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Devoir Analyse 2012-2013

Un soin particulier sera apporté à la qualité de la rédaction.

Le barème est donné à titre indicatif, il évoluera forcément.

Durée:1h50

Exercice 1 (8 points)

On appelle \(C_g\)  la représentation graphique de la fonction \(g\) .

  1. Soit la fonction \(h\)  définie sur \(I=]2;+\infty [\)  par :

    \[h(x)=x^3-12x+3.\]

    a. Donner en justifiant le tableau des variations de \(h\)  sur \(I\) .

    b. Démontrer que l'équation \(h(x)=0\)  admet une unique solution \(x_0{\in}I\) .

    c. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de \(x_0\) au centième.

  2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(I=]2;+\infty [\)  par :

    \[g(x)=\dfrac{2x^3-3}{4-x^2}.\]

    a. Calculer les limites de \(g\)  aux bornes de \(I\) . En déduire d'éventuelle asymptote dont il faut préciser l'équation.

    b. Démontrer que, pour \(x\)  de \(I\) , \(g\)  est dérivable et \(g'(x)=\dfrac{-2x \times h(x)}{(4-x^2)^2}\) .

    c. Donner une équation cartésienne de la tangente à \(C_g\) en \(x=4\) .

    d. Étudier les variations de la fonction \(g\)  sur \(I\) .

  3. Montrer que \(g(x_0)=-3x_0\) . En déduire un encadrement de \(g(x_0)\) .

  4. a. Démontrer que \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g(x)+2x=0\) . Interprétez graphiquement ce résultat.

    b. Étudier la position relative de la droite \((d)\)  d'équation \(y=-2x\)   et de la courbe \(C_g\).

Exercice 2 (2,5 points)

  1. \(f\)  est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\left\{\begin{matrix}-x^2+m\text{ }\text{si}\text{ }x\leqslant 3\\-2x-1\text{ }\text{si}\text{ }x>3\end{matrix}\right.\)  avec \(m\)  un nombre réel.

    Déterminer les valeurs de \(m\)  possibles pour que la fonction \(f\) soit continue sur \(\mathbb{R}\).

  2. Déterminer la (ou les) réponse(s) correcte(s) en justifiant.

    La fonction \(h\)  est continue sur \([0\mathrm ;+\infty [\).

    \(h\) peut être définie par les expressions suivantes :

    a) \(h(x)=\dfrac 1 x\)

    b) \(h(x)=x(x-3)\)

    c) \(h(x)=\dfrac 1{x^2-2x+1}\)

Exercice 3 (7 points)

Soit la fonction \(f(x)=x+\sqrt{x^2-1}\)  et \(C_f\)  sa courbe représentative dans \(\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)\) repère orthonormé d'unité \(2\) cm.

  1. Vérifier que \(f\)  est définie sur \(D=]-\infty \mathrm ;-1]\cup [1\mathrm ;+\infty [\)  et montrer que pour tout \(x{\in}D\) : \(f(x) \times f(-x)=-1\)  (E)

  2. Étudier la limite de \(f\)  en \(+\infty\) , puis déduire de (E) celle de \(f\)  en \(-\infty\) .

    En déduire d'éventuelles asymptotes à la courbe en précisant leurs équations.

  3. Montrer que \(f'(x)\)  a le même signe que \(f(x)\) .

    En déduire les variations de \(f\)  sur \(]1\mathrm ;+\infty [\) , puis sur \(]-\infty \mathrm ;-1[\) .

  4. Montrer que la droite \((\Delta )\) , d'équation \(y=2x\) , est asymptote à \(C_f\)  en \(+\infty\) . On pourra, éventuellement, à nouveau utiliser (E).

  5. Étudier la dérivabilité de \(f\)  en \(1\)  en utilisant la définition de la dérivabilité. Quelle interprétation graphique peut-on faire ?

  6. Tracer les courbes \(C_f\)  et \((\Delta )\) .

Exercice 4 (3 points)

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse :

  1. Une suite convergente est bornée.

  2. Une suite bornée est convergente.

  3. \((u_n)\)  et \((v_n)\)  sont convergentes.

