Devoir sur les variables aléatoires et la trigonométrie

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

Le barème est donné à titre indicatif.

Durée : 68 min

Exercice 1 (3 points)

On considère la variable aléatoire \(X\) dont la loi de probabilité est la suivante:

\(x_i\)	1	4	10
\(P(X=x_i)\)	0.6	0.3	0.1

1. Calculer l'espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\) de \(X\)

   Corrigé

   \(E(X)=1 \times 0.6+4 \times 0.3+10 \times 0.1\)

   \(\phantom{E(X)}=0.6+1.2+1=2.8\)

   \(\phantom{E(X)}=2.8\)

   \(V(X)=1^2 \times 0.6+4^2 \times 0.3+10^2 \times 0.1-2.8^2\)

   \(\phantom{V(X)}=0.6+4.8+10-7.84\)

   \(\phantom{V(X)}=15.4-7.84\)

   \(\phantom{V(X)}=7.56\)

2. Calculer \(P(|X-E(X)|\geqslant 2)\)

   Corrigé

   \(|X-E(X)| \geqslant 2 \Leftrightarrow |X-2.8| \geqslant 2 \Leftrightarrow X \leqslant 0.8 \text{ou} X \geqslant 4.8\)

   D'après la loi de probabilité de \(X\), on a donc \(|X-E(X)| \geqslant 2 \Leftrightarrow X=10\)

   Or \(P(X=10)=0.1\)

   \(\Rightarrow P(|X-E(X)| \geqslant 2)=0.1\)

3. a. Soit \(\delta>0\). Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychef relative à la variable \(X\)

   b. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychef pour \(\delta=2\) et comparer le résultat obtenu à celui de la question 2.

   Corrigé

   a. \(P(|X-E(X)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}\)

   b. \(P(|X-E(X)| \geqslant 2) \leqslant \