Devoir Commun Décembre 23/24 : Probabilités, Suites et Espace

EXERCICE 1 (5 points)

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

On note:

\(S\) l'événement le voyageur fait sonner le portique ;

\(M\) l'événement le voyageur porte un objet métallique .

On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.

1. On admet que :

   • Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98;

   • Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.

   a. Décrire par une phrase les probabilités \(P(M)\), \(P_{M}(S)\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{S})\) et donner leurs valeurs d'après l'énoncé.

   b. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.

   

   c. Montrer que \(P(S)=0,02192\).

   d. En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à \(10^{-3}\).)

2. 80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à \(0,02192\).

   Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.

   a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

   b. Calculer l'espérance de \(X\) et interpréter le résultat.

   c. Donner la valeur arrondie à \(10^{-3}\) de:

   • la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique;

   • la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.

   d. Déterminer la valeur du plus petit entier \(k\) tel que \(P(X \leqslant k) \geqslant 0,9\). Explique ta démarche.

\newpage EXERCICE 2 (6 points)

Partie A

On considère le programme en Python suivant:

def fon(N):
    U=0
    for k in range(0,N):
        U=3*U-2*k+3
    return U

Les variables sont le réel \(U\) et les entiers naturels \(k\) et \(N\).

Que retourne fon(3)? Expliquer soigneusement votre démarche.

Partie B

On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3.\]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant n\).

b. En déduire la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).

1. Démontrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.

2. Soit la suite \(\left(v_n\right)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = u_n-n+1\).

   a. Démontrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique.

   b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=3^n+n-1\).

3. Soit \(p\) un entier naturel non nul.

   a. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geqslant n_0\), \(u_n\geqslant 10^p\) ?

   On s'intéresse maintenant au plus petit entier \(n_0\).

   b. Justifier que \(n_0\leqslant 3p\).

   c. Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier \(n_0\) pour la valeur \(p = 3\).

   d. Proposer un algorithme ou un programme en Python, qui, pour une valeur de \(p\) donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geqslant n_0\), on ait \(u_n\geqslant 10^p\).

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EXERCICE 3 (3 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

1. On dispose de deux dés, identiques d'aspect, dont l'un est truqué de sorte que le \(6\) apparaît avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\). On prend un des deux dés au hasard, on le lance et on obtient \(6\).

   Affirmation 1 : la probabilité que le dé lancé soit le dé truqué est égale à \(\dfrac{2}{3}\).

2. On considère une suite géométrique \((u_n)\), de raison \(\dfrac{5}{6}\) et de premier terme \(7\) et on pose, pour \(n \in \mathbb{N}\), \(S_n=u_0+u_1+...+u_n\).

   Affirmation 2 : la suite \((S_n)\) converge et sa limite est \(42\).

3. On considère un cube \(ABCDEFGH\) muni du repère \((F;\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FB},\overrightarrow{FG})\).

   \(K\) est le milieu de \([AH]\).

   Affirmation 3 : les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{GK}\) sont \(\left( \begin{matrix} 1\\-0.5\\0.5 \end{matrix} \right)\).

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EXERCICE 4 (5 points)

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.

On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.

À chaque instant \(t\), exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point \(S_1(t)\) et le second sous-marin est repéré par le point \(S_2(t)\) dans un repère orthonormé \(\left(\text{O};~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut k\,}\right)\) dont l'unité est le mètre.

Le plan défini par \(\left(\text{O};~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,}\right)\) représente la surface de la mer. La cote \(z\) est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

1. On admet que, pour tout réel \(t \geqslant 0\), le point \(S_1(t)\) a pour coordonnées: \(\(\left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& \phantom{-}140 - 60t\\ y(t) &=& \phantom{-}105 - 90t\\ z(t) &=& -170 - 30 t \end{array}\right.\)\)

   a. Donner les coordonnées du sous-marin au début de l'observation.

   b. Déterminer les coordonnées du sous-marin après 1 minute. Calculer la distance parcourue, en déduire la vitesse en mètres par minute arrondie à \(10^{-2}\) près.

   c. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

   Déterminer l'angle \(\alpha\) que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.

   On donnera l'arrondi de \(\alpha\) à \(0.1\) degré près.

1. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point \(S_2(0)\) de coordonnées \((200;420;- 65)\) et atteint au bout de trois minutes le point \(S_2(3)\) de coordonnées \((-70;-120;-245)\) avec une vitesse constante.

   a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite qui modélise la position du deuxième sous-marin.

   b. À quel instant \(t\), exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?

   c. Les trajectoires des deux sous-marins ont-elles un point commun ?

   d. Les sous-marins risquent-ils une collision ?