Devoir : Analyse et Équations Différentielles
L'usage de la calculatrice est autorisé. Le barème est donné à titre indicatif.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction.
Durée : 1 h
Partie A : Étude d'une fonction
La fonction \(f\) est définie sur l'intervalle \([0,+\infty[\) par :
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Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\). (On développera \(f(x)\)). Interpréter graphiquement.
Corrigé
On a \(f(x) = (20x + 10) e^{-\frac{1}{2} x} = 20x e^{-\frac{1}{2} x} + 10 e^{-\frac{1}{2} x}\). Posons \(X = \dfrac{1}{2} x\) : cette expression s'écrit \(40 X e^{-X} + 10 e^{-X}=40 \dfrac{X}{e^X}+\dfrac{10}{e^X}\).
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2} x = +\infty \quad \text{et} \quad \lim\limits_{X \to +\infty} e^{X} = +\infty \quad \text{donc, par inverse} \quad \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{10}{e^X} = 0.\)
D'autre part, d'après les croissances comparées \(\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X} = +\infty\) donc par inverse et produit, \(\lim\limits_{X \to +\infty} 40 \dfrac{X}{e^X}= 0\).
Par composée et par somme \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).
Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de \(f\) admet une asymptote horizontale d'équation \(y=0\) en \(+\infty\)
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Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \([0,+\infty[\) et dresser son tableau de variations.
Corrigé
\(f\) est une fonction dérivable sur \([0,+\infty[\) car produit de fonctions dérivables sur \([0,+\infty[\). On a pour tout \(x \geqslant 0\) :
\[f'(x) = 20 e^{-\frac{1}{2} x} + (20x + 10) \times \left(-\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} x}\right) = (-10x + 15) e^{-\frac{1}{2} x}.\]\(f'(x)\) est donc du signe de \(-10x + 15\). \(f'\) est donc croissante sur \(\left[0 ; \dfrac{3}{2}\right]\) et décroissante sur \(\left[\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[\).
De plus \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=40e^{-\frac{3}{4}}\)
On a le tableau de variations :
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Établir que l'équation \(f(x)=10\) admet une unique solution strictement positive \(\alpha\) dans l'intervalle \(]0,+\infty[\). Donner un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
Corrigé
\(f\) est strictement croissante sur \(\left[0 ; \dfrac{3}{2}\right]\) et \(f(0) = 10\), il n'y a donc pas de solution à l'équation \(f(x) = 10\) sur \(\left[0 ; \dfrac{3}{2}\right]\).
\(f\) est continue et strictement décroissante de \(\left[\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[\) vers \(\left[0 ; 40 e^{-\frac{3}{4}}\right]\). \(10\) appartient à \(\left[0 ; 40 e^{-\frac{3}{4}}\right]\) donc l'équation \(f(x) = 10\) admet une solution unique sur \(\left[\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[\). Il y a bien un unique réel strictement positif \(\alpha\) solution de l'équation \(f(x) = 10\). Par une méthode de balayage, on obtient \(4,67 < \alpha < 4,68\).
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Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels, et \(F\) une fonction dérivable sur \([0,+\infty[\), définie par:
\[F(x) = (ax+b)e^{-\frac{1}{2}x} + c.\]Déterminer \(a\), \(b\) et \(c\) pour que \(F\) soit la primitive de \(f\) sur \([0,+\infty[\), qui vaut \(3\) en \(0\).
Corrigé
Soit \(F(x) = (ax + b) e^{-\frac{1}{2} x} + c\).
\[F'(x) = a e^{-\frac{1}{2} x} - \dfrac{1}{2} (ax + b) e^{-\frac{1}{2} x} = \left(-\dfrac{1}{2} ax + a - \dfrac{1}{2} b\right) e^{-\frac{1}{2} x}.\]\(F\) est une primitive de \(f\) si et seulement si \(\left\{\begin{array}{l}-\dfrac{1}{2} a = 20 \\ a - \dfrac{1}{2} b = 10\end{array}\right.\)
Soit \(\left\{\begin{array}{l}a = -40 \\ b = -100\end{array}\right.\).
