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Corrigé du devoir commun décembre 2023-2024

(Graphiques à venir)

Exercice 1

  1. a. D'après l'énoncé, \(P(M)=\dfrac{1}{500}=0.002\), \(P_{M}(S)= 0.98\) et \(P_{\overline{M}}\left(\overline{S}\right) = 0.98\).

    b. L'arbre pondéré ci-dessous illustre cette situation :

    c. \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales :

    \(P(S) = P(S\cap M)+P\left(S\cap \overline{M}\right)\)

    \(P(S) = P_{M}(S) \times P(M) + P_{\overline{M}}(S)\times P\left(\overline{M}\right)\)

    \(P(S) = 0.002 \times 0.98 + 0.998 \times 0.02\)

    \(P(S)= 0.02192\).

    d. Par définition :

    \(P_{S}(M)=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)}\)

    \(P_{S}(M)=\dfrac{P_{M}(S)\times P(M)}{P(S)}\)

    \(P_{S}(M)=\dfrac{0.002\times 0.98}{0.02192}\)

    \(P_{S}(M)\approx 0.089\)

  2. a. On répète de manière identique et indépendante (situation assimilée à un tirage avec remise) 80 fois de suite cette épreuve. Il s'agit d'un schéma de Bernoulli donc la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=80\) et \(p=0.02192\).

    b. L'espérance d'une loi binomiale est :

    \(E(X)=n\times p=80\times 0.02192 = 1.7536\).

    Ce qui signifie que par groupe de 80 personnes le portique sonnera, en moyenne, un peu moins de 2 fois.

    c. \(P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)\approx0.170\)

    \(P(X\leqslant5)\approx0.992\)

    d. Avec la calculatrice :

    \(P(X\leqslant 2)\approx 0,744\) et \(P(X\leqslant 3)\approx 0,901\). Donc \(n=3\).

Exercice 2

Partie A

Lorsque \(N = 3\) l'algorithme effectue trois boucles avant de s'arrêter. À la fin de la boucle pour \(k = 0\) on a \(U=3\) ; à la fin de la boucle \(k=1\) on a \(U=10\) et à la fin de la boucle correspondant à \(k=2\) on obtient \(U=29\).

L'affichage en sortie est donc \(29\).

Partie B

  1. \(u_1=3\) et \(u_2=10\).

  2. a. Démontrons par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), la propriété \(P_n\) : \(u_n\geqslant n\).

    Initialisation

    \(u_0=0\geqslant 0\) donc la propriété \(P_0\) est vérifiée.

    Hérédité

    Supposons la propriété \(P_n\) vraie pour une valeur de \(n\) quelconque fixée.

    \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\geqslant 3n-2n+3\geqslant n+3\geqslant n+1\)

    La propriété est alors vérifiée au rang \(n+1\).

    Conclusion

    La propriété est vraie au rang \(0\) et elle est héréditaire, par récurrence sur \(n\), on en déduit que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geqslant n\).

    b. \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } n=+\infty\) et \(u_n \geqslant n\) donc, d'après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_n=+\infty\).

  3. Pour tout entier naturel \(n\) ; \(u_{n+1}-u_n=3u_n-2n+3-u_n=2u_n-2n+3\geqslant 3\geqslant 0\) donc la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.

  4. a. Pour tout entier naturel \(n\)

    \(v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1\)

    \(v_{n+1}=3u_n-2n+3-n-1+1\)

    \(v_{n+1}=3(u_n-n+1)\)

    \(v_{n+1} = 3v_n\)

    La suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de premier terme \(v_0=u_0-0+1=1\) et de raison \(3\).

    Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=3^n\) et \(u_n=v_n+n-1\) donc \(u_n = 3^n + n -1\).