    Si \(u_n-v_n\)  tend vers \(0\) , alors \((u_n)\)  et \((v_n)\)  ont la même limite.

  4. Si pour tout \(n\geqslant 10\) : \(\left|u_n-3\right|\leqslant \dfrac 1{n^2}\)  alors \((u_n)\) converge vers \(3\) .

Exercice 1 (8 points)

  1. a. \(h\) ,fonction polynomiale, est dérivable sur \(\mathbb{R}\) donc sur l'intervalle \(I\) .

    \(h'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)\) . Sur \(I\) , \(x-2\)  et \(x+2\)  sont des facteurs positifs ce qui donne le tableau suivant et la fonction \(h\)  strictement croissante sur \(I\) :

    \(h(2)=8-24+3=-13\)  et pour la limite en l'infini :

    Par somme, \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(1-\dfrac{12}{x^2}+\dfrac 3{x^3}\right)=1\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^3=+\infty\) .

    Par produit , \(\lim\limits_{x\rightarrow \;+\;\infty }x^3\left(1-\dfrac{12}{x^2}+\dfrac 3{x^3}\right)=+\infty\) donc \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }h(x)=+\infty\) .

    b. On a que \(h\)  est continue car dérivable et strictement croissante sur \(I\) .

    Or \(0{\in}]-13\mathrm ;+\infty [\)  qui est l'intervalle image. Donc, par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution \(x_0{\in}I\)   telle que \(h(x_0)=0\) .

    c. Un encadrement de \(x_0\)  au centième est : \(3,33<x_0<3,34\) .

  2. a. Pour \(x{\neq}0\) , \(g(x)=\dfrac{2x^3-3}{4-x^2}=\dfrac{2x-\dfrac 3{x^2}}{\dfrac 4{x^2}-1}\) . Par différence, on a : \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac 4{x^2}-1=-1\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }2x-\dfrac 3{x^2}=+\infty\)  . Par quotient, on a : \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g(x)=-\infty\) . Il n'y a donc pas d'asymptote horizontale en \(+\infty\) . Par somme, on a \(\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}2x^3-3=13\)

    Et \(x>2\)  soit \(x^2>4\)  soit \(x^2-4>0\)  soit \(4-x^2<0\) donc \(4-x^2\)  est négatif ce qui donne : \(\lim _{x\rightarrow 2^+}4-x^2=0^-\) . Par quotient, on a : \(\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}g(x)=-\infty\) ce qui prouve que la courbe \(C_g\)  admet une asymptote verticale d'équation \(x=2\) .

    b. Pour \(x\)  de \(I\) , \(g\)  est dérivable comme quotient de deux fonctions polynomiales et car \(4-x^2{\neq}0\)  sur \(]2\mathrm ;+\infty [\) .

    Donc \(g'(x)=\dfrac{(2x^3-3)'(4-x^2)-(2x^3-3)(4-x^2)'}{(4-x^2)^2}=\dfrac{6x^2(4-x^2)+2x(2x^3-3)}{(4-x^2)^2}\)  

    Soit \(g'(x)=\dfrac{-2x^4+24x^2-6x}{(4-x^2)^2}=\dfrac{-2.x.h(x)}{(4-x^2)^2}\).

    c. Soit \(y=g'(4)(x-4)+g(4)\)  une équation cartésienne de la tangente à \(C_g\)  en \(x=4\)  ce qui donne : \(y=-\dfrac{19}{18}(x-4)-\dfrac{125}{12}\)  soit \(y=-\dfrac{19}{18}x-\dfrac{223}{36}\) .

    d. Comme le dénominateur est positif sur \(I\)  et \(-2x\)  est négatif sur \(I\) , \(g'(x)\)  est du signe opposé à celui de \(h(x)\) . On a donc le tableau suivant :

  3. \(h(x_0)=0\)  donc \(-3=x_0^3+12x_0\)  donc \(g(x_0)=\dfrac{2x_0^3+(x_0^3-12x_0)}{4-x_0^2}=\dfrac{-3x_0(4-x_0^2)}{4-x_0^2}\)  ce qui donne finalement, \(g(x_0)=-3x_0\) .

