Petit devoir sur la dérivation 25-26

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Le barème est donné à titre indicatif.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 20 minutes

Exercice 1 : Calcul de dérivée (fonction composée) - 4 points

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = (3x^2 - 6x + 1)^5\]

1. Calculer \(f'(x)\) en utilisant la formule de dérivation des fonctions composées. (2 points)

Corrigé

On pose \(v(x) = 3x^2 - 6x + 1\) et \(u(x)=x^5\) donc \(f(x) = u \circ v(x)\)

D'où \(v'(x)=6x-6\) et \(u'(x)=5x^4\)

D'après la formule de dérivation des fonctions composées :

\[f'(x) = v'(x) \times u' \circ v(x)\]

Donc :

\[f'(x) = (6x - 6) \times 5(3x^2 - 6x + 1)^4\]

2. Résoudre l'équation \(f'(x) > 0\). (2 points)

Corrigé

On récrit : \(f'(x) = 30(x - 1)(3x^2 - 6x + 1)^4\)

\(f'(x)\) est du signe de \((x-1)\), mais \((3x^2 - 6x + 1)\) peut s'annuler !

Calculons les racines de \(3x^2 - 6x + 1 = 0\) :

Discriminant : \(\Delta = 36 - 12 = 24 > 0\)

\[x = \dfrac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \dfrac{3 \pm \sqrt{6}}{3}\]

Soit \(x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{6}}{3}<1\) et \(x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{6}}{3}>1\)

Pour \(f'(x) > 0\), il faut que :

• \((x - 1) > 0\) donc \(x > 1\)
• ET \((3x^2 - 6x + 1)^4 > 0\) donc \(x \neq x_1\) et \(x \neq x_2\)

Conclusion :

\(f'(x) > 0\) sur \(\left]1; \dfrac{3 + \sqrt{6}}{3}\right[ \cup \left]\dfrac{3 + \sqrt{6}}{3}; +\infty\right[\)

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Exercice 2 : Convexité et représentation graphique - 6 points

On considère une fonction \(g\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Le tableau de variations de sa dérivée première \(g'(x)\) est donné ci-dessous :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)	\(2\)	\(\nearrow\)	\(4\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(1\)

On donne également : \(g(-1) = -1\) et \(g(2) = 1\)

1. Déduire du tableau le signe de \(g''(x)\) sur chaque intervalle, puis la convexité de \(g\). (2 points)

Corrigé

\(g''(x)\) est le taux de variation de \(g'(x)\), on peut donc compléter le tableau:

Tableau complet :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)	\(2\)	\(\nearrow\)	\(4\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(1\)
\(g''(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
Convexité		Convexe		Concave		Convexe

2. Préciser la nature des points de coordonnées \((-1; -1)\) et \((2; 1)\) sur la courbe de \(g\). (1 points)

Corrigé

• En \(-1\), \(g''(x)\) s'annule et change de signe (de \(+\) à \(-\)) on a un point d'inflexion

• En \(2\), \(g''(x)\) s'annule et change de signe (de \(-\) à \(+\)) on a un point d'inflexion

3. Tracer une allure possible de la courbe représentative de \(g\) sur l'intervalle \([-3; 4]\) (3 points)

Corrigé

En plus des éléments issus des deux questions précédentes, on a:

Analyse des variations de \(g\) :

D'après les valeurs de \(g'(x)\) :

• \(g'(x) > 0\) lorsque \(x < -1\) \(\Rightarrow\) \(g\) croissante
• \(g'(x) > 0\) sur \([-1;2[\) \(\Rightarrow\) \(g\) croissante
• \(g'(x)=0\) pour \(x=2 \Rightarrow C_g\) admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2.
• \(g'(x) > 0\) lorsque \(x > 2\) \(\Rightarrow\) \(g\) croissante

Allure possible de la courbe :