Devoir Commun avril 2024 : Logarithme népérien et dénombrement

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Pour les exercices sur le dénombrement, les formules serviront de justifications.

Durée : 120 minutes.

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par:

\[f(x)=x(1-\ln{x})\]

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée en dessous de cet exercice.

Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.

Corrigé

Sur $]0 ; +\infty[$, on a $x>0$ donc $f(x)$ est du signe de $1-\ln{x}$.

On résout:

$1-\ln{x} \geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq \ln{x}$

$1-\ln{x} \geq 0 \Leftrightarrow \ln{e} \geq \ln{x}$

$1-\ln{x} \geq 0 \Leftrightarrow e \geq x$ car $x \mapsto \ln{x}$ croissante sur $]0 ; +\infty[$

D'où $f(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \leq e$ et $f(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \geq e$
a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.

Corrigé

On écrit : $f(x)=x-x\ln{x}$

$\lim\limits_{x \to 0} x=0$ et $\lim\limits_{x \to 0} x\ln{x}=0$ (Cours).

Par différence, on a donc $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=0$

b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Corrigé

$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty}1-\ln{x}=-\infty$

Avec, $\lim\limits_{x \to +\infty} x=+\infty$, on a, par produit, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$

c. En déduire d'éventuelles interprétations graphiques.

Corrigé

$\mathcal{C}_f$ n'admet ni d'asymptotes verticales, ni d'asymptotes horizontales.
a. Montrer que la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ est $f'(x)=-\ln{x}$

Corrigé

$f$ est une fonction dérivable sur $]0 ; +\infty[$ car produit et somme de fonctions dérivables sur $]0 ; +\infty[$.

Avec la forme $f(x)=x-x\ln{x}$, on doit calculer la fonction dérivée de $x \mapsto x\ln{x}$

$(x\ln{x})'=1 \times \ln{x} + x \times \dfrac{1}{x}=\ln{x}+1$

D'où $\forall x \in ]0 ; +\infty[$, $f'(x)=1-(\ln{x}+1)=-\ln{x}$

b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.

Corrigé

$x \mapsto \ln{x}$ est négative sur $]0 ; 1]$ et positive sur $[1 ; +\infty[$ (cours)

$f'(x)$ est donc du signe opposé.

$x$ 0 1 $+\infty$

signe de $f'(x)$ + 0 -

1

variations de $f$ $\nearrow$ $\searrow$

0 $-\infty$

On a calculé $f(1)=1-1 \times \ln{1}=1$
Montrer que l’équation $f(x)=-1$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $]0 ; +\infty[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
Corrigé

Sur $]0;1]$, on a $f(x)>0$ donc l'équation $f(x)=-1$ n'admet pas de solution sur cet intervalle.

On a:
- $f$ continue sur $[1;+\infty[$.
- $f(1)=1$ soit $f(1)>-1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty < -1$.
- $f$ strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
D'après le corollaire du théorème sur les valeurs intermédiaires, $f(x)=-1$ admet donc une unique solution sur $[1;+\infty[$.

Avec la calculatrice, on obtient $\alpha \approx 3.59$
Soit $a$ un nombre réel strictement positif.

On considère la tangente $(T_a)$ au point $\text{A}$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.

a. Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point $\text{A'}$, point d'intersection de la droite $(T_a)$ et de l'axe des ordonnées.

Corrigé

On a $T_a : y=f'(a)(x-a)+f(a)$

D'où $T_a : y=-\ln{a}x+a\ln{a}+a-a\ln{a}$

Et enfin $T_a : y=-\ln{a}x+a$

Pour $x=0$, on obtient $y=a$ donc $A'(0;a)$

b. Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $(T_a)$. Sur le graphique ci-dessous, construire la tangente $(T_a)$ au point $\text{A}$ placé sur la figure.

Corrigé

On reporte la distance $a$ sur l'axe des ordonnées pour obtenir $A'$. On trace $(AA')$.

