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Devoir sur la fonction ln : le retour

L'usage de la calculatrice est autorisé

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 55 min

PARTIE A

On considère la fonction \(g\)  définie sur \(]0\mathrm ;+{\infty}[\) par \(g(x)=x^2-\text{ln}x\) .

  1. Étudier les variations de \(g\)  ( on ne demande pas les limites aux bornes de son ensemble de définition ).

  2. En déduire le signe de \(g(x)\)  sur \(]0\mathrm ;+{\infty}[\).

PARTIE B

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(]0\mathrm ;+{\infty}[\) par \(f(x)=\dfrac{1+\text{ln}x} x+x\).

  1. Étudier les variations de la fonction \(f\)  en utilisant la partie A.

  2. Déterminer les limites de \(f\)  aux bornes de son ensemble de définition.

  3. Montrer que l'équation \(f(x)=0\)  admet une unique solution sur \(\mathbb{R}^+\).

    Déterminer cette solution à \(10^{-3}\)  près.

  4. Montrer que la droite \((d)\) d'équation \(y=x\)  est asymptote oblique à la courbe C représentative de \(f\) .

  5. Préciser la position de \(\text C\)  par rapport à \((d)\) sur \(]0\mathrm ;+{\infty}[\) .

  6. Déterminer une équation de la tangente \(\text T\)  à la courbe \(\text C\)  au point d'abscisse \(1\) .

  7. Montrer que, pour \(x\geqslant \dfrac 1{\text e}\) , la courbe \(\text C\)  est située entre les droites \((d)\) et \(\text T\) .

PARTIE C

On considère les quatre réels \(a_1\) , \(a_2\) , \(a_3\) , \(a_4\)  définis par :

\(a_1\)  est l'abscisse du point d'intersection de \(\text C\)  et de \((d)\) ;

\(a_2\)  est l'abscisse du point de \(\text C\)  en lequel la tangente passe par l'origine du repère ;

\(a_3\)  est l'abscisse du point d'intersection de \(\text C\)  et de \(\text T\)  ;

\(a_4\)  est solution de l'équation \(f''(x)=0\) , où \(f''\)  désigne la dérivée seconde de la fonction f .

  1. Déterminer les réels \(a_1\) ,  \(a_2\), \(a_3\) , \(a_4\)  .

  2. Montrer que ces réels sont des termes consécutifs d'une suite géométrique dont on précisera la raison.

Partie A

  1. \(g\)  est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}^+\) car différence de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}^+\).

    \(g'(x)=2x-\dfrac 1 x=\dfrac{2x^2-1} x\) sur \(\mathbb{R}^+\), \(x>0\) . \(g'(x)\)  est donc du signe de \(2x^2-1\) :

    \(2x^2-1\geqslant 0\)  \(\Leftrightarrow\) \(\left(x-\dfrac{\sqrt 2} 2\right)\left(x+\dfrac{\sqrt 2} 2\right)\geqslant 0\)

    Or \(2>0\)  et \(g'(x)\)  est donc positif sur \(\left[\dfrac{\sqrt 2} 2\mathrm ;+\infty \right[\) et négatif sur \(\left]0\mathrm ;\dfrac{\sqrt 2} 2\right]\).

    Par conséquent \(g\)  est une fonction croissante sur \(\left[\dfrac{\sqrt 2} 2\mathrm ;+\infty \right[\)  et décroissante sur \(\left]0\mathrm ;\dfrac{\sqrt 2} 2\right]\) .

  2. On a \(g\left(\dfrac{\sqrt 2} 2\right)=\dfrac 1 2-\text{ln}\left(\dfrac{\sqrt 2} 2\right)>0\) (car \(0<\dfrac{\sqrt 2} 2<1\) ) la fonction \(g\)  admet pour minimum un nombre positif, elle est donc positive sur \(\mathbb{R}^+\).

Partie B

  1. \(f\)  est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}^+\) car quotient et somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}^+\).

    \(f\)  est de la forme \(\dfrac u v+w\) , \(f'\)  est donc de la forme \(\dfrac{u'v-\mathit{uv}'}{v^2}+w'\):

    \(f'(x)=\dfrac{\dfrac 1 xx-(1+\text{ln}x)\times 1}{x^2}+1=\dfrac{-\text{ln}x}{x^2}+1=\dfrac{x^2-\text{ln}x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\).

