Devoir Surveillé sur le Dénombrement
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé
Les résultats seront laissés sous forme de produits ou de fractions faisant intervenir des factorielles.
Durée : 30 minutes
Exercice 1 (3 pts)
La ville de Bruges (Brugge) est célèbre pour ses canaux. On s'intéresse aux anagrammes de noms de villes belges.
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Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot BRUGES ?
Corrigé
BRUGES contient 6 lettres toutes distinctes. Le nombre d'anagrammes est donc \(6! = 720\)
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Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot BRUXELLES ?
Corrigé
BRUXELLES contient 9 lettres, avec des répétitions : E apparaît 2 fois, L apparaît 2 fois. Le nombre d'anagrammes est \(\dfrac{9!}{2! \times 2!} = \dfrac{362880}{4} = 90720\)
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Parmi les anagrammes de BRUXELLES, combien commencent par la lettre B ?
Corrigé
On fixe B en première position. Il reste 8 lettres à permuter : R, U, X, E, E, L, L, S, avec toujours E et L répétés deux fois. Le nombre d'anagrammes commençant par B est \(\dfrac{8!}{2! \times 2!} = \dfrac{40320}{4} = 10080\)
Exercice 2 — Plaques d'immatriculation belges (3 pts)
En Belgique, les nouvelles plaques d'immatriculation sont composées d'un chiffre, suivi de trois lettres, suivi de trois chiffres (exemple : 1-ABC-123).
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Combien de plaques différentes peut-on former si aucune contrainte n'est imposée (lettres et chiffres peuvent se répéter) ?
Corrigé
Sans contrainte, chaque position est indépendante : 10 choix pour le 1er chiffre, 26 pour chaque lettre, 10 pour chacun des 3 derniers chiffres : \(10 \times 26^3 \times 10^3 = 175\ 760\ 000\)
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Combien de plaques différentes peut-on former si les trois lettres doivent être distinctes et les quatre chiffres doivent être distincts ?
Corrigé
Les 4 chiffres doivent être distincts entre eux, et les 3 lettres distinctes entre elles :
- 1er chiffre : \(10\) choix
- 3 chiffres distincts du 1er (ordonnés) : \(9 \times 8 \times 7\)
- 3 lettres distinctes (ordonnées) : \(26 \times 25 \times 24\)
\[10 \times (9 \times 8 \times 7) \times (26 \times 25 \times 24) = 10 \times 504 \times 15600 = 78\ 624\ 000\] -
Parmi les plaques de la question 2., combien contiennent uniquement des consonnes ? (On considère 6 voyelles : A, E, I, O, U, Y, et 20 consonnes.)
Corrigé
On remplace les 26 lettres par les 20 consonnes uniquement, en conservant les mêmes contraintes :
\[10 \times (9 \times 8 \times 7) \times (20 \times 19 \times 18) = 10 \times 504 \times 6840 = 34\ 473\ 600\]
Exercice 3 — Chocolats belges (3 pts)
Une chocolaterie artisanale de Liège propose 12 sortes de pralines différentes. Un client souhaite en choisir 5.
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De combien de façons peut-il choisir 5 pralines (sans tenir compte de l'ordre) ?
Corrigé
On choisit 5 pralines parmi 12 sans ordre \(\binom{12}{5} = \frac{12!}{5!\,7!} = 792\)
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Parmi les 12 sortes, 4 sont à la framboise et 8 au chocolat noir. De combien de façons peut-il choisir 5 pralines contenant exactement 2 pralines à la framboise ?
Corrigé
On veut exactement 2 pralines à la framboise (parmi 4) et 3 au chocolat noir (parmi 8) \(\binom{4}{2} \times \binom{8}{3} = 6 \times 56 = 336\)
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De combien de façons peut-il choisir 5 pralines contenant au moins une praline à la framboise ?
Corrigé
On utilise le complémentaire : « au moins une framboise » = total \(-\) « aucune framboise » \(\binom{12}{5} - \binom{8}{5} = 792 - 56 = 736\)
Exercice 4 (1 pt)
Démontrer que
où les entiers vérifient \(0 \leqslant k \leqslant p \leqslant n\).
Corrigé
On développe les deux membres en utilisant la définition \(\dbinom{a}{b} = \dfrac{a!}{b!\,(a-b)!}\).
Membre gauche : \(\binom{n}{p}\binom{p}{k} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!} \cdot \frac{p!}{k!\,(p-k)!} = \frac{n!}{k!\,(p-k)!\,(n-p)!}\)
Membre droit : \(\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \cdot \frac{(n-k)!}{(p-k)!\,(n-p)!} = \frac{n!}{k!\,(p-k)!\,(n-p)!}\)
Les deux membres sont égaux, ce qui achève la démonstration.
« La Belgique est un pays où les gens sont divisés en trois groupes : les Flamands, les Wallons et les Belges. »
