Devoir Analyse 2024-2025
Un soin particulier sera apporté à la qualité de la rédaction.
Le barème est donné à titre indicatif.
L'usage de la calculatrice est autorisé
Exercice 1
Partie A
Soit \(p\) la fonction définie sur l'intervalle \([-3~;~4]\) par :
-
Déterminer les variations de la fonction \(p\) sur l'intervalle \([-3~;~4]\).
Corrigé
\(x \mapsto p(x)\) est une fonction polynomiale donc dérivable sur \(\mathbb{R}\)
On a \(p'(x)=3x^2-6x+5\)
C'est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta=36-4 \times 3 \times 5 \Rightarrow \Delta=-24\)
\(p'(x)\) est donc du signe de \(3\) sur \([-3;4]\) soit positive.
La fonction \(x \mapsto p(x)\) est par conséquent croissante sur \([-3;4]\).
-
On admet que l'équation \(p(x) = 0\) admet sur \(\mathbb{R}\) une unique solution \(\alpha \approx -0,2\).
Donner le tableau de signes de la fonction \(p\) sur l'intervalle \([-3~;~4]\).
Corrigé
Si \(p\) est croissante et qu'elle s'annule en \(\alpha\), on peut établir le tableau du signe de \(p(x)\):
Partie B
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([-3~;~4]\) par :
On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
-
a. Déterminer la dérivée de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-3~;~4]\).
Corrigé
\(x \mapsto f(x)\) est un quotient de fonctions dérivables sur \([-3;4]\), et \(1+x^2\) ne s'annule pas sur \([-3;4]\), donc \(f\) est dérivable sur \([-3;4]\).
\(f\) est de la forme \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=e^x\) et \(v(x)=1+x^2\) soit \(u'(x)=e^x\) et \(v'(x)=2x\)
Pour tout \(x\) de \([-3;4]\), on a donc \(f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\)
\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(1+x^2)e^x-2xe^x}{(1+x^2)^2}\)
\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(1+x^2)^2}\)
\(\Rightarrow f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}\) pour \(x \in [-3;4]\).
b. Justifier que la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.
Corrigé
Avec la dernière écriture, il est clair que \(f'(1)=0\) donc la courbe représentative de \(f\) admet bien une tangente horizontale au point d'abscisse \(1\).
c. Donner une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(x=0\).
Corrigé
On a \(f(0)=\dfrac{e^0}{1+0}=1\) et \(f'(0)=\dfrac{1 \times (-1)^2}{(1+0)^2}=1\)
Par conséquent une équation de la tangente en \(0\) à \(C_f\) est \(T_0:y=f'(0)(x-0)+f(0)=x+1\)
Soit \(\boxed{T_0:y=x+1}\)
-
Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe \(\mathcal{C}_f\) comme profil d'un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.
a. D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
Corrigé
D'après le graphique, il semble que la fonction passe de convexe à concave puis à nouveau convexe. Dans ces conditions, la courbe admettrait donc bien deux points d'inflexions (d'abscisses \(0\) et \(1\) approximativement)
b. On admet que la fonction \(f''\), dérivée seconde de la fonction \(f\), a pour expression pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([-3~;~4]\) :
\[f''(x) = \dfrac{p(x)(x - 1)\text{e}^x}{\left(1 + x^2\right)^3}\]où \(p\) est la fonction définie dans la partie A.
En utilisant l'expression précédente de \(f''\), répondre à la question : le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? Justifier.
Corrigé
Dans l'expression donnée de \(f''(x)\), on a \(e^x>0\), et \((1+x^2)^3>0\), le signe de \(f''(x)\) est donc celui de \(p(x)(x-1)\). On peut alors construire le tableau du signe de \(f''(x)\).
La fonction \(f''\) s'annulant deux fois en changeant de signe, on peut affirmer que ce toboggan assure de bonnes sensations.
Exercice 2
Dans chaque cas, calculer la limite demandée et en déduire la présence éventuelle d'une asymptote à la courbe.
-
\(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow + \infty}} x^2+2-\text{e}^{x}\)
Corrigé
\(\lim\limits_{x \to +\infty}x^2+2-e^x=\lim\limits_{x \to +\infty}x^2\left(1+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{e^x}{x^2}\right)\)
Or \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2}{x^2}=0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{x^2}=+\infty\) (Propriété sur les croissances comparées)
Par somme, on a donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}1+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{e^x}{x^2}=-\infty\)
De plus \(\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\infty\)
Par produit, cela implique \(\lim\limits_{x \to +\infty}x^2+2-e^x=\lim\limits_{x \to +\infty}x^2\left(1+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{e^x}{x^2}\right)=-\infty\).
-
\(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow - \infty}}\text{e}^{\frac{x}{x+1}}\)
Corrigé
On pose \(X=\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\)
On a \(\lim\limits_{x \to -\infty}1+\dfrac{1}{x}=1\), par inverse \(\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}=1\)
De plus \(\lim\limits_{X \to 1}e^X=e\)
Par composée, on obtient \(\lim\limits_{x \to -\infty}e^{\frac{x}{x+1}}=e\).
La courbe représentative de la fonction \(x \mapsto e^{\dfrac{x}{x+1}}\) admet une asymptote horizontale d'équation \(y=e\) en \(-\infty\).
-
\(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow -1 }}\text{e}^{\frac{x}{x+1}}\)
Corrigé
Ici on a deux limites à calculer :
\(\lim\limits_{\substack{x \to -1^-}}\text{e}^{\frac{x}{x+1}}\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to -1^+ }}\text{e}^{\frac{x}{x+1}}\)
On commence par la limite à gauche:
On a \(x<-1 \Rightarrow x+1<0\) d'où \(\lim\limits_{x \to -1^-}1+{x}=0^-\)
De plus, \(\lim\limits_{x \to -1}{x}=-1\)
Par quotient, on a donc \(\lim\limits_{x \to -1^-}\dfrac{x}{x+1}=+\infty\)
et \(\lim\limits_{X \to +\infty}e^X=+\infty\)
Par composée, on a \(\lim\limits_{x \to -1^-}e^{\dfrac{x}{x+1}}=+\infty\)
La courbe représentative de la fonction \(x \mapsto e^{\dfrac{x}{x+1}}\) admet donc une asymptote verticale d'équation \(x=-1\).
Pour la limite à droite:
On a \(x>-1 \Rightarrow x+1>0\) d'où \(\lim\limits_{x \to -1^+}1+{x}=0^+\)
De plus, \(\lim\limits_{x \to -1}{x}=-1\)
Par quotient, on a donc \(\lim\limits_{x \to -1^+}\dfrac{x}{x+1}=-\infty\)
et \(\lim\limits_{X \to -\infty}e^X=0y\)
Par composée, on a \(\lim\limits_{x \to -1^+}e^{\dfrac{x}{x+1}}=0\)