Devoir Commun 8 janvier 2025

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Durée : 180 minutes.

Exercice 1 (8 points)

On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité :

soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est "de type S" ;
soit malade (atteint par le virus) ;
soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus.

Pour tout entier naturel $n$, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

Parmi les individus de type S en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 85% restent de type S, 5% deviennent malades et 10% deviennent immunisés ;
Parmi les individus malades en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 65% restent malades, et 35% sont guéris et deviennent immunisés.
Tout individu immunisé en semaine $n$ reste immunisé en semaine $n + 1$.

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants :

$S_n$ : l'individu est de type S en semaine $n$ ;

$M_n$ : l'individu est malade en semaine $n$ ;

$I_n$ : l'individu est immunisé en semaine $n$.

En semaine 0, tous les individus sont considérés de type S, on a donc les probabilités suivantes :

\[P\left(S_0\right) = 1~;~P\left(M_0\right) = 0\text{ et } P\left(I_0\right) = 0.\]

Partie A

On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semaines 1 et 2.

Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous :

Corrigé

L'énoncé donne:

$P_{S_{n}}\left(S_{n+1} \right)=0,85$

$P_{S_{n}}\left(M_{n+1} \right)=0,05$

$P_{S_{n}}\left(I_{n+1} \right)=0,1$

$P_{S_{n}}\left(S_{n+1} \right)=0,85$

$P_{M_{n}}\left(M_{n+1} \right)=0,65$

$P_{M_{n}}\left(I_{n+1} \right)=0,35$

$P_{I_{n}}\left(I_{n+1} \right)=1$

D'où:
Montrer que $P\left(I_2\right)= 0,2025$.

Corrigé

$S_1$, $M_1$ et $I_1$ forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales on a:

$P\left( I_2\right)=P\left(I_2 \cap S_1 \right) + P\left(I_2 \cap S_M \right)+P\left(I_2\cap I_1 \right)$

$\hphantom{P \left( I_2 \right)}=P_{S_1}\left(I_2 \right)\times P\left( S_1\right)+P_{M_1}\left(I_2 \right)\times P \left( M_1\right )+P_{I_1}\left(I_2 \right)\times P\left( I_1\right)$

$\hphantom{P\left( I_2\right)}= 0,1 \times 0,85+0,35 \times 0,05+1 \times 0,1$

$\hphantom{P\left( I_2\right)}= 0,2025$
Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ?

Corrigé

On cherche $P_{I_2}\left( M_1 \right)$

$P_{I_2}\left( M_1\right)=\dfrac{P\left(M_1 \cap I_2\right)}{P \left( I_2\right)}=\dfrac{P_{M_1}\left(I_2 \right) \times P \left( M_1\right)}{0,2025}=\dfrac{0,0175}{0,2025}=\dfrac{7}{81} \approx 0,086$

Partie B

Dans cette partie, on donnera les résultats à $10^{-4}$ près.

Pendant la semaine $n=4$ de propagation du virus, on considère un hopital dans lequel 20 personnes ont été placés en isolement en attendant les résultats de leurs tests. Lors de cette semaine, la probabilité d'être malade est de $0,0859$.

Justifier que la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de patients malades suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

Corrigé

On répète de façon identique et indépendante l'expérience à deux issues possibles : "Le patient est malade" ou "Le patient n'est pas malade" 20 fois avec une probabilité de succès de $0,0859$.

La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de patients malades suit donc bien une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,0859$.
Calculer $P\left(X=1\right)$.

Corrigé

$P(X=1)=\begin{pmatrix}20\\1\end{pmatrix} \times p^1 \times (1-p)^{20-1}$

$\phantom{P(X=1)}= 20 \times 0,0859^1 \times 0,9141^{19}$

$\phantom{P(X=1)} \approx 0,3118$
Calculer la probabilité qu'au moins un patient parmi les 20 soit malade.

Corrigé

$P(X \geqslant 1)=1-P(X=0)$ et $P(X=0)=1 \times 0,9141^{20}$

D'où $P(X \geqslant 1)=1-0,9141^{20} \approx 0,8341$

Partie C

On étudie à long terme l'évolution de la maladie.

Pour tout entier naturel $n$, on : $u_n = P\left(S_n\right)$, $v_n=P\left(M_n\right)$ et $w_n=P\left(I_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $S_n$, $M_n$ et $I_n$.

