \(\dfrac{1}{e}\) \(\searrow\) 0 -
Déterminer son maximum.
Corrigé
La fonction \(f\) admet un maximum égal à \(f(e)=\dfrac{1}{e}\) atteint en \(x=e\).
Partie B
-
Montrer que, pour \(n \geqslant 3\), l'équation \(f(x) = \dfrac{1}{n}\) possède une unique solution sur \([1 ; e]\) notée \(\alpha_n\).
Corrigé
Pour \(n \geqslant 3\), on a \(\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{e}\).
La fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \([1~;~e]\) et strictement croissante sur cet intervalle.
De plus, \(f(1) = 0 < \dfrac{1}{n}\) et \(f(e) = \dfrac{1}{e} > \dfrac{1}{n}\).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution de l'équation \(f(x) = \dfrac{1}{n}\) sur l'intervalle \([1~;~e]\) que l'on note \(\alpha_n\).
-
D'après ce qui précède, pour tout entier \(n \geqslant 3\), le nombre réel \(\alpha_n\) est solution de l'équation \(\left(E_n\right)\).
a. Sur le graphique sont tracées les droites \(D_3\), \(D_4\) et \(D_5\) d'équations respectives \(y= \dfrac{1}{3}\), \(y= \dfrac{1}{4}\), \(y= \dfrac{1}{5}\).
Conjecturer le sens de variation de la suite \(\left(\alpha_n\right)\).
Corrigé
En observant le graphique, on peut conjecturer que la suite \(\left(\alpha_n\right)\) est décroissante.
b. Comparer, pour tout entier \(n \geqslant 3\), \(f\left(\alpha_n\right)\) et \(f\left(\alpha_{n+1}\right)\).
En déduire le sens de variation de la suite \(\left(\alpha_n\right)\).
Corrigé
Pour tout entier \(n \geqslant 3\), on a \(f\left(\alpha_n\right) = \dfrac{1}{n}\) et \(f\left(\alpha_{n+1}\right) = \dfrac{1}{n+1}\).
Or, pour tout entier \(n \geqslant 3\), \(\dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{n+1}\).
Donc, pour tout entier \(n \geqslant 3\), \(f\left(\alpha_n\right) > f\left(\alpha_{n+1}\right)\).
La fonction \(f\) étant strictement croissante sur l'intervalle \([1~;~e]\), cela implique que pour tout entier \(n \geqslant 3\), \(\alpha_n > \alpha_{n+1}\).
c. Montrer que la suite \(\left(\alpha_n\right)\) converge.
Il n'est pas demandé de calculer sa limite.
Corrigé
La suite \(\left(\alpha_n\right)\) est décroissante et minorée par \(1\).
Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite \(\left(\alpha_n\right)\) converge.
-
On admet que, pour tout entier \(n \geqslant 3\), l'équation \(\left(E_n\right)\) possède une autre solution \(\beta_n\) telle que :
\[1 \leqslant \alpha_n \leqslant e \leqslant \beta_n.\]a. On admet que la suite \(\left(\beta_n\right)\) est croissante.
Établir que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3,
\[\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}.\]Corrigé
Pour tout entier \(n \geqslant 3\), on a \(\beta_n \geqslant \beta_3\).
La fonction \(ln\) étant croissante sur l'intervalle \([e~;+\infty[\), on a \(\ln (\beta_n) \geqslant \ln (\beta_3)\).
Or ln (\(\beta_n\)) = \(\dfrac{\beta_n}{n}\) et ln (\(\beta_3\)) = \(\dfrac{\beta_3}{3}\).
D'où, pour tout entier \(n \geqslant 3\), \(\dfrac{\beta_n}{n} \geqslant \dfrac{\beta_3}{3}\), soit \(\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}\).
b. En déduire la limite de la suite \(\left(\beta_n\right)\).
Corrigé
Pour tout entier \(n \geqslant 3\), on a \(\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}\).
Donc, par comparaison, \(\lim\limits_{n \to +\infty} \beta_n = +\infty\).
Exercice 2 5 points
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points
-
Déterminer la nature du triangle \(BCD\) et calculer son aire.
Corrigé
On calcule les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{CD}\) :
\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix}7\\5\\-1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}\).
