Devoir Commun 20 novembre 2025

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Durée : 115 minutes.

Exercice 1 (5 points)

Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que \(AB = 5\), \(AD = 3\) et \(AE = 2\).

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\,O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k}\,\right)\) dans lequel les points \(B\), \(D\) et \(E\) ont respectivement pour coordonnées \((5~;~0~;~0)\) , \((0~;~3~;~0)\) et \((0~;~0~;~2)\).

On considère les points M, K et L tels que \(\overrightarrow{HM }=\dfrac{1}{5} \overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{AK }=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{DL}=\dfrac{3}{5} \overrightarrow{AB}\)

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{KL}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Corrigé

Calcul des coordonnées des points K, L et M :
- \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{HM} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Comme H\((0; 3; 2)\), on a M\((1; 3; 2)\)
- \(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{AK} = \dfrac{2}{3}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Comme A\((0; 0; 0)\), on a K\((0; 2; 0)\)
- \(\overrightarrow{DL} = \dfrac{3}{5}\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Comme \(D(0; 3; 0)\), on a \(L(3; 3; 0)\)

Vecteurs demandés :

\[\overrightarrow{KL} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ 3-2 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-0 \\ 3-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
1. En déduire que les droites \((KL)\) et \((AC)\) sont sécantes.
Corrigé

Les vecteurs \(\overrightarrow{KL}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires (car \(\dfrac{3}{5} \neq \dfrac{1}{3}\)).

Les droites sont dans le plan \(z = 0\) (car leurs vecteurs directeurs ont une coordonnée nulle en z).

Vérifions si elles se coupent : cherchons si \(K\), \(L\), \(A\), \(C\) sont coplanaires et si les droites se rencontrent.

Les droites \((KL)\) et \((AC)\) sont coplanaires (plan \(z = 0\)) et non parallèles, donc elles sont sécantes.
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((KL)\).
Corrigé

La droite (KL) passe par \(K(0; 2; 0)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{KL} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

\[(KL) : \begin{cases} x = 3t \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases} \quad ,t \in \mathbb{R}\]
1. En déduire les coordonnées de \(P\), le point d'intersection des droites \((KL)\) et \((AC)\).
Corrigé

La droite (AC) passe par A\((0; 0; 0)\) avec \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) :

\[(AC) : \begin{cases} x = 5s \\ y = 3s \\ z = 0 \end{cases} \quad ,s \in \mathbb{R}\]

À l'intersection : \(3t = 5s\) et \(2 + t = 3s\)

De la première : \(t = \dfrac{5s}{3}\)

Dans la seconde : \(2 + \dfrac{5s}{3} = 3s \Rightarrow 6 + 5s = 9s \Rightarrow s = \dfrac{3}{2}\)

Donc \(t = \dfrac{5 \times 3/2}{3} = \dfrac{5}{2}\)

P a pour coordonnées : \(P\left(\dfrac{15}{2}; \dfrac{9}{2}; 0\right)\) ou P\((7{,}5; 4{,}5; 0)\)
Soit \(N\) le point de coordonnées \(\left(0~;~\dfrac{8}{3}~;~2\right)\)
1. Justifier que les points \(K\),\(L\), \(M\) et \(N\) sont coplanaires.
Corrigé

On a : \(K(0; 2; 0)\), \(L(3; 3; 0)\), \(M(1; 3; 2)\), \(N\left(0; \dfrac{8}{3}; 2\right)\)

Calculons : \(\overrightarrow{KL} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{KM} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{KN} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2/3 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Les points sont coplanaires si \(\overrightarrow{KN} = \alpha \overrightarrow{KL} + \beta \overrightarrow{KM}\) :

\[\begin{cases} 3\alpha + \beta = 0 \\ \alpha + \beta = \dfrac{2}{3} \\ 2\beta = 2 \end{cases}\]

De la 3e : \(\beta = 1\). De la 1re : \(\alpha = -\dfrac{1}{3}\). Vérification 2e : \(-\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3}\)

Les points K, L, M, N sont coplanaires.
1. En déduire l'intersection de la droite \((EH)\) et du plan \((KLM)\)
Corrigé

La droite (EH) passe par E\((0; 0; 2)\) et H\((0; 3; 2)\), donc \(\overrightarrow{EH} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Représentation paramétrique de (EH) : \(\begin{cases} x = 0 \\ y = 3u \\ z = 2 \end{cases}\)

Le point N\(\left(0; \dfrac{8}{3}; 2\right)\) appartient à (EH) avec \(u = \dfrac{8}{9}\) et au plan (KLM).

