Devoir sur les équations différentielles 2025-2026
Jeudi 26 mars 2026 - Durée : \(\bold{6 \times 8}\) minutes
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1
Soit l'équation \((E_{1})\) sur \(\mathbb{R}\) : \(y' - 2y = x e^{x}\). On se propose de la résoudre dans cet exercice.
-
Rappeler la définition d'une équation différentielle.
Corrigé
Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ses dérivées.
-
Soit l'équation \((E_{0})\) sur \(\mathbb{R}\) : \(y' - 2y = 0\).
Résoudre \((E_{0})\).
Corrigé
\((E_{0})\) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. On a donc des solutions de la forme:
\(y(x) = Ce^{2x}\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
-
a. Démontrer qu'il existe une fonction \(u\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) solution de \((E_{1})\) qui peut s'écrire sous la forme \(u(x) = (ax + b)e^{x}\) avec \(a\) et \(b\) deux réels à déterminer.
Corrigé
On pose \(u(x) = (ax+b)e^x\)
\(u'(x) = (ax+a+b)e^x\)
\(u' - 2u = (-ax + a - b)e^x\)
On identifie avec \(xe^x\) :
\(-a = 1 \Rightarrow a=-1\)
\(a-b=0 \Rightarrow b=-1\)
Donc \(u(x)=(-x-1)e^x\)
b. Soit \(v\) dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Démontrer que « \(v\) solution de \((E_{1})\)» équivaut à « \(v - u\) solution de \((E_{0})\)».
Corrigé
\(v\) solution de \((E_{1})\) équivaut \(v' - 2v = xe^x\).
\(u\) solution de \((E_{1})\) équivaut à \(u' - 2u = xe^x\).
Par soustraction des équations, \(v\) solution de \((E_{1})\) équivaut à \(v-u\) solution de \((E_{0})\).
c. En déduire les solutions de \((E_{1})\).
Corrigé
D'après la question précédente, les solutions sont somme de \(u\) et d'une solution de \((E_{0})\), soit \(y(x)=(-x-1)e^x + Ce^{2x}\).
-
Déterminer la solution de \((E_{1})\) qui s'annule en \(1\).
Corrigé
\(y(1)=0\)
\(-2e + Ce^2=0\)
\(C=\dfrac{2}{e}\)
Solution :
\(y(x)=(-x-1)e^x + \dfrac{2}{e}e^{2x}\)
Exercice 2
Pour chaque proposition suivante, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Proposition 1
Soit \(f\) la fonction solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(y' = -y + 2\) telle que \(f(\ln 2) = 1\).
« La courbe représentative de \(f\) admet au point d'abscisse \(0\), une tangente d'équation \(y = 2x\) ».
Corrigé
\(f(x)=2-2e^{-x}\)
\(f(0)=0\), \(f'(0)=2\)
Tangente : \(y=2x\)
VRAIE
Proposition 2
« La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x^2 + 3x + 1)e^x\) est une solution sur \(\mathbb{R}\) de l'équation différentielle \(y' - y = (2x + 3)e^x\) ».
Corrigé
\(f'(x)-f(x)=(2x+3)e^x\)
VRAIE
Proposition 3
On considère l'équation différentielle (E) : \(y' + 2y = 4\).
« Parmi les quatre courbes ci-dessous, l'une représente la solution de \((E)\) vérifiant \(y(0) = 0\) ».
Corrigé
\(y=2-2e^{-2x}\)
et \(\lim\limits_{x \to +\infty} y(x) = 2\)
La seule courbe qui correspond à une fonction croissante, qui s'annule en \(0\), et qui tend vers \(2\) est la courbe \(C_3\).
VRAIE