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a :

\[u_n + v_n + w_n=1\]

Corrigé

$S_n$, $M_n$ et $I_n$ forment une partition de l'univers puisqu'un individu est soit de type S soit malade soit immunisé à l'exclusion de toute autre possibilité donc $P\left( S_n\right) +P\left( M_n\right) +P\left( I_n\right)=1$

on a donc bien $\forall n \in \mathbb{N}~,~u_n+v_n+w_n=1$

On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie par $v_{n+1} = 0,65v_n + 0,05u_n$.

À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.

	A	B	C	D
$1$	$n$	$u_n$	$v_n$	$w_n$
$2$	$0$	$1$	$0$	$0$
$3$	$1$	$0,8500$	$0,0500$	$0,1000$
$4$	$2$	$0,7225$	$0,0750$	$0,2025$
$5$	$3$	$0,6141$	$0,0849$	$0,3010$
$6$	$4$	$0,5220$	$0,0859$	$0,3921$
$7$	$5$	$0,4437$	$0,0819$	$0,4744$
$8$	$6$	$0,3771$	$0,0754$	$0,5474$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$20$	$18$	$0,0536$	$0,0133$	$0,9330$
$21$	$19$	$0,0456$	$0,0113$	$0,9431$
$22$	$20$	$0,0388$	$0,0096$	$0,9516$

Pour répondre aux questions a. et b. suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.

a. Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite $\left(v_n \right)$ ?

Corrigé

En C3 on a entré 0,65*C2+0,05*B2 car $v_{n+1}=0,65v_n+0,05u_n$.

b. On admet que les termes de $\left(v_n\right)$ augmentent, puis diminuent à partir d'une certain rang $N$, appelé le pic épidémique : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.

Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle.

Corrigé

D'après le tableur, le pic épidémique est atteint lors de la semaine $n=4$.

a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,85u_n$.

En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Corrigé

$u_{n+1}=P(S_{n+1})$ or la seule façon d'être de type S à la semaine $(n+1)$ est de l'avoir été à la semaine $n$ donc $P(S_{n+1})=P_{S_n}(S_{n+1})\times P(S_n)$

or $P_{S_n}(S_{n+1})=0,85$ d'après l'énoncé et $P(S_n)=u_n$

Finalement on a bien $\forall n \in \mathbb{N}~,~u_{n+1}=0,85u_n$

On en déduit que $\left(u_n \right)$ est géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=P\left(S_0 \right)=1$

on a donc $\forall n \in \mathbb{N}~,~u_{n}=0,85^n$

b. Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$,

\[v_n = \dfrac{1}{4}\left(0,85^n - 0,65^n\right).\]

Corrigé

initialisation:

Pour $n=0$ $v_0=P(M_0)=0$ et $\dfrac{1}{4}\left(0,85^0-0,65^0 \right)=0$

hérédité: Soit $n$ un entier naturel tel que $v_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n \right)$ alors

$v_{n+1}=0,65v_n+0,05u_n$

$\hphantom{v_{n+1}}=0,65\times \left( \dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n \right)\right) +0,05\times 0,85^n$

$\hphantom{v_{n+1}}=\left(0,65\times \dfrac{1}{4}+0,05 \right)\times 0,85^n-\dfrac{1}{4}\times 0,65^{n+1}$

$\hphantom{v_{n+1}}=\left(0,65\times \dfrac{1}{4}+0,2\times \dfrac{1}{4} \right)\times 0,85^n-\dfrac{1}{4}\times 0,65^{n+1}$

$\hphantom{v_{n+1}}= \dfrac{1}{4} \times 0,85^{n+1}-\dfrac{1}{4}\times 0,65^{n+1}$

$\hphantom{v_{n+1}}= \dfrac{1}{4} \times \left( 0,85^{n+1}- 0,65^{n+1}\right)$

La propriété est donc héréditaire à partir du rang $n=0$ or elle est vérifiée à ce rang $0$ donc par le principe de récurrence on vient de montrer que

$\forall n \in \mathbb{N}~,~v_n=\dfrac{1}{4}\left(0,85^n-0,65^n \right)$
Calculer les limites de chacune des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.

Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ?

Corrigé

$\left|0,85 \right|<1$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 0,85^n= 0$ et de même, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 0,65^n=0$

On en déduit, par opération sur les limites que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n~$= $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n~= 0$

De plus on sait que $\forall n \in \mathbb{N},u_n+v_n+w_n=1$

On a alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} w_n= 1$

Cela signifie qu'à terme, l'épidémie sera éradiquée.

