Aller au contenu

Devoir sur la géométrie dans l'espace 25-26

Mardi 4 novembre 2025 - Durée : 55 minutes

La calculatrice est autorisée.

Devoir réalisé en collaboration avec M. Pennel

On considère le cube \(ABCDEFGH\) représenté ci-dessous.

Kroki

Pour tout l'exercice, on se place dans le repère \((A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})\).

Partie A - 4 points

On considère le point \(I\left(1; \dfrac{1}{3}; 0\right)\) et le point \(J\) tel que \(\overrightarrow{AJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}\).

  1. Placer les points \(I\) et \(J\) sur la figure.
  2. Quelles sont les coordonnées du point \(J\) ?
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((IJ)\).
  4. Le centre \(O\) du cube est-il un point de \((IJ)\) ?
Correction
  1. [Correction de la figure avec les points I et J placés.]
  2. Les coordonnées de \(J\) sont \(J\left(0; \dfrac{2}{3}; 1\right)\).
  3. Avec les coordonnées de \(I\) et \(J\), on calcule le vecteur directeur \(\overrightarrow{IJ} \left(-1; \dfrac{1}{3}; 1\right)\). Une représentation paramétrique de la droite \((IJ)\) est donnée par : \(\(\begin{cases} x = - t \\ y = \dfrac{2}{3} + \dfrac{t}{3} \\ z = 1+t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\)\)

  4. Le centre \(O\) du cube a pour coordonnées \(O\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\). En remplaçant dans la représentation paramétrique, on cherche \(t\) tel que :

    \[\begin{cases} \dfrac{1}{2} = - t \\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{t}{3} \\ \dfrac{1}{2} = 1+t \end{cases}\]

    La première équation donne \(t = -\dfrac{1}{2}\), la deuxième équation donne \(t = -\dfrac{1}{2}\), et la troisième équation donne \(t = -\dfrac{1}{2}\). Toutes les équations sont satisfaites pour \(t = -\dfrac{1}{2}\). Donc, le centre \(O\) est un point de la droite \((IJ)\).

Partie B - 3 points

  1. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{IJ}\) sont-ils coplanaires ?

  2. En déduire que la droite \((IJ)\) coupe le plan \((ABE)\) et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Correction

  1. On a \(\overrightarrow{AB} = (1; 0; 0)\), \(\overrightarrow{AE} = (0; 0; 1)\) et \(\overrightarrow{IJ} = \left(-1; \dfrac{1}{3}; 1\right)\) sont coplanaires s'il existe des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que :

    \[\overrightarrow{IJ} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AE}\]

    Ce qui donne le système :

    \[\begin{cases} -1 = \alpha \\ \dfrac{1}{3} = 0 \\ 1 = \beta \end{cases} \]

    La deuxième équation est impossible, donc les vecteurs ne sont pas coplanaires.

  2. Comme les vecteurs ne sont pas coplanaires, la droite \((IJ)\) coupe le plan \((ABE)\). Pour trouver le point d'intersection, on résout le système formé par la représentation paramétrique de \((IJ)\) et l'équation du plan \((ABE)\) (où \(y=0\)). On résout : \(y = \dfrac{2}{3} + \dfrac{t}{3}=0\) , ce qui donne \(t = -2\). En remplaçant dans les autres équations, on trouve \(x = 2\) et \(z = -1\). Le point d'intersection est donc \(M(2; 0; -1)\).

Partie C - 5 points

On considère les points \(K\) et \(L\) vérifiant \(\overrightarrow{FK} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{FE}\) et \(\overrightarrow{DL} = a\overrightarrow{DC}\) où \(a\) est un réel de l'intervalle \([0; 1]\).

  1. Justifier que les points \(K\) et \(L\) ont pour coordonnées respectives \(K\left(\dfrac{3}{4}; 0; 1\right)\) et \(L(a; 1; 0)\).
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((KL)\).
  3. Pour quelle valeur du réel \(a\) les droites \((IJ)\) et \((KL)\) sont-elles sécantes ?
  4. Déterminer alors les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
  5. Montrer que, pour cette valeur de \(a\), le quadrilatère \(KJLI\) est un parallélogramme.
Correction

  1. On a \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FK}\) (Chasles)

    D'où \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{FE}\)

    Soit \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

    Donc \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\) et les coordonnées de \(K\) sont \(K\left(\dfrac{3}{4}; 0; 1\right)\).

    De même \(\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DL}=\overrightarrow{AD}+a\overrightarrow{DC}= a\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) et les coordonnées de \(L\) sont \(L(a; 1; 0)\).

  2. Le vecteur directeur de la droite \((KL)\) est \(\overrightarrow{KL} = \left(a - \dfrac{3}{4}; 1; -1\right)\). Une représentation paramétrique de la droite \((KL)\) est donnée par :

    \[\begin{cases} x = \dfrac{3}{4} + t\left(a - \dfrac{3}{4}\right) \\ y = 0 + t \\ z = 1 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\]

  3. Pour que les droites \((IJ)\) et \((KL)\) soient sécantes, on résout le système formé par leurs représentations paramétriques

    \[\begin{cases} - s = \dfrac{3}{4} + t\left(a - \dfrac{3}{4}\right) \\ \dfrac{2}{3} + \dfrac{s}{3} = t \\ 1 + s = 1 - t \end{cases}\]

    Avec \(L_3\), on trouve s=-t . En remplaçant dans \(L_2\), on obtient \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{s}{3} = -s\) soit \(s = -\dfrac{1}{2}\). Enfin, en remplaçant dans \(L_1\), on trouve \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(a - \dfrac{3}{4}\right)\), ce qui donne \(a = \dfrac{1}{4}\).

  4. En remplaçant \(a = \dfrac{1}{4}\) dans la représentation paramétrique de \((KL)\) et en résolvant le système, on trouve que le point d'intersection est \(O\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)\).

  5. Pour montrer que \(KJLI\) est un parallélogramme, on calcule les vecteurs \(\overrightarrow{KI}\) et \(\overrightarrow{JL}\). On a \(\overrightarrow{KI} = \left(1 - \dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{3} - 0; 0 - 1\right) = \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{3}; -1\right)\) et \(\overrightarrow{JL} = \left(\dfrac{1}{4} - 0; 1 - \dfrac{2}{3}; 0 - 1\right) = \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{3}; -1\right)\). Comme \(\overrightarrow{KI} = \overrightarrow{JL}\), le quadrilatère \(KJLI\) est un parallélogramme.