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Devoir sur la géométrie dans l'espace

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Le barème est donné à titre indicatif.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 65 minutes

Exercice 1 - QCM

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.

Il est attribué 1 point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

On désigne par \(P\) le plan d'équation cartésienne \(2x - y + 3z = 0\) et par \(A\) et \(B\) les deux points du plan \(P\) de coordonnées respectives \((1 ; 2 ; 0)\) et \((0 ; 3 ; 1)\).

  1. Soient \(C\), \(D\), \(E\) les points de coordonnées respectives \((1 ; 1 ; -1)\), \((-1 ; 4 ; 2)\), \((1 ; 5 ; 1)\).

    a. Les points \(A\), \(B\), \(C\) définissent le plan \(P\).

    b. Les points \(A\), \(B\), \(D\) définissent le plan \(P\).

    c. Les points \(A\), \(B\), \(E\) définissent le plan \(P\).

    Corrigé

    Les points \(A\) et \(B\) appartiennent au plan \(P\).

    • Pour le point \(C\) : \(2\times 1 - 1 + 3\times(-1) = 2 - 1 - 3 = -2 \neq 0\) donc \(C \notin P\).

    • Pour le point \(D\) : \(2\times(-1) - 4 + 3\times 2 = -2 - 4 + 6 = 0\) donc \(D \in P\) mais les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont alignés car le vecteur \(\overrightarrow{AB} = (-1~;~1~;~1)\) est colinéaire au vecteur \(\overrightarrow{AD} = (-2~;~2~;~2)\). Donc les points \(A\), \(B\) et \(D\) ne définissent pas le plan \(P\).

    • C'est donc forcément le point \(E\) car une seule des trois propositions peut être vraie.

  2. La droite \(D\) est définie par la représentation paramétrique :

    \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=& -4t\\y &=& 6+2t\\z &=& -2-6t\end{array}\right. , \quad t \in \mathbb{R}.\]

    a. La droite \(D\) est strictement parallèle au plan \(P\).

    b. La droite \(D\) est incluse dans le plan \(P\).

    c. La droite \(D\) est perpendiculaire au plan \(P\).

    Corrigé

    Un vecteur directeur de la droite \(D\) est \(\vec{u} = (-4~;~2~;~-6)\).

    Un vecteur normal au plan \(P\) est \(\vec{n} = (2~;~-1~;~3)\).

    Calculons le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{n} = -4\times 2 + 2\times(-1) + (-6)\times 3 = -8 - 2 - 18 = -28 \neq 0\).

    Donc la droite \(D\) n'est pas parallèle au plan \(P\).

    Par conséquent, la droite \(D\) est perpendiculaire au plan \(P\).

  3. Soit \(S\) la sphère de centre \(\Omega\), de coordonnées \((2 ; 5 ; 1)\), et de rayon \(\dfrac{1}{2}\).

    L'ensemble des points communs à la sphère \(S\) et au plan \(P\) est :

    a. vide,

    b. constitué d'un seul point,

    c. un cercle.

    Corrigé

    On cherche le projeté orthogonal du centre \(\Omega\) de la sphère \(S\) sur le plan \(P\).

    Une représentation paramétrique de la droite passant par \(\Omega\) et orthogonale au plan \(P\) est :

    \[\left\{\begin{array}{l} x = 2 + 2t\\ y = 5 - t\\ z = 1 + 3t \end{array}\right. , \quad t \in \mathbb{R}.\]

    Pour trouver le projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur le plan \(P\), il faut que les coordonnées de \(H\) vérifient l'équation du plan \(P\) :

    \[2(2 + 2t) - (5 - t) + 3(1 + 3t) = 0.\]

    En développant, on obtient :

    \[4 + 4t - 5 + t + 3 + 9t = 0 \Rightarrow 14t + 2 = 0 \Rightarrow t = -\dfrac{1}{7}.\]

    Les coordonnées de \(H\) sont donc :

    \[H\left(2 + 2\times\left(-\dfrac{1}{7}\right)~;~5 - \left(-\dfrac{1}{7}\right)~;~1 + 3\times\left(-\dfrac{1}{7}\right)\right) = \left(\dfrac{12}{7}~;~\dfrac{36}{7}~;~\dfrac{4}{7}\right).\]

    Calculons la distance \(d\) entre le centre \(\Omega\) et le plan \(P\) :

    \[d = \sqrt{\left(2 - \dfrac{12}{7}\right)^2 + \left(5 - \dfrac{36}{7}\right)^2 + \left(1 - \dfrac{4}{7}\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{2}{7}\right)^2 + \left(\dfrac{-1}{7}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{7}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{4 + 1 + 9}{49}} = \sqrt{\dfrac{14}{49}} = \dfrac{\sqrt{14}}{7}.\]

    Or, le rayon de la sphère est \(r = \dfrac{1}{2}\).