Exercice 2 (6 points)

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

\[f(x) = (ax - 2)\mathrm{e}^{-x},\]

où $a$ est un nombre réel.

On admet dans tout l'exercice que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine $\text{O}$.

Les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ passent toutes les deux par le point $\text{A}(0~;~-2)$.

La droite $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $\text{A}$ et admet pour équation $y=10x-2$.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

Donner, à l'aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.

Corrigé

$f(0)=-2$ et $f'(0)=10$
a. Montrer que pour tout réel $x$ on a :

\[f'(x) = (- ax + a + 2)\mathrm{e}^{-x}\]

Corrigé

$f'(x)=a\times \text{e}^{-x}+(ax-2)\times -\text{e}^{-x}=\left( a-(ax-2)\right)\text{e}^{-x})=(-ax+a+2)\text{e}^{-x}$

b. Déduire des questions précédentes que $a = 8$.

Corrigé

On sait que $f'(0)=10$ donc $(0+a+2)\text{e}^0=10 \iff a+2=10 \iff a=8$.

c. Donner l'expression de $f'(x)$.

Corrigé

Donc pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f'(x)=(-ax+a+2)\text{e}^{-x}=(-8x+10)\text{e}^{-x}$ et $f(x)=(8x-2)\text{e}^{-x}$
a. Calculer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.

Corrigé

Soit X=-x, $\lim\limits_{x \to -\infty}(8x-2)\text{e}^{-x}=$\lim\limits_{X \to +\infty}(-8X-2)\text{e}^{X}

Or $\lim\limits_{X \to +\infty}(-8X-2)=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty}\text{e}^{X}=+\infty$

Par produit, on a alors $\lim\limits_{X \to +\infty}(-8X-2)\text{e}^{X}=-\infty$

et donc, par composée, $\lim\limits_{x \to -\infty}(8x-2)\text{e}^{-x}=-\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}(8x-2)\text{e}^{-x}=\lim\limits_{x \to +\infty}8\dfrac{x}{\text{e}^{{x}}-\dfrac{2}{\text{e}}.}

Or d'après la propriété des croissances comparées, on a $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty$, donc, par inverse $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}8\text{e}^{x}=+\infty, donc par inverse $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{x}}=0.

Par produit et somme, on a donc $\lim\limits_{x \to +\infty}8\dfrac{x}{\text{e}^{x}}-\dfrac{2}{\text{e}^{x}}=0$ d'où $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$.

b. Préciser le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$. On pourra faire un tableau.

Corrigé

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\text{e}^{-x}>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $-8x+10$.

$-8x+10\geqslant 0 \iff -8x \geqslant -10 \iff x\leqslant \dfrac{-10}{-8} \iff x\leqslant \dfrac{5}{4}$.

c. En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Corrigé

$f\left(\dfrac{5}{4}\right)=8\text{e}^{-\frac{5}{4}}$

d. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$.

Corrigé

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=0 \iff (8x-2)\text{e}^{-x}=0 \iff 8x-2=0 \text{~car~} \text{e}^{-x}\neq 0$ donc $x=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :

En utilisant ces résultats :

a. Donner l'expression de $f''$, fonction dérivée seconde de la fonction $f$.

Corrigé

La seconde ligne permet donc de calculer $f''(x)$ : $f''(x)=(8x-18)\text{e}^{-x}$.

b. Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion dont on donnera la valeur exacte de l'abscisse.

Corrigé

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f''(x)$ a le même signe que $8x-18$. Elle s'annule donc et change de signe pour $x=\dfrac{18}{8} = \dfrac{9}{4}$. La courbe représentative de la fonction $f$ va donc admettre un point d'inflexion d'abscisse $x = \dfrac{9}{4}$.
Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l'entreprise fabrique chaque jour $x$ milliers de grille-pains (où $x$ est un nombre réel de l'intervalle $[0~;~5]$), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d'euros, par la fonction $f$ définie par :

\[f(x)=(8x-2)\mathrm{e}^{-x}\]

a. Quelle quantité de grille-pains l'entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal ?

Corrigé

D'après le tableau des variations, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=\dfrac{5}{4} = 1,25$.

Le bénéfice sera donc maximum pour $1250$ grille-pains.

b. Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?

On donnera une valeur approchée du résultat à l'euro près.