$Courbe $\mathcal{C}_f$$

$Courbe $\mathcal{C}_f$$

Exercice 2

Un cadenas possède un code à 3 chiffres, chacun des chiffres pouvant être un chiffre de 1 à 9.

a. Combien y-a-t-il de codes possibles ?

Corrigé

$9 \times 9 \times 9 = 729$

b. Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre pair ?

Corrigé

$9 \times 9 \times 4=324$

c. Combien y-a-t-il de codes contenant au moins un chiffre 4 ?

Corrigé

Aucun chiffre 4 : $8 \times 8 \times 8 = 512$

Avec l'évènement contraire : $9 \times 9 \times 9 - 8 \times 8 \times 8 = 729-512=217$

d. Combien y-a-t-il de codes contenant exactement un chiffre 4 ?

Corrigé

Le chiffre 4 peut apparaître pour le 1er, 2ème ou 3ème chiffre. Donc $3 \times 8 \times 8=192$
Dans cette question on souhaite que le code comporte obligatoirement trois chiffres distincts.

a. Combien y-a-t-il de codes possibles ?

Corrigé

$9 \times 8 \times 7=504$

b. Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre impair?

Corrigé

$5 \times 8 \times 7=280$

c. Combien y-a-t-il de codes comprenant le chiffre 6 ?

Corrigé

Aucun chiffre 6 : $8 \times 7 \times 6 = 336$

Évènement contraire : $9 \times 8 \times 7 - 8 \times 7 \times 6=504-336=168$

Exercice 3

On dispose de 4 terrains de tennis, de 4 profs de tennis et de 8 joueurs.

Combien de façons différentes y a-t-il d'attribuer les profs et joueurs aux terrains de tennis de manière que sur chaque terrain il y ait un prof et deux joueurs ?

Corrigé

Choix des profs : $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$

Choix des joueurs : $\left( \begin{array}{c}8\\2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c}6\\2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c}4\\2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c}2\\2 \end{array}\right)=28 \times 15 \times 6=2520$

D'où $24 \times 2520 = 60480$

Exercice 4

Une araignée en $\text{A}$ se déplace sur une toile quadrillée représentée ci-dessous. Elle veut atteindre la mouche en $\text{M}$ et se déplace seulement de gauche à droite et du bas vers le haut.

Toile quadrillée

En remarquant que, pour chaque point de son parcours, l'araignée a deux possibilités : aller à droite ou vers le haut, montrer que le nombre de chemins possibles de $\text{A}$ à $\text{M}$ est $5005$.

Corrigé

L'araignée va aller 9 fois vers la droite et 6 fois vers le haut. Il y aura donc 15 déplacements.

Il faudra donc choisir quand elle ira vers la droite ou vers le haut.

Soit $\left( \begin{array}{c}15\\6 \end{array}\right)=5005$
Dénombrer tous les chemins possibles passant par $\text{P}$.

Corrigé

On multiplie le nombre de chemins de$\text{A}$à $\text{P}$ par le nombre de chemins de $\text{P}$ à $\text{M}$:

$\left( \begin{array}{c}6\\2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c}9\\4 \end{array}\right)=1890$
Dénombrer tous les chemins possibles passant par $\text{P}$ et $\text{Q}$.

Corrigé

On multiplie le nombre de chemins de $\text{A}$ à $\text{P}$ par le nombre de chemins de $\text{P}$ à $\text{Q}$ et le nombre de chemins de $\text{Q}$ à $\text{M}$:

$\left( \begin{array}{c}6\\2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c}3\\1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c}6\\2 \end{array}\right)=675$
Dénombrer tous les chemins possibles passant par $\text{P}$ ou $\text{Q}$.

Corrigé

Nombre de chemins qui passent par $\text{Q}$ :

$\left( \begin{array}{c}9\\4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c}6\\2 \end{array}\right)=1890$

$Card(P \cup Q)=Card(P)+Card(Q)-Card(P \cap Q)=1890+1890-675=3105$

\(x\)	0		1		\(+\infty\)
signe de \(f'(x)\)		+	0	-
			1
variations de \(f\)		\(\nearrow\)		\(\searrow\)
	0				\(-\infty\)