L'intersection de (EH) et du plan (KLM) est le point N\(\left(0; \dfrac{8}{3}; 2\right)\).

Exercice 2 (3 points)

Vrai/Faux Justifier (toute réponse non justifiée ne rapportera aucun point)

On pose \(S_n = 1+ \dfrac{1}{3} + \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 + \ldots + \left( \dfrac{1}{3} \right)^n\)

Affirmation 1 : \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = 3\)

Corrigé

FAUX

\(S_n\) est la somme des \(n+1\) premiers termes d'une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = \dfrac{1}{3}\).

\[S_n = \dfrac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)\]

Comme \(-1< q < 1\), on a :

Quand : \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} = 0\)

Donc : \(\(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{3}{2} \neq 3\)\)
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier \(n \geqslant 1\) par \(u_n=\dfrac{2-sin(n)}{n}\)

Affirmation 2 : La suite \((u_n)\) est convergente.

Corrigé

VRAI

Pour tout \(n \geqslant 1\) : \(-1\leqslant\sin(n)\leqslant1\), donc \(1\leqslant2 - \sin(n)\leqslant3\)

Ainsi : \(\(\dfrac{1}{n}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{3}{n}\)\)

Par le théorème des gendarmes, comme \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n} = 0\) :

\[\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\]

La suite \((u_n)\) est convergente (vers 0).
Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites telles que : \((v_n)\) est croissante et non bornée et pour tout entier \(n\), \(u_n \geqslant v_n\).

Affirmation 3 : La suite \((u_n)\) est divergente.

Corrigé

VRAI

Si \((v_n)\) est croissante, non bornée, alors \(\lim v_n = +\infty\).

Si pour tout \(n\), \(u_n \geq v_n\), alors par comparaison : \(\lim u_n = +\infty\).

La suite \((u_n)\) est divergente (vers \(+\infty\)). L'affirmation est VRAIE.

Exercice 3 (13 points)

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit dominant . Les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène.

Les parties A et B sont indépendantes

Les résultats seront donnés au millième

Partie A - Premier modèle

À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation :

chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à \(0,4\) ;
la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre.

On note \(X\) la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.

Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
Corrigé

La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale car :
- On répète \(n = 10\) épreuves identiques et indépendantes (les 10 années)
- Chaque épreuve a deux issues : El Niño dominant (succès avec \(p = 0,4\)) ou non (échec)
Donc \(X \sim \mathcal{B}(10 ; 0,4)\)
1. Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.
Corrigé

\[P(X = 2) = \binom{10}{2} \times 0,4^2 \times 0,6^8\]

\[P(X = 2) = 45 \times 0,16 \times 0,01679616\]

\(\(P(X = 2) \approx 0,121\)\) (arrondi à \(10^{-3}\))
1. Calculer \(P(X \leqslant 2)\). Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ?
Corrigé

\[P(X\leqslant2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\]

\[P(X = 0) = \binom{10}{0} \times 0,4^0 \times 0,6^{10} = 0,6^{10} \approx 0,006\]

\[P(X = 1) = \binom{10}{1} \times 0,4^1 \times 0,6^9 = 10 \times 0,4 \times 0,6^9 \approx 0,040\]

\[P(X\leqslant2) \approx 0,006 + 0,040 + 0,121 = 0,167\]

Interprétation : La probabilité que sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant au maximum 2 années est d'environ 16,7%.
Calculer \(E(X)\). Interpréter ce résultat.

Corrigé

\[E(X) = n \times p = 10 \times 0,4 = 4\]

Interprétation : En moyenne, sur des périodes de 10 ans, on s'attend à ce que le phénomène El Niño soit dominant 4 années.
On considère une période de \(n\) années ( \(n \in \mathbb{N}\) ). Déterminer la plus petite valeur de \(n\) telle que la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant au moins une année soit strictement supérieure à \(0,99\).