Corrigé

Nous avons vu que $f\left(\dfrac{5}{4}\right)=8\text{e}^{-\frac{5}{4}}$.

Le bénéfice maximum sera donc de $8\text{e}^{-\frac{5}{4}}\times {100000} \approx {229204}$ euros.

Exercice 3 - Une position (6 points)

On considère le cube $\text{ABCDEFGH}$ et les points $\text{I}$ et $\text{J}$ milieux respectifs des segments $\text{[AB]}$ et $\text{[CG]}$. On se place dans le repère $\left(\text{A}; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

Donner sans justifications les coordonnées des points $\text{B}$, $\text{F}$, $\text{H}$, $\text{I}$ et $\text{J}$.

Corrigé

$\text{B}\left(1;0;0\right)$,$\text{F}\left(1;0;1\right)$,$\text{H}\left(0;1;1\right)$,$\text{I}\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)$,$\text{J}\left(1;1;\dfrac{1}{2}\right)$.
Démontrer que les droites $\text{(BH)}$ et $\text{(IJ)}$ ne sont pas sécantes.

Corrigé

Méthode 1 D'après 1., on a $\overrightarrow{\text{BI}} \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\0\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{\text{BJ}} \begin{pmatrix}0\\1\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{BH}} \begin{pmatrix}-1\\1\\1\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ On cherche donc $(x;y) \in \mathbb{R}^2$ tels que $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$

Or il n'existe pas de valeur $y$ telle que $y \times 1=1$ et $y \times \dfrac{1}{2}=1$

$\Rightarrow \overrightarrow{\text{BH}}=x\overrightarrow{\text{BI}}+y\overrightarrow{\text{BJ}}$ n'admet pas de solution.

Le point $\text{B}$ étant commun aux trois vecteurs et les droites $\text{(BH)}$ et $\text{(IJ)}$ n'étant pas parallèles, elles ne sont pas non plus sécantes.

Méthode 2

Si $\text{(BH)}$ et $\text{(IJ)}$ sont sécantes, alors $\text{B}$, $\text{H}$, $\text{I}$ et $\text{J}$ sont coplanaires. Or les plans $\text{(BCJ)}$ et $\text{(ADH)}$ sont parallèles, donc le plan $\text{(BIJ)}$ coupe $\text{(ADH)}$ suivant une droite parallèle à $\text{(BJ)}$. Comme $\text{A}$ appartient à $\text{(BI)}$ donc à $\text{(BIJ)}$, on devrait avoir $\text{(BJ)}$ parallèle à $\text{(AH)}$ ce qui est clairement faux.
On note $\text{K}$ le point d'intersection du plan $\text{(FIJ)}$ et de la droite $\text{(BH)}$.

a. Justifier qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{\text{FK}} = a \overrightarrow{\text{FI}} + b\overrightarrow{\text{FJ}}$.

Corrigé

$\text{K}$ étant le point d'intersection du plan $\text{(FIJ)}$ et de la droite $\text{(BH)}$, les points $\text{F}$, $\text{K}$, $\text{I}$ et $\text{J}$ sont coplanaires.

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{FI}}$ et $\overrightarrow{\text{FJ}}$ n'étant pas colinéaires, ils forment une base du plan $\text{(FIJ)}$, et il existe bien deux réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{\text{FK}} = a \overrightarrow{\text{FI}} + b\overrightarrow{\text{FJ}}$.

b. En déduire que les coordonnées du point $\text{K}$ sont $\text{K}\left(1-\dfrac{a}{2}; b;1-a-\dfrac{b}{2}\right)$

Corrigé

On calcule $\overrightarrow{\text{FK}}\begin{pmatrix}x_K-1\\y_K-0\\z_K-1\end{pmatrix}= a \overrightarrow{\text{FI}} \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\0\\-1\end{pmatrix} + b\overrightarrow{\text{FJ}} \begin{pmatrix}0\\1\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$

Soit $\begin{pmatrix}x_K-1\\y_K-0\\z_K-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{a}{2}\\0\\-a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\b\\-\dfrac{b}{2}\end{pmatrix}$ et donc $x_K=-\dfrac{a}{2}+1$, $y_K=b$ et $z_K=-a-\dfrac{b}{2}+1$

D'où $\text{K}\left(1-\dfrac{a}{2}; b;1-a-\dfrac{b}{2}\right)$

c. Donner une représentation paramétrique de la droite $\text{(BH)}$.