    On a vu dans la Partie A que \(g\)  était une fonction positive sur \(\mathbb{R}^+\), de plus \(x^2>0\)  sur \(\mathbb{R}^+\).

    En conséquence \(f\)  est une fonction strictement croissante sur \(\mathbb{R}^+\).

  2. \(\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{1+\text{ln}x} x+x\) = \(\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac 1 x+\dfrac{\text{ln}x} x+x=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+\text{ln}x} x+x=-\infty\)

  3. \(f\) est continue, strictement croissante et change de signe sur \(\mathbb{R}^+\), par conséquent, d'après le corollaire du théorème sur les valeurs intermédiaires, \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}^+\). Avec la calculatrice, on détermine \(\alpha \approx 0.330\)  à \(10^{-3}\).

  4. On calcule \(f(x)-x=\dfrac{1+\text{ln}x} x\)  et on a \(\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac 1 x+\dfrac{\text{ln}x} x=0\), la droite d'équation \(y=x\)  est donc bien asymptote oblique à la courbe représentative de \(f\) en \(+\infty\).

  5. Pour \(x>\dfrac 1{\text e}\) , on a \(\text{ln}x>\text{ln}(\text e^{-1}) \Rightarrow 1+\text{ln}x>0 \Rightarrow \dfrac{1+\text{ln}x} x>0 \Rightarrow f(x)-x>0\) , C est au-dessus de la droite d'équation \(y=x\)  pour \(x>\dfrac 1{\text e}\) .

  6. l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 s'écrit:

    \[y=f'(1)(x-1)+f(1)\]

    Soit \(\text T\)  : \(y=(x-1)+2=x+1\) .

  7. Dans la 5., on a montré que C est au dessus de (d).

    Montrons à présent que C est en-dessous de \(\text T\) :

    \(f(x)-(x+1)=\dfrac{1+\text{ln}x} x-1=\dfrac{1+\text{ln}x-x} x\)  .

    Sur \(\mathbb{R}^+\), cette différence est du signe de \(h(x)=1+\text{ln}(x)-x\) . On a \(h'(x)=\dfrac 1 x-1=\dfrac{1-x} x\), cette fonction est donc croissante sur \([0\mathrm ;1]\) et décroissante sur \([1\mathrm ;+\infty [\) et admet donc un maximum en 1. Or \(h(1)=0\) .

    Par conséquent, \(h(x)\)  est négative sur \(\mathbb{R}^+\).

    D'où \(f(x)<(x+1)\) et C est en-dessous de \(\text T\) sur \(\mathbb{R}^+\).

Partie C

  1. D'après ce qui précède, \(f(x)=x\)  admet pour unique solution \(x=\dfrac 1{\text e}\) . Soit \(a_1=\dfrac 1{\text e}\) .

    On cherche une valeur \(b\)  telle que la tangente à C en \(b\)  passe par l'origine du repère. \(f(b)-bf'(b)=0 \Leftrightarrow \dfrac{1+\text{ln}b} b+b-b\left(\dfrac{b^2-\text{ln}(b)}{b^2}\right)=0\)\(\Leftrightarrow \dfrac{1+\text{ln}b} b+b-b+\dfrac{\text{ln}b} b=0\) \(\Leftrightarrow 1+2\text{ln}b=0 \Leftrightarrow\) \(b=\text e^{-\frac 1 2}\) . D'où \(a_2=\text e^{-\frac 1 2}=\dfrac 1{\sqrt{\text e}}\)

    Par définition de \(\text T\) , on a \(a_3=1\) .

    On calcule \(f''(x)=\dfrac{g'(x)x^2-2g(x)x}{x^4}=\dfrac{(2x^2-1)-2(x^2-\text{ln}x)}{x^3}=\dfrac{-1+2\text{ln}x}{x^3}\)

    Sur \(\mathbb{R}^+\), on a \(f''(x)=0 \Leftrightarrow -1+2\text{ln}x=0 \Leftrightarrow \text{ln}{x}= \dfrac 1 2 \Leftrightarrow x=\sqrt{\text e}\)  soit \(a_4=\sqrt{\text e}\).

  2. On a \(a_1\times \sqrt{\text e}=a_2\) , \(a_2\times \sqrt{\text e}=a_3\) et \(a_3\times \sqrt{\text e}=a_4\) , ce qui prouve que ces réels sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison \(\sqrt{\text e}\).