Corrigé

La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, 0.4)\).

La probabilité que le phénomène El Niño soit dominant au moins une année sur une période de \(n\) années est donnée par :

\[P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)\]

où \(P(X = 0)\) est la probabilité que le phénomène El Niño ne soit pas dominant pendant \(n\) années. Puisque les événements sont indépendants d'une année à l'autre, on a :

\[P(X = 0) = (1 - 0.4)^n = 0.6^n\]

On veut donc :

\[1 - 0.6^n > 0.99 \Leftrightarrow 0.6^n < 0.01\]

Avec la calculatrice, la plus petite valeur de \(n\) satisfaisant cette inégalité est \(n = 10\).

Partie B - Second modèle

Après une étude d'un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparait plus pertinente :

si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est \(0,5\)
par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est \(0,3\).

On considère que l'année de référence est 2023.

On note pour tout entier naturel \(n\) :

\(E_n\) l'évènement le phénomène El Niño est dominant l'année \(2023 + n\);
\(p_n\) la probabilité de l'évènement \(E_n\).

En 2023, El Niño n'était pas dominant. On a ainsi \(p_0 = 0\).

Soit \(n\) un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

Corrigé
Justifier que \(p_1 = 0,3\).

Corrigé

En 2023, El Niño n'est pas dominant, donc \(p_0 = 0\).

D'après l'arbre, on a : \(\(p_1 = P(E_1) = P(E_0) \times P_{E_0}(E_1) + P(\overline{E_0}) \times P_{\overline{E_0}}(E_1)\)\)

\[p_1 = p_0 \times 0,5 + (1 - p_0) \times 0,3\]

\[p_1 = 0 \times 0,5 + 1 \times 0,3 = 0,3\]
En vous aidant de l'arbre, montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(p_{n+1} = 0,2p_n + 0,3\)

Corrigé

\(E_n \cap E_{n+1}\) et \(\overline{E_n} \cap E_{n+1}\) réalisent une partition de \(E_{n+1}\), d'après la formule des probabilités totales :

\[p_{n+1} = P(E_{n+1}) = P(E_n) \times P_{E_n}(E_{n+1}) + P(\overline{E_n}) \times P_{\overline{E_n}}(E_{n+1})\]

\[p_{n+1} = p_n \times 0,5 + (1 - p_n) \times 0,3\]

\[p_{n+1} = 0,5p_n + 0,3 - 0,3p_n\]

\[p_{n+1} = 0,2p_n + 0,3\]

On cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño.

1. Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite \((p_n)\).
Corrigé

En calculant les premiers termes ou avec la calculatrice:
- \(p_0 = 0\)
- \(p_1 = 0,3\)
- \(p_2 = 0,2 \times 0,3 + 0,3 = 0,36\)
- \(p_3 = 0,2 \times 0,36 + 0,3 = 0,372\)
On conjecture que la suite \((p_n)\) est croissante et converge vers \(\dfrac{3}{8} = 0,375\).
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(p_n \leqslant \dfrac38\).
Corrigé

Initialisation : \(p_0 = 0\leqslant\dfrac{3}{8}\), la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons que \(p_n\leqslant\dfrac{3}{8}\) pour un rang \(n\) donné

Montrons que \(p_{n+1}\leqslant\dfrac{3}{8}\).

\[p_{n+1} = 0,2p_n + 0,3\]

Par hypothèse de récurrence : \(p_n\leqslant\dfrac{3}{8}\)

Donc : \(0,2p_n\leqslant0,2 \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{40}\)

Ainsi : \(p_{n+1}\leqslant\dfrac{3}{40} + 0,3 = \dfrac{3}{40} + \dfrac{12}{40} = \dfrac{15}{40} = \dfrac{3}{8}\)

Conclusion : Par récurrence sur n, pour tout entier naturel \(n\), on a \(p_n\leqslant\dfrac{3}{8}\).
1. Déterminer le sens de variation de la suite \((p_n)\).
Corrigé

\[p_{n+1} - p_n = 0,2p_n + 0,3 - p_n = -0,8p_n + 0,3 = 0,3 - 0,8p_n\]

Puisque \(p_n\leqslant\dfrac{3}{8}\), on a \(0,8p_n\leqslant0,8 \times \dfrac{3}{8} = 0,3\)

Donc \(p_{n+1} - p_n = 0,3 - 0,8p_n \geqslant 0\)

La suite \((p_n)\) est croissante.
1. En déduire la convergence de la suite \((p_n)\).
Corrigé

La suite \((p_n)\) est croissante et majorée par \(\dfrac{3}{8}\), d'après le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.