D'où \(\overrightarrow{BC}^2 = 5\), \(\overrightarrow{BD}^2 = 75\) et \(\overrightarrow{CD}^2 = 70\). On vérifie que \(\overrightarrow{BC}^2 + \overrightarrow{CD}^2 = 75\) et \(\overrightarrow{BD}^2 = 75\).
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(BCD\) est rectangle en \(C\).
L'aire du triangle \(BCD\) est donnée par la formule \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times BC \times CD= \dfrac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{70} = \dfrac{5\sqrt{14}}{2}\).
-
a. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{\,\mathstrut n\,}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \((BCD)\).
Corrigé
On calcule le produit scalaire \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{CD}\) :
\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BC} = -2 \times 1 + 3 \times 0 + 1 \times 2 = 0\) et \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{CD} = -2 \times 6 + 3 \times 5 + 1 \times (-3) = 0\).
De plus, les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CD}\) ne sont pas colinéaires (D'après la question 1, le triangle \(BCD\) est rectangle en \(C\)).
Par conséquent, le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur normal au plan \((BCD)\).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan \((BCD)\).
Corrigé
Une équation cartésienne du plan \((BCD)\) est de la forme \(-2x + 3y + z + d = 0\).
Le point \(B(-1~;~1~;~0)\) appartient au plan \((BCD)\), donc \(-2 \times (-1) + 3 \times 1 + 0 + d = 0\), soit \(d = -5\).
D'où : \((BCD)\) : \(-2x + 3y + z - 5 = 0\).
-
Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\) orthogonale au plan \((BCD)\) et passant par le point \(A\).
Corrigé
Une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\) est donnée par :
\(\begin{cases} x = 5 - 2t \\ y = -5 + 3t \\ z = 2 + t \end{cases}\)
où \(t \in \mathbb{R}\).
-
Déterminer les coordonnées du point \(H\), intersection de la droite \(\mathcal{D}\) et du plan \((BCD)\).
Corrigé
En substituant les coordonnées de la droite \(\mathcal{D}\) dans l'équation du plan \((BCD)\), on obtient:
\(-2(5 - 2t) + 3(-5 + 3t) + (2 + t) - 5 = 0\).
\(\Leftrightarrow -10 + 4t - 15 + 9t + 2 + t - 5 = 0\).
\(\Leftrightarrow 14t - 28 = 0\).
\(\Leftrightarrow t = 2\).
Pour \(t = 2\), les coordonnées du point \(H\) sont : \(x = 5 - 2 \times 2 = 1\), \(y = -5 + 3 \times 2 = 1\) et \(z = 2 + 2 = 4\).
Soit \(H(1~;~1~;~4)\).
-
Déterminer le volume du tétraèdre \(ABCD\).
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h\), où \(\mathcal{B}\) est l'aire d'une base du tétraèdre et \(h\) la hauteur correspondante.
Corrigé
Le triangle \(BCD\) est une base du tétraèdre \(ABCD\).
L'aire de la base \(BCD\) est \(\mathcal{B} = \dfrac{5\sqrt{14}}{2}\) (question 1).
La hauteur correspondante est la distance entre le point \(A\) et le plan \((BCD)\), soit la distance entre le point \(A\) et le point \(H\).
Or \(AH = \sqrt{(5-1)^2 + (-5-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\).
Par conséquent \(V_{ABCD} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5\sqrt{14}}{2} \times 2\sqrt{14} = \dfrac{70}{3}\).
-
On admet que AB = \(\sqrt{76}\) et AC \(= \sqrt{61}\).
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\).
Corrigé
On calcule le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) :
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-6\\6\\-2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-5\\6\\0\end{pmatrix}\).
D'où \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6 \times (-5) + 6 \times 6 + (-2) \times 0 = 30 + 36 + 0 = 66\).
Or, d'après la formule du produit scalaire, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos (\widehat{\text{BAC}})\).
Donc \(66 = \sqrt{76} \times \sqrt{61} \times \cos (\widehat{\text{BAC}})\), soit \(\cos (\widehat{\text{BAC}}) = \dfrac{66}{\sqrt{76} \times \sqrt{61}}\).
En utilisant une calculatrice, on trouve que \(\widehat{\text{BAC}}\) est environ égal à \(14.2^\circ\) au dixième de degré près.