Devoir Geometry in Space 16-17

Durée: 60 min

L'usage de la calculatrice, puisque totalement inutile, n'est pas autorisé.

L'usage de ses mains est en revanche recommandé.

Exercice 1 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé \((\text O;\vec \imath,\vec \jmath,\vec k)\) .

On considère les points \(\text A(3;-1;4)\), \(\text B(1;1;1)\) , \(\text E(-1;2;3)\)  et \(\text F(2;-1;-9)\)  

ainsi que la droite \(\Delta\) de représentation paramétrique \(\left\{\begin{matrix}x=-1+4t\\y=4-t\text{ }\\z=-8+2t\end{matrix}\right.\) , \(t\in \mathbb{R}\) .

1. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{BE}}\)  et \(\overrightarrow{\text{BF}}\)  ne sont pas colinéaires.

2. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur \(\vec u\)  de \(\Delta\)

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\text{AE})\)

4. Etudier la position relative des droites \(\Delta\) et (AE)

Exercice 2 (5 points)

\(\text{ABCDEFGH}\) est un cube.

Les points \(\text{M}\), \(\text{N}\) et \(\text{P}\) sont définis par : \(\text{M}\) est le milieu de \([\text{BC}]\), \(\overrightarrow{\text{CN}}=\frac 2 3\overrightarrow{\text{CD}}\)  et \(\overrightarrow{\text{EP}}=\frac 1 4\overrightarrow{\text{EH}}\).

1. Justifier que les droites \(\text{(MN)}\) et \(\text{(AD)}\) sont sécantes et construire leur point d'intersection \(\text{Q}\).

2. Construire en vert et en justifiant l'intersection des plans \(\text{(MNP)}\) et \(\text{(ADE)}\)

3. On appelle \(\Delta\) la droite d'intersection des plans \(\text{(MNP)}\) et \(\text{(EFG)}\).

   Justifier que \(\Delta\) est parallèle à la droite \(\text{(MN)}\) puis construire \(\Delta\).

4. Terminer, sans justification, la section du cube par le plan \(\text{(MNP)}\).