Devoir Exponentielle et limites 18 janvier 2023

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Durée: 55 min

Exercice 1

1. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) par : \(f(x) = \sqrt{x + 2}-\sqrt{x}\)

   a. En utilisant la quantité conjuguée, montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}^+\), \(0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

   Corrigé

   On a \(f(x)=\dfrac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}=\dfrac{2}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})}\) or

   \(2\geqslant0 \Leftrightarrow x+2 \geqslant x \Leftrightarrow \sqrt{x+2} \geqslant \sqrt{x}\) car \(x \mapsto \sqrt{x}\) est croissante sur \(\mathbb{R}^+\)

   D'où:

   \(\sqrt{x+2} + \sqrt{x} \geqslant \sqrt{x}+\sqrt{x}\) et, par inverse et produit \(\dfrac{2}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})} \leqslant \dfrac{2}{2\sqrt{x}}\). Soit \(f(x) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

   Comme \(\sqrt{x+2} \geqslant \sqrt{x}\), on déduit \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x} \geqslant 0\) et on a donc \(f(x) \geqslant 0\)

   D'où, pour tout \(x \in \mathbb{R}^+\), \(0 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

   b. En déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

   Corrigé

   On a \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0\) d'après le théorème d'encadrement, on déduit \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0\)

2. Déterminer \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^2+x\sin{x}\)

   Corrigé

   Comme on cherche une limite en \(+\infty\), les calculs sont faits pour \(x>0\).

   On a \(-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1 \Leftrightarrow -x \leqslant x\sin{x} \leqslant x \Leftrightarrow x^2-x \leqslant x^2+x\sin{x} \leqslant x^2+x\)

   De plus \(x^2-x=x(x-1)\) admet pour limite \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) (par produit).

   Donc, par comparaison, \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^2+x\sin{x}=+\infty\)

Exercice 2

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{x}{e^{2x} - 2x}\).

On note \(C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.

1. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = e^{2x} - 2x - 1\).

   a. Etudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). En déduire le signe de \(g(x)\).

   Corrigé

   \(g'(x)=2e^{2x}-2=2(e^2x-1)\)

   On résout l'équation \(e^2x-1 \geqslant 0 \Leftrightarrow e^2x \geqslant 1 \Leftrightarrow e^2x \geqslant e^0\).

   La fonction exponentielle étant croissante, on a \(e^2x \geqslant e^0 \Leftrightarrow 2x \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 0\)

   D'où \(g'(x)\geqslant 0\) sur \(\mathbb{R}^+\) et \(g'(x)\leqslant 0\) sur \(\mathbb{R}^-\)

   Par conséquent \(g\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^-\) et croissante sur \(\mathbb{R}^+\).

   Il résulte que la fonction \(g\) admet un minimum en \(0\) dont la valeur est \(g(0)=e^0-2 \times 0-1=0\)

   D'où \(g\) positive sur \(\mathbb{R}\)

   b. Montrer que, pour tout réel \(x\), \((e^{2x} - 2x)\) est strictement positif.

   Corrigé

   On a \(g(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow e^{2x}-2x-1 \geqslant 0 \Leftrightarrow e^{2x}-2x \geqslant 1 \Rightarrow e^{2x}-2x > 0\)

2. a. Calculer les limites de la fonction \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).

   Corrigé

   On a \(f(x)=\dfrac{x}{e^{2x}-2x}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\frac{e^{2x}}{2x}-1}\)

   On pose \(X=2x\), on a \(\lim\limits_{X \to +\infty} X=+\infty\) et \(\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{e^{X}}{X}=+\infty\) (cours), par composée, on a donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}}{2x}=+\infty\).

   Par différence, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}}{2x}-1=+\infty\)

   Par inverse et produit, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\frac{e^{2x}}{2x}-1}=0\)

   Pour le calcul de la limite en \(-\infty\), on se sert de la même forme pour \(f(x)\), à savoir \(f(x)=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\frac{e^{2x}}{2x}-1}\).

   En posant \(X=2x\), par composée, on a \(\lim\limits_{x \to -\infty} e^{2x}=0\).

   Par quotient, on déduit \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{e^{2x}}{2x}=0\)

   Par différence, \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{e^{2x}}{2x}-1=-1\)

   Par inverse, \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2}{\frac{e^{2x}}{2x}-1}=-1\)

   Et par produit \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\dfrac{1}{2}\)

   b. Interpréter graphiquement les résultats précédents.

   Corrigé

   La courbe \(C\) a pour asymptote la droite d'équation \(y=0\) en \(+\infty\).

   En \(-\infty\), la courbe \(C\) admet la droite d'équation \(y=-\dfrac{1}{2}\) pour asymptote.

3. a. Calculer \(f'(x)\), \(f'\) désignant la fonction dérivée de \(f\).

   Corrigé

   \(f\) est le quotient de fonctions dérivables. Au dénominateur, la fonction \(x \mapsto e^{2x}-2x\) est bien strictement positive. Donc \(f\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\)

   \(f\) est de la forme \(\dfrac{u}{v}\), avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=e^{2x}-2x\) soit \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=2e^{2x}-2\)

   D'où, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}=\dfrac{e^{2x}-2x-x(2e^{2x}-2)}{(e^{2x}-2x)^2}=\dfrac{e^{2x}-2xe^{2x}}{(e^{2x}-2x)^2}=\dfrac{(1-2x)e^{2x}}{(e^{2x}-2x)^2}\)

   b. Etudier le sens de variation de \(f\) puis dresser son tableau de variation.

   Corrigé

   On a, \(x \mapsto e^{2x}\) positive strictement sur \(\mathbb{R}\), et un dénominateur strictement positif.

   Par conséquent, \(f'(x)\) est du signe de \(1-2x\).

   La fonction \(x \mapsto 1-2x\) est une fonction affine, décroissante car \(-2<0\), par conséquent, on a le tableau de signe et de variations:

   \[\begin{array}{|c|ccccr|} \hline x & -\infty & & \frac{1}{2} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline & & & f(\frac{1}{2}) & & \\ % ligne des "max" f(x) & &\nearrow & &\searrow & \\ % flèches & -\frac{1}{2} & & & & 0 \\ % ligne des "min" \hline \end{array}\]

   c. Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \(C\) au point d’abscisse \(0\).

   Corrigé

   Une équation de la tangente à \(C\) en \(0\) s'écrit:

   \(T : y=f'(0)(x-0)+f(0)\) soit \(T : y=x\)

   d. Etudier la position relative de \(C\) par rapport à \(T\).

   Corrigé

   Pour déterminer la position relative de \(C\) et \(T\), on cherche le signe de \(f(x)-x=\dfrac{x}{e^{2x} - 2x}-x=\dfrac{x}{e^{2x} - 2x}-x\dfrac{e^{2x} - 2x}{e^{2x} - 2x}=\dfrac{x(1-e^{2x}+2x)}{e^{2x} - 2x}=\dfrac{-x(e^{2x}-2x-1)}{e^{2x} - 2x}=\dfrac{-xg(x)}{e^{2x} - 2x}\)

   On a montré précédemment que \(g(x) \geqslant 0\) sur \(\mathbb{R}\), par conséquent, \(f(x)-x\) est du signe de \(-x\).

   En conclusion:

   \(C\) est au dessus de \(T\) sur \(\mathbb{R}^-\)

   et \(C\) est en dessous de \(T\) sur \(\mathbb{R}^+\)