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Durée : 55 min

Exercice 1

Pour chaque affirmation, répondre par vrai ou faux en justifiant

Pour tout entier \(n\) non nul, on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\left]0;+\infty\right[ par:\)

\[f_n(x)=x^{n}\text{ln}(1+x)\]

On désigne par \(C_n\) la courbe représentative de \(f_n\) dans un repère du plan.

1. Pour tout entier naturel non nul \(n\), la courbe \(C_n\) passe par le point \(\text A\) de coordonnées \((1;\text{ln}(2))\).

2. La suite \((u_n)\) définie pour tout entier non nul \(n\) par \(u_n = f_n(2)\) est une suite géométrique.

3. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(C_n\) admet en \(\text O\) une tangente horizontale.

4. Pour tout entier naturel non nul \(n\), pour tout réel \(x \in [0;1]\):

\[f_{n+1}(x) \geq f_{n}(x)\]

Exercice 2

On considère un entier naturel \(n\) non nul et la fonction \(f_n\), définie sur \(\left]0 ; +\infty\right[\) par :

\[f_n(x)=\dfrac{e^{nx}} {x}\]

1. Calculer les limites de \(f_n\) aux bornes de son intervalle de définition.

2. Calculer \(f'_n(x)\).

3. Déterminer les variations de \(f_n\) et démontrer que pour tout entier non nul \(n\), la fonction \(f_n\), admet un minimum;

   Exprimer en fonction de \(n\) la valeur \(y_n\) de ce minimum et la valeur \(x_n\) pour laquelle il est atteint.

4. Étudier le comportement des suites \((x_n)\) et \((y_n)\): sens de variation et limites éventuelles.