On cherche à déterminer la limite de la suite \((p_n)\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = p_n - \dfrac38\) pour tout entier naturel \(n\).
1. Montrer que la suite \((u_n)\) est géométrique de raison 0,2 et préciser son premier terme.
Corrigé

\[u_n = p_n - \dfrac{3}{8}\]

\[u_{n+1} = p_{n+1} - \dfrac{3}{8} = 0,2p_n + 0,3 - \dfrac{3}{8}\]

\[u_{n+1} = 0,2p_n + 0,3 - 0,375 = 0,2p_n - 0,075\]

\[u_{n+1} = 0,2\left(p_n - \dfrac{3}{8}\right) = 0,2u_n\]

La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = 0,2\) et de premier terme :

\[u_0 = p_0 - \dfrac{3}{8} = 0 - \dfrac{3}{8} = -\dfrac{3}{8}\]
1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a :
  
  \[p_n = \dfrac38\left(1 - 0,2^n\right).\]
Corrigé

\[u_n = u_0 \times q^n = -\dfrac{3}{8} \times 0,2^n\]

\[p_n = u_n + \dfrac{3}{8} = -\dfrac{3}{8} \times 0,2^n + \dfrac{3}{8}\]

\[p_n = \dfrac{3}{8}(1 - 0,2^n)\]
1. Calculer la limite de la suite \((p_n)\).
Corrigé

On a \(0 < 0,2 < 1\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n = 0\).

\[\lim_{n \to +\infty} p_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{8}(1 - 0,2^n)= \dfrac{3}{8}\]
1. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Corrigé

À long terme, selon ce modèle, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant une année donnée tend vers \(\dfrac{3}{8} = 37,5\%\).
On considère l'algorithme ci-dessous :
```
def seuil(A):
        n=0
        p=0
        while abs(p-0.375) > A :
            p=0.2*p+0.3
            n=n+1
        return(n)
```
1. Expliquer ce que renvoie la fonction seuil.
Corrigé

La fonction seuil(A) calcule le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(|p_n - 0.375| \leq A\), où \(p_n\) est la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant l'année \(2023 + n\). Autrement dit, elle détermine à partir de quelle année \(n\) la probabilité \(p_n\) est suffisamment proche de sa limite \(\dfrac{3}{8} = 0.375\) (à une tolérance \(A\) près).
1. Justifier que seuil(0,01) va bien retourner une valeur.
Corrigé

D'après la question 5.c., on sait que \((p_n)\) converge vers \(\dfrac{3}{8} = 0.375\). Cela signifie que pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), \(|p_n - 0.375| \leq \epsilon\).

En particulier, pour \(\epsilon = 0.01\), il existe un entier \(N\) tel que \(|p_n - 0.375| \leq 0.01\) pour tout \(n \geq N\). Ainsi, la boucle while terminera et la fonction seuil(0.01) retournera bien une valeur.
1. Donner la valeur obtenue par seuil(0,01).
Corrigé

On utilise la formule établie en 5.b. :

\[p_n = \dfrac{3}{8}\left(1 - 0.2^n\right)\]

On cherche le plus petit entier \(n\) tel que :

\[\left|\frac{3}{8}\left(1 - 0.2^n\right) - \frac{3}{8}\right| \leqslant 0.01\]

Cela revient à résoudre :

\[\dfrac{3}{8} \cdot 0.2^n \leqslant 0.01\]

Soit :

\[0.2^n \leqslant \dfrac{0.08}{3} \approx 0.0267\]

Avec la calculatrice, on trouve \(n = 3\).

Conclusion : seuil(0.01) retourne la valeur 3.