  5. Soit \(p\) un entier naturel non nul.

    a.La suite \(\left(u_n\right)\) tend vers \(+\infty\) donc on peut affirmer qu'il existe au moins un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geqslant n_0\), \(u_n\geqslant 10^p\).

    b. \(u_{3p}=3^{3p}+3p-1=27^p+3p-1\geqslant 27^p\geqslant 10^p\) donc \(n=3p\) est une valeur de \(n\) telle que \(u_n\geqslant 10^p\) ; \(n_0\) étant la plus petite de ces valeurs, on a donc \(n_0\leqslant 3p\).

    c. \(u_6=734\) et \(u_7=2193\) donc pour la valeur \(p = 3\) ; \(n_0=7\).

    d. 

    n=0
U=0
while u<10**p:
    U=3*U - 2*n + 3
    n=n+1
return n

Exercice 3

  1. Si on note \(T\) l'événement \"on choisit le dé truqué\" et \(S\) l'événement \"on obtient un 6\" alors on a l'arbre suivant :

    Ici on cherche

    \(P_{S}(T)=\dfrac{P(T\cap S)}{P(S)}\)

    \(P_{S}(T)=\dfrac{P_{T}(S)\times P(T)}{P(S)}\)

    \(P_{S}(T)=\dfrac{0,5\times 0,5}{0,5 \times 0,5 + 0,5 \times \dfrac{1}{6}}\)

    \(P_{S}(T)= \dfrac{3}{4}\)

    L'affirmation 1 est FAUSSE.

  2. Soit \(n \in \mathbb{N}\), \(S_n = u_0 \times \left( \dfrac{1- \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n+1}}{1- \dfrac{5}{6}} \right)\).

    Or, \(-1 < \dfrac{5}{6} < 1\) donc \(\lim \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n+1} = 0\) et on en déduit que \(\lim S_n = 7 \times \dfrac{1}{\dfrac{1}{6}} = 42\)

    L'affirmation 2 est VRAIE.

  3. On a \(G(0;0;1)\), \(K(1;0.5;0.5)\) et donc \(\overrightarrow{GK} \begin{pmatrix}1\\0,5\\-0,5\end{pmatrix}\).

    L'affirmation 3 est FAUSSE.

Exercice 4

  1. a. pour \(t=0\) on a \(S_1(0)(140~;~105~;~-170)\)

    b. On sait que les sous-marins se déplacent à vitesse constante. Le premier sous-marin a parcouru la distance \(AB\) avec \(A=S_1(0)~\text{et}~B=S_1(1)\) en une minute.

    \(A(140~;~105~;~-170)~\text{et}~B(80~;~15~;~-200)\)

    donc \(AB=\sqrt{60^2+90^2+30^2}=\sqrt{12600}=30\sqrt{14}\)

    la vitesse du premier sous-marin est donc de \(30\sqrt{14} \approx 112,25 \; \text{m.min}^{-1}\).

    c. On considère les points \(A\) et \(B\) définis précédemment.

    Soit \(C\) le point de l'espace à la verticale de \(B\) et ayant la même profondeur que \(A\)

    \((ABC)\) est le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

    Appelons \(B\) le point atteint par le sous-marin au bout d'une minute : \(B(80~;~15~;~-200)\).

    D'après la définition de la vitesse, \(AB=30\sqrt{14}\)

    \(C\) a la même abscisse et la même ordonnée que \(B\), mais la cote de \(A\) :\(C(80~;~15~;~-170)\).

    On a donc, dans le triangle rectangle \(ABC\) : \(\sin \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{30}{30\sqrt{14}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}\).

    La calculatrice donne au dixième près : \(\alpha \approx 15.5°\).

  2. a. On donne \(S_2(0)\) et \(S_2(3)\) donc le seul vecteur vitesse possible est \(\vec{u} \begin{pmatrix} -90\\-180\\-60 \end{pmatrix}\) donc la seule représentation paramétrique possible de la position du deuxième sous-marin est :

    \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 200 - 90 t'\\ y &=& 420 -180 t'\\ z &=& -65 - 60 t'\\ \end{array}\right. , t' \in \; \mathbb{R}\)

    b. En égalisant les \(z(t)\) dans les deux représentations paramétriques, on trouve \(t=3.5 \;\text{min}\).

    c. On égalise et on trouve que les trajectoires ont un point commun pour \(t=6,5\) pour \(S_1\) et \(t’=3\) pour \(S_2\)

    d. Comme \(t\) différent de \(t '\), les sous-marins ne se croisent pas et il n'y a pas de risque de collision.