On a donc \(F(x) = (-40x - 100) e^{-\frac{1}{2} x} + c\). \(F(0) = -100 + c\). Comme on veut \(F(0) = 3\), on déduit \(c = 103\).
Partie B : Réaction chimique et équation différentielle
On note \(y(t)\) la valeur, en degrés Celsius, de la température d'une réaction chimique à l'instant \(t\), \(t\) étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l'instant \(t=0\), est \(y(0)=10\).
On admet que la fonction qui, à tout réel \(t\) appartenant à l'intervalle \([0,+\infty[\), associe \(y(t)\), est solution de l'équation différentielle \((E)\) :
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Vérifier que la fonction \(f\) étudiée dans la partie A est solution de l'équation différentielle \((E)\) sur l'intervalle \([0,+\infty[\).
Corrigé
\(f\) est dérivable sur \(\left[0 ; +\infty\left[\right.\right.\) et \(\left.f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t) = (-10t + 15) e^{-\frac{1}{2} t} + \dfrac{1}{2} (20t + 10) e^{-\frac{1}{2} t}\right.\), soit \(f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t) = 20 e^{\frac{1}{2} t}\). \(f\) est bien solution de l'équation différentielle \((E)\).
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On se propose de démontrer que cette fonction \(f\) est l'unique solution de l'équation différentielle \((E)\), définie sur l'intervalle \([0,+\infty[\), qui prend la valeur \(10\) à l'instant \(0\).
a. On note \(g\) une solution quelconque de l'équation différentielle \((E)\), définie sur \([0,+\infty[\) vérifiant \(g(0)=10\). Démontrer que la fonction \(g-f\) est solution, sur l'intervalle \([0,+\infty[\), de l'équation différentielle \((E')\) :
\[ y' + \dfrac{1}{2}y = 0. \]Corrigé
Soit \(g\) une solution de \((E)\) telle que \(g(0) = 10\) et \(h = g - f\). Alors \(h' = g' - f'\) et pour tout \(t\) :
\[\begin{aligned} & h'(t) + \dfrac{1}{2} h(t) = g'(t) - f'(t) + \dfrac{1}{2} (g(t) - f(t)) = g'(t) + \dfrac{1}{2} g(t) - \left(f'(t) + \dfrac{1}{2} f(t)\right) = \\ & e^{-\frac{1}{2} t} - e^{-\frac{1}{2} t} = 0 \end{aligned}\]b. Résoudre l'équation différentielle \((E')\).
Corrigé
\((E')\) est une équation du premier ordre homogène à coefficients constants. Les solutions de l'équation \((E')\) sont donc les fonctions définies par \(h(t) = k e^{-\frac{1}{2} t}\) avec \(k \in \mathbb{R}\).
c. Conclure.
Corrigé
Comme \(h(0) = g(0) - f(0) = 0\), on déduit que \(h\) est la fonction nulle (\(k=0\)). \(f\) est bien l'unique solution de \((E)\) qui vaut \(10\) en \(0\).
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Quelle est la température maximale atteinte par la réaction ? On donnera le résultat en valeur arrondie à \(10^{-1}\) près. Au bout de combien de temps est-elle atteinte ?
Corrigé
La température de la réaction est donc représentée par \(f(t) = (20t + 10) e^{-\frac{1}{2} t}\).
D'après la partie A, son maximum est atteint pour \(t = \dfrac{3}{2}\), donc au bout de 90 minutes, et vaut \(40 e^{-\frac{3}{4}}\) soit environ \(18,9^\circ \mathrm{C}\).
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Au bout de combien de minutes la température de cette réaction chimique sera-t-elle redescendue en dessous de sa valeur initiale ?
Corrigé
Cette réaction descend au-dessous de sa valeur initiale après un temps égal à \(\alpha\).
Or \(4,67 < \alpha < 4,68\) et \(60 \times 4,67 = 280,2\) tandis que \(60 \times 4,68 = 280,8\). Il faut donc attendre plus de 280 minutes mais moins de 281 pour que la température descende en dessous de sa valeur initiale.