Petit devoir sur la dérivation : Le retour
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction.
Durée : 30 minutes
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\) par
On appelle \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère.
1. Justifier que la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
Corrigé
\(f\) est le quotient de deux fonctions dérivables sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\) : la fonction exponentielle \(e^x\) et la fonction affine \(x-1\). De plus, le dénominateur \(x-1\) ne s'annule pas sur cet intervalle. Donc, la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
2. a. Calculer la dérivée \(f'(x)\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
Corrigé
\(f\) est de la forme \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = e^x\) et \(v(x) = x-1\) donc \(u'(x) = e^x\) et \(v'(x) = 1\).
d'où \(f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{e^x(x-1) - e^x \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}\).
2. b. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
Corrigé
Pour étudier les variations de \(f\), on étudie le signe de \(f'(x) = \dfrac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}\).
- Le terme \(e^x\) est toujours positif.
- Le terme \((x-1)^2\) est toujours positif sauf en \(x=1\) où il n'est pas défini.
- Le signe de \(f'(x)\) est donc du signe de \((x-2)\).
Ainsi, \(f'(x) < 0\) pour tout \(x < 2\). Comme l'intervalle considéré est \(]-\infty ; 1[\), on a \(f'(x) < 0\) sur tout cet intervalle.
Donc, la fonction \(f\) est strictement décroissante sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
Le tableau de variations est donc :
3. On admet que pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]-\infty ; 1[\), on a
3. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
Corrigé
Pour étudier la convexité de \(f\), on étudie le signe de \(f''(x) = \dfrac{(x^2-4x+5)e^x}{(x-1)^3}\).
- Le terme \(e^x\) est toujours positif.
- Le terme \((x-1)^3\) est négatif sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
- Le polynôme \(x^2 - 4x + 5\) a un discriminant \(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0\), donc il est toujours positif.
Ainsi, le signe de \(f''(x)\) est négatif sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
Donc, la fonction \(f\) est concave sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\).
3. b. Déterminer l'équation réduite de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse 0.
Corrigé
Pour déterminer l'équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse 0, on calcule \(f(0)\) et \(f'(0)\).
-
Calcul de \(f(0)\) :
\[f(0) = \dfrac{e^0}{0-1} = \dfrac{1}{-1} = -1.\] -
Calcul de \(f'(0)\) :
\[f'(0) = \dfrac{e^0(0-2)}{(0-1)^2} = \dfrac{1 \cdot (-2)}{1} = -2.\]
L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc donnée par :
$$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = -1 - 2x.$$
Ainsi, l'équation réduite de la tangente \(T\) est :
$$y = -2x - 1.$$
3. c. En déduire que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]-\infty ; 1[\), on a :
Corrigé
Puisque la fonction \(f\) est concave sur l'intervalle \(]-\infty ; 1[\), la courbe \(\mathcal{C}\) est au-dessus de sa tangente \(T\) en tout point de cet intervalle, sauf au point de tangence.
Donc, pour tout \(x\) dans \(]-\infty ; 1[\), on a : $\(f(x) < T(x).\)$
En remplaçant \(f(x)\) et \(T(x)\) par leurs expressions respectives, on obtient : $\(\dfrac{e^x}{x-1} < -2x - 1.\)$
En multipliant les deux côtés par \((x-1)\) (qui est négatif sur l'intervalle considéré, donc l'inégalité s'inverse), on a : $\(e^x > (-2x - 1)(x - 1).\)$