    Comparons \(d\) et \(r\) :

    \[d = \dfrac{\sqrt{14}}{7} \approx 0.5357 > r = 0.5.\]

    Donc, la distance entre le centre de la sphère et le plan est supérieure au rayon de la sphère.

    Par conséquent, l'ensemble des points communs à la sphère \(S\) et au plan \(P\) est vide.

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \(\left(\text{O} ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}, \overrightarrow{k}\right)\).

Soit \((\mathcal{D})\) la droite dont une représentation paramétrique est

\[\left\{\begin{array}{l} x = -t + 1\\ y = 2t\\ z = -t + 2 \end{array}\right. , \quad t \in \mathbb{R}\]

  1. Soit \(A(1 ; 0 ; 2)\), \(B(0 ; 2 ; 1)\) et \(C(0 ; 3 ; 2)\).

    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AC)\).

    Corrigé

    Les coordonnées de \(A\) sont \((1~;~0~;~2)\) et les coordonnées de \(C\) sont \((0~;~3~;~2)\).

    Un vecteur directeur de la droite \((AC)\) est donc \(\overrightarrow{AC} = (0 - 1~;~3 - 0~;~2 - 2) = (-1~;~3~;~0)\).

    Une représentation paramétrique de la droite \((AC)\) est donc :

    \[\left\{\begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 0 + 3t\\ z = 2 + 0 \end{array}\right. , \quad t \in \mathbb{R}.\]

    b. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

    Corrigé

    Un vecteur directeur de la droite \((AB)\) est \(\overrightarrow{AB} = (0 - 1~;~2 - 0~;~1 - 2) = (-1~;~2~;~-1)\).

    Un vecteur directeur de la droite \((AC)\) est \(\overrightarrow{AC} = (-1~;~3~;~0)\).

    Supposons qu'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC}\).

    On obtient le système suivant :

    \[\begin{cases} -1 = -\lambda\\ 2 = 3\lambda\\ -1 = 0\times \lambda \end{cases}\]

    La troisième équation n'a pas de solution. Donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.

    c. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}(3 ; 1 ; -1)\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).

    Corrigé

    Calculons les produits scalaires \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n}\).

    \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (-1)\times 3 + 2\times 1 + (-1)\times(-1) = -3 + 2 + 1 = 0.\]
    \[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n} = (-1)\times 3 + 3\times 1 + 0\times(-1) = -3 + 3 + 0 = 0.\]

    Donc le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal aux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

    Par conséquent, le vecteur \(\overrightarrow{n}(3 ; 1 ; -1)\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).

    d. En déduire une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

    Corrigé

    Une équation cartésienne du plan \((ABC)\) est de la forme \(3x + y - z + d = 0\) où \(d\) est un réel.

    Comme le point \(A(1 ; 0 ; 2)\) appartient au plan \((ABC)\), ses coordonnées vérifient l'équation du plan.

    Donc :

    \[3\times 1 + 0 - 2 + d = 0 \Rightarrow 3 - 2 + d = 0 \Rightarrow d = -1.\]

    Ainsi, une équation cartésienne du plan \((ABC)\) est \(3x + y - z - 1 = 0\).

    e. Démontrer que la droite \((\mathcal{D})\) est incluse dans le plan \((ABC)\).

    Corrigé

    Soit \(M\) un point quelconque de la droite \((\mathcal{D})\) de paramètre \(t\).

    Les coordonnées de \(M\) sont donc \((-t + 1~;~2t~;~-t + 2)\).

    Vérifions si ces coordonnées satisfont l'équation du plan \((ABC)\) :

    \[3(-t + 1) + 2t - (-t + 2) - 1 = -3t + 3 + 2t + t - 2 - 1 = 0.\]

    Donc, pour tout point \(M\) de la droite \((\mathcal{D})\), ses coordonnées vérifient l'équation du plan \((ABC)\).

    Par conséquent, la droite \((\mathcal{D})\) est incluse dans le plan \((ABC)\).

  2. Soit \((\mathcal{Q})\) le plan passant par le point \(C\) et orthogonal à la droite \((\mathcal{D})\).

    a. Déterminer une équation cartésienne du plan \((\mathcal{Q})\).

    Corrigé

    Un vecteur directeur de la droite \((\mathcal{D})\) est \(\vec{u} = (-1~;~2~;~-1)\).

    Donc un vecteur normal au plan \((\mathcal{Q})\) est \(\vec{u}\).

    Une équation cartésienne du plan \((\mathcal{Q})\) est donc de la forme \(-1(x - x_C) + 2(y - y_C) - 1(z - z_C) = 0\) où \((x_C ; y_C ; z_C) = (0 ; 3 ; 2)\) sont les coordonnées du point \(C\).