    \(3,33<x_0<3,34\)  donne \(-3\times 3,33>g(x_0)>-3\times 3,34\)  soit \(-9,99>g(x_0)>-10,02\) .

  4. a. \(g(x)+2x=\dfrac{2x^3-3}{4-x^2}+\dfrac{2x(4-x^2)}{4-x^2}=\dfrac{8x-3}{4-x^2}\)  soit \(g(x)+2x=\dfrac{8-\dfrac 3 x}{\dfrac 4 x-x}\)  pour \(x{\neq}0\) .

    Par différence, on a : \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }8-\dfrac 3 x=8\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac 4 x-x=-\infty\)  .

    Par quotient, on a : \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g(x)+2x=0\) .

    La droite d'équation \(y=-2x\)  est asymptote oblique à la courbe \(C_g\)  en \(+\infty\) .

    b. On a vu : \(g(x)+2x=\dfrac{8x-3}{4-x^2}\)  avec le dénominateur négatif sur \(I\) . Donc \(g(x)+2x\)  est du signe opposé de \(8x-3\)  soit du signe de \(3-8x\) . Or \(x>2\) , soit \(-8x<-16\)  soit \(3-8x<-13\)  soit négatif donc \(g(x)+2x<0\)  soit \(g(x)<2x\) . Donc la droite  \((d)\)  d'équation \(y=-2x\)   est au-dessus de la courbe \(C_g\)  sur \(I\) .

Exercice 2 (2,5 points)

  1. Pour que \(f\)  soit continue en \(3\) , on doit avoir \(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}f(x)=f(3)\) . On a \(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}-2x-1=-7\)  (par somme et produit) et \(f(3)=-9+m\) . Or \(-9+m=-7\)  \(\Leftrightarrow\) \(m=2\) Donc \(m=2\)  répond aux conditions de l'énoncé.

  2. \(x \mapsto \dfrac 1 x\)  n'est pas définie en \(0\) , donc a) n'est pas correcte.

    \(x \mapsto x(x-3)\)  est une fonction polynomiale donc continue sur \([0\mathrm ;+\infty [\) , b) est correcte.

    \(\dfrac 1{x^2-2x+1}=\dfrac 1{(x-1)^2}\)  Donc \(x \mapsto \dfrac 1{x^2-2x+1}\)  n'est pas définie en \(1\) . c) n'est pas correcte.

Exercice 3 (8 points)

  1. \(f\)  est définie pour \(x^2-1\geqslant 0\)  donc \((x-1)(x+1)\geqslant 0\) . \(x^2-1\)  étant un trinôme du second degré avec \(a=1\)  positif, \(x^2-1\)  est positif sur \(]-\infty \mathrm ;-1]\cup [1\mathrm ;+\infty [\) , donc \(f\)  est bien définie sur \(D\) .

    Calculons: \(f(x).f(-x)=(x+\sqrt{x^2-1})(-x+\sqrt{(-x)^2-1})=(x+\sqrt{x^2-1})(-x+\sqrt{x^2-1})=x^2-1-x^2=-1\)

  2. On a \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^2=+\infty\)  et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }-1=-1\) , par somme, \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^2-1=+\infty\) .

    \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^2-1=+\infty\)  et \(\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\sqrt X=+\infty\) , par composée, \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x^2-1}=+\infty\) .

    par somme, on a donc \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x+\sqrt{x^2-1}=+\infty\) .

    on a \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)\) = \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(-x)\) et \(f(x)\)  positif strictement sur \([1\mathrm ;+\infty [\)  par somme de quantités positives. D'après (E), \(f(x).f(-x)=-1\)  \(\Leftrightarrow\) \(f(-x)=\dfrac{-1}{f(x)}\)

    On a \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty\)  et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }-1=-1\) , par quotient, \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(-x)=0\) .

