Devoir Probabilités et Espace 15 novembre 2023

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Corrigé APMEP modifié.

Durée: 1h40

Exercice 1

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.

Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la maladie.

On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.

Ce test possède les caractéristiques suivantes.

Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90 % des cas.
Lorsque le chat n'est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85 % des cas.

On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :

\(M\) : Le chat est porteur de la maladie ;
\(T\) : Le test du chat est positif;
\(\overline{M}\) et \(\overline{T}\) désignent les évènements contraires des évènements \(M\) et \(T\) respectivement.
a. Traduire la situation par un arbre pondéré.

b. Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.

c. Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à \(0,45\).

d. On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie.
On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de \(20\) chats au hasard. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l'échantillon choisi.

a. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire \(X\).

b. Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement \(5\) chats présentant un test positif.

c. Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus \(8\) chats présentant un test positif.

d. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Dans cette question, on choisit un échantillon de \(n\) chats dans le centre, qu'on assimile encore à un tirage avec remise.

On note \(p_n\) la probabilité qu'il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.

a. Montrer que \(p_n = 1 - 0,55^n\).

b. Décrire le rôle du programme ci-dessous écrit en langage Python, dans lequel la variable \(n\) est un entier naturel et la variable \(P\) un nombre réel.
```
    def seuil():
    n=0
    P=0
    while P< 0.99 :
        n = n+1
        P=1 - 0.55**n
    return n
```
c. Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.

Corrigé

a. On traduit la situation par un arbre pondéré.

b. Il faut trouver \(P(M \cap T) = P(M)\times P_M(T) = 0,4 \times 0,9 = 0,36\).

c. On a de même \(P\left(\overline{M} \cap T\right) = P\left(\overline{M}\right) \times P_{\overline{M}}(T) = 0,6 \times 0,15 = 0,09\).

\(M \cap T\) et \(\overline{M} \cap T\) réalisent une partition de \(T\), d'après la loi des probabilités totales :

\(P(T) = P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T\right) = 0,36 + 0,09 = 0,45\).

d. Il faut trouver \(P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,36}{0,45} = \dfrac{36}{45} = \dfrac{9 \times 4}{9 \times 5} = \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} = 0,8\).
a. Un chat peut ou non avoir un test positif, cette expérience a deux issues possibles avec \(p = 0,45\) la probabilité de succès.

On répète cette expérience \(20\) fois de façon identique et indépendante.

La variable \(X\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et de probabilité \(p = 0,45\) trouvé à la question 1.c..

b. On a \(p(X = 5) = \binom{20}{5} \times 0.45^5 \times (1-0,45)^{20-5} = {15504}\times 0,45^5 \times 0,55^{15} \approx {0,036}\).

c. La calculatrice donne \(P(X < 9)\approx 0,414\).

d. On sait que l'espérance \(E = n \times p = 20 \times 0,45 = 9\). Cela signifie que sur un grand nombre d'échantillons il y aura en moyenne 9 chats positifs par échantillon de 20.
a. On a encore une loi binomiale de paramètres \(n\) et de probabilité d'être positif de \(0,45\).

On a \(P(X = 0) = \binom{n}{0}\times 0,45^0 \times 0,55^n = 0,55^n\).

Donc \(p_n = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,55^n\).

b. En partant de \(n=0\), le programme calcule \(p_n\) et augmente la taille de l'échantillon de 1 tant que \(p_n < 0,99\).

c. On cherche donc \(n\) tel que \(1-0,55^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,55^n\), avec le tableur de la calculatrice, on détermine que la valeur \(n=8\) est la première valeur de \(n\) telle que \(0.55^n<0.01\)

Conclusion : le programme retourne la valeur 8.

Exercice 2

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous.

Le point \(\text{O}\) est le centre de la base \(\text{ABCD}\) avec \(OB = 1\).

On rappelle que le segment \(\text{[SO]}\) est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

Justifier que le repère \(\left(\text{O}; \overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}},\overrightarrow{\text{OS}}\right)\) est orthonormé.

Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère \(\left(\text{O}; \overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}},\overrightarrow{\text{OS}}\right)\).
On définit le point \(\text K\) par la relation \(\overrightarrow{\text{SK}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{SD}}\) et on note \(\text I\) le milieu du segment \(\text{[SO]}\).

a. Déterminer les coordonnées du point \(\text K\).

b. En déduire que les points \(\text B\), \(\text I\) et \(\text K\) sont alignés.

c. On note \(\text L\) le point d'intersection de l'arête \(\text{[SA]}\) avec le plan \(\text{(BCI)}\).

Justifier que les droites \(\text {(AD)}\) et \(\text {(KL)}\) sont parallèles.

d. Déterminer les coordonnées du point \(\text L\).
On considère le vecteur \(\overrightarrow{ n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\) dans le repère \(\left(\text{O}; \overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}},\overrightarrow{\text{OS}}\right)\).

Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{n},\: \overrightarrow{\text{AS}}\) et \(\overrightarrow{\text{DS}}\) sont coplanaires.

Corrigé

On sait que les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et de même longueur, on en déduit que \(\overrightarrow{ OB}\) et \(\overrightarrow{ OC}\) sont orthogonaux et de même norme 1.

\((SO)\) est la hauteur de la pyramide, elle est donc perpendiculaire à la base \(ABCD\), on en déduit que \(\overrightarrow{\text{OS}}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{OB}}\) et à \(\overrightarrow{\text{OC}}\) ; de plus on sait que \(SOC\) est rectangle en \(O\) avec \(OC = OB = 1\) et \(\text{SC} =\sqrt{2}\) donc \(\text{SO} = 1\) (Pythagore).
a. Dans \(\left(\text{O}; \overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}},\overrightarrow{\text{OS}}\right)\) on a \(S(0;0;1),D(-1;0;0)\) donc \(\overrightarrow{ SD}\begin{pmatrix} -1\\0\\-1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{ SK}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}\\0\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_K-x_S\\y_K-y_S\\z_K-z_S\end{pmatrix}\). On en déduit \(K\left(-\dfrac{1}{3};0;\dfrac{2}{3}\right)\)

b. \(I\left(0;0;\dfrac{1}{2} \right)\) et \(B(1;0;0)\) donc \(\overrightarrow{ BI}\begin{pmatrix} -1\\0\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{ BK}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\0\\\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\). On remarque que \(\overrightarrow{ BK}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{ BI}\) et que \(\overrightarrow{ BK}\) et \(\overrightarrow{BI}\) ont le point \(B\) en commun. On peut donc conclure que \(B\), \(I\) et \(K\) sont alignés.

c. \((BC) \subset (BCI)\) et \((AD) \subset (SAD)\). Comme \((AD)//(BC)\), d'après le théorème du toit, \((BCI)\) et \((SAD)\) se coupent suivant une parallèle à \((AD)\) et \((BC)\).

Par construction, on sait déjà que \(K\) appartient à \((BCI) \cap (SAD)\) , on en déduit que la parallèle à \((AD)\) passant par \(K\) appartient à \((BCI)\) et coupe \([SA]\). D'où \((KL)//(AD)\).

d. Dans \(SAD\), on a \(K\in[SD],L\in [SA]\) et \((KL)//(AD)\) donc d'après le théorème de Thalès (vectoriel) on a \(\overrightarrow{\text{SK}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{SD}} \Rightarrow \overrightarrow{\text{SL}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{SA}}\)

D'où \(L\left(0;-\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\).
\(\overrightarrow{\text{AS}}\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{DS}}\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\)

on remarque que \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{\text{AS}}+\overrightarrow{\text{DS}}\) donc les vecteurs \(\overrightarrow{n}\), \(\overrightarrow{\text{AS}}\) et \(\overrightarrow{\text{DS}}\) sont coplanaires.