Corrigé

On a $\text{B}(1;0;0)$ et $\overrightarrow{\text{BH}}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$

D'où une représentation paramétrique de la droite $\text{(BH)}$:

\[\left\{ \begin{array}{cc} x=1-t\\y=t\\z=t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R}\]

d. Déduire de ce qui précède les coordonnées du point $\text{K}$.

Corrigé

On cherche à déterminer $t$, $a$ et $b$ tels que :

\[\left\{ \begin{array}{c} 1-\dfrac{a}{2}=1-t\\b=t\\1-a-\dfrac{b}{2}=t \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} t=\dfrac{a}{2}\\b=t\\1-2t-\dfrac{t}{2}=t \end{array} \right.\]

La troisième ligne nous donne l'équation $1-2t-\dfrac{t}{2}=t \Rightarrow t=\dfrac{2}{7}$

D'où $\text{K} \left(\dfrac{5}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{2}{7} \right)$
a. Justifier que les droites $\text{(FK)}$ et $\text{(IJ)}$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $\text{L}$.

Corrigé

D'après 3.a $\text{(FK)}$ et $\text{(IJ)}$ sont coplanaires.

De plus les vecteurs $\overrightarrow{\text{FK}} \begin{pmatrix} -\dfrac{2}{7} \\ \dfrac{2}{7} \\ -\dfrac{5}{7} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{IJ}} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ 1 \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les droites $\text{(FK)}$ et $\text{(IJ)}$ sont sécantes.

On a $\text{F}\left(1;0;1\right)$ et $\overrightarrow{\text{FK}} \begin{pmatrix} -\dfrac{2}{7} \\ \dfrac{2}{7} \\ -\dfrac{5}{7} \end{pmatrix}$. D'où $\text{(FK)}: \left\{ \begin{array}{c} 1-\dfrac{2}{7}t \\ \dfrac{2}{7}t \\ 1-\dfrac{5}{7}t \end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}$.

et on a $\text{I}\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)$ et $\overrightarrow{\text{IJ}} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ 1 \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$. D'où $\text{(IJ)}: \left\{ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}s \\ s \\ \dfrac{1}{2}s \end{array}\right., \quad s \in \mathbb{R}$.

On recherche ensuite l'intersection de $\text{(FK)}$ et $\text{(IJ)}$ en résolvant:

\[\left\{ \begin{array}{c} 1-\dfrac{2}{7}t=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}s \\ \dfrac{2}{7}t=s \\ 1-\dfrac{5}{7}t=\dfrac{1}{2}s \end{array}\right.\]

\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} 1-s=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}s \\ \dfrac{2}{7}t=s \\ 1-\dfrac{5}{7}t=\dfrac{1}{7}t \end{array}\right.\]

\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}s \\ \dfrac{2}{7}t=s \\ 1=\dfrac{6}{7}t \end{array}\right.\]

\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} s=\dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{7}t=s \\ t=\dfrac{7}{6} \end{array}\right.\]

En remplaçant $s$ par $\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\text{(IJ)}$ on obtient $\text{L}\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{6}\right)$

b. Déterminer la position du point $\text{L}$ sur le segment $\text{[IJ]}$.

Corrigé

$s=\dfrac{1}{3}$. Le point $\text{L}$ est donc au tiers du segment $\text{[IJ]}$ en partant de $\text{I}$.

	A	B	C	D
\(1\)	\(n\)	\(u_n\)	\(v_n\)	\(w_n\)
\(2\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(3\)	\(1\)	\(0,8500\)	\(0,0500\)	\(0,1000\)
\(4\)	\(2\)	\(0,7225\)	\(0,0750\)	\(0,2025\)
\(5\)	\(3\)	\(0,6141\)	\(0,0849\)	\(0,3010\)
\(6\)	\(4\)	\(0,5220\)	\(0,0859\)	\(0,3921\)
\(7\)	\(5\)	\(0,4437\)	\(0,0819\)	\(0,4744\)
\(8\)	\(6\)	\(0,3771\)	\(0,0754\)	\(0,5474\)
\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
\(20\)	\(18\)	\(0,0536\)	\(0,0133\)	\(0,9330\)
\(21\)	\(19\)	\(0,0456\)	\(0,0113\)	\(0,9431\)
\(22\)	\(20\)	\(0,0388\)	\(0,0096\)	\(0,9516\)