    D'où \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=0\) .

    On peut déduire que \(f\)  admet la droite d'équation \(y=0\)  pour asymptote en \(-\infty\) .

  3. \(x^2-1\)  est positif sur \(D\)  et strictement positif sur \(]-\infty \mathrm ;-1[\cup ]1\mathrm ;+\infty [\) .

    \(f\)  est donc dérivable sur \(]-\infty \mathrm ;-1[\cup ]1\mathrm ;+\infty [\)  par somme de fonctions dérivables.

    Pour tout \(x{\in}\) \(]-\infty \mathrm ;-1[\cup ]1\mathrm ;+\infty [\) , \(f'(x)=1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2-1}}\) .

    \(\sqrt{x^2-1}\)  étant positif sur \(]-\infty \mathrm ;-1[\cup ]1\mathrm ;+\infty [\) , \(f'(x)\)  a le même signe que \(f(x)\) .

    \(f\)  étant positive sur \(]1\mathrm ;+\infty [\)  (d'après 2) ), \(f\)  est croissante sur \(]1\mathrm ;+\infty [\)  (d'après 3) ).

    Déterminons le signe de \(f\)  sur \(]-\infty \mathrm ;-1[\) :

    \(x^2>x^2-1\)  \(\Rightarrow\) \(\sqrt{x^2}>\sqrt{x^2-1}\)  \(\Rightarrow\) \(-x>\sqrt{x^2-1}\)  \(\Rightarrow\) \(0>x+\sqrt{x^2-1}\) .

    \(f\)  est négative sur \(]-\infty \mathrm ;-1[\) , donc décroissante.

  4. On calcule \(f(x)-2x=\sqrt{x^2-1}-x=\dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}=\dfrac{-1}{f(x)}\) .

    On a \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }-1=-1\)  et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty\) , par quotient, on a \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)-2x=0\) .

    \(\Delta\) est donc bien asymptote à \(C_f\)  en \(+\infty\) .

  5. On a, avec \(h>0\) : \(\dfrac{f(1+h)-f(1)} h=\dfrac{1+h+\sqrt{(1+h)^2-1}-1} h=\dfrac{h+\sqrt{h^2+2h}} h=\dfrac{h^2-h^2-2h}{h(h-\sqrt{h^2+2h})}=-\dfrac 2{h-\sqrt{h^2+2h}}\) .

    On a \(\lim\limits_{h\rightarrow 0}2=2\)  et \(\lim\limits_{h\rightarrow 0}h-\sqrt{h^2+2h}=0\)  (par somme et composée), par quotient, \(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)} h=+\infty\)  et \(f\)  n'est pas dérivable en 1.

    Graphiquement, la tangente en 1 est verticale.

Exercice 4 (3,5 points)

  1. Voir le cours. L'affirmation est VRAIE.

  2. \(u_n=(-1)^n\)  est une suite bornée mais n'est pas convergente. L'affirmation est FAUSSE.

  3. Supposons que \((u_n)\)  converge vers \(l\)  et \((v_n)\)  converge vers \(l'\)

    \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_n-v_n=l-l'\) , par différence. Donc \(l-l'=0\) , si les deux suites convergent vers un nombre fini, alors \((u_n)\)  et \((v_n)\)  ont la même limite. L'affirmation est VRAIE.

  4. \(\left|u_n-3\right|\leqslant \dfrac 1{n^2}\)  \(\Rightarrow\) \(-\dfrac 1{n^2}\leqslant u_n-3\leqslant \dfrac 1{n^2}\)  soit \(3-\dfrac 1{n^2}\leqslant u_n\leqslant \dfrac 1{n^2}+3\) on a \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac 1{n^2}\) = \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }-\dfrac 1{n^2}\) =0

    D'après le théorème de la somme et celui d'encadrement, on a \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_n=3\)   

    L'affirmation est VRAIE.