    En développant, on obtient :

    \[-1(x - 0) + 2(y - 3) - 1(z - 2) = 0 \Rightarrow -x + 2y - 6 - z + 2 = 0 \Rightarrow -x + 2y - z - 4 = 0.\]

    Ainsi, une équation cartésienne du plan \((\mathcal{Q})\) est \(-x + 2y - z - 4 = 0\).

    b. Calculer les coordonnées du point \(I\), point d'intersection du plan \((\mathcal{Q})\) et de la droite \((\mathcal{D})\).

    Corrigé

    Soit \(I\) le point d'intersection du plan \((\mathcal{Q})\) et de la droite \((\mathcal{D})\).

    Les coordonnées de \(I\) sont de la forme \((-t + 1~;~2t~;~-t + 2)\) où \(t\) est un réel.

    Comme le point \(I\) appartient au plan \((\mathcal{Q})\), ses coordonnées vérifient l'équation du plan. Donc : \(-(-t + 1) + 2(2t) - (-t + 2) - 4 = 0.\)

    En développant, on obtient : \(t - 1 + 4t + t - 2 - 4 = 6t - 7 = 0 \Rightarrow 6t = 7 \Rightarrow t = \dfrac{7}{6}.\)

    Les coordonnées de \(I\) sont donc \(I\left(-\dfrac{7}{6} + 1~;~2\times \dfrac{7}{6}~;~-\dfrac{7}{6} + 2\right) = \left(\dfrac{-1}{6}~;~\dfrac{7}{3}~;~\dfrac{5}{6}\right).\)

    c. Montrer que \(CI = \sqrt{\dfrac{11}{6}}\).

    Corrigé

    Calculons la distance \(CI\) entre les points \(C(0 ; 3 ; 2)\) et \(I\left(\dfrac{-1}{6}~;~\dfrac{7}{3}~;~\dfrac{5}{6}\right)\).

    \[CI = \sqrt{\left(0 - \left(-\dfrac{1}{6}\right)\right)^2 + \left(3 - \dfrac{7}{3}\right)^2 + \left(2 - \dfrac{5}{6}\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 + \left(\dfrac{9}{3} - \dfrac{7}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{12}{6} - \dfrac{5}{6}\right)^2}.\]
    \[CI = \sqrt{\dfrac{1}{36} + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{7}{6}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{36} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{49}{36}} = \sqrt{\dfrac{1 + 16 + 49}{36}} = \sqrt{\dfrac{66}{36}} = \sqrt{\dfrac{11}{6}}.\]

    Donc, \(CI = \sqrt{\dfrac{11}{6}}\).

  3. Soit \(t\) un nombre réel et \(M_t\) le point de la droite \((\mathcal{D})\) de coordonnées \((-t + 1 ; 2t ; -t + 2)\).

    a. Vérifier que pour tout nombre réel \(t\), \(CM_t^2 = 6t^2 - 14t + 10\).

    Corrigé

    Calculons la distance \(CM_t\) entre les points \(C(0 ; 3 ; 2)\) et \(M_t(-t + 1 ; 2t ; -t + 2)\).

    \[CM_t^2 = \left(0 - (-t + 1)\right)^2 + \left(3 - 2t\right)^2 + \left(2 - (-t + 2)\right)^2.\]
    \[CM_t^2 = (t - 1)^2 + (3 - 2t)^2 + (t)^2.\]

    En développant, on obtient :

    \[(t - 1)^2 = t^2 - 2t + 1,\]
    \[(3 - 2t)^2 = 4t^2 - 12t + 9,\]
    \[t^2 = t^2.\]

    Donc,

    \[CM_t^2 = (t^2 - 2t + 1) + (4t^2 - 12t + 9) + t^2 = 6t^2 - 14t + 10.\]

    b. Déterminer la valeur de \(t\) telle que \(CM_t\) est minimale.

    Corrigé

    La fonction \(f(t) = CM_t^2 = 6t^2 - 14t + 10\) est une fonction quadratique.

    Le coefficient de \(t^2\) est positif, donc la parabole est tournée vers le haut et admet un minimum.

    La valeur de \(t\) qui minimise \(f(t)\) est donnée par la formule \(t = -\dfrac{b}{2a}\) où \(a = 6\) et \(b = -14\).

    Donc,

    \[t = -\dfrac{-14}{2\times 6} = \dfrac{14}{12} = \dfrac{7}{6}.\]

    Ainsi, la valeur de \(t\) telle que \(CM_t\) est minimale est \(t = \dfrac{7}{6}\).

    On retrouve bien le point \(I\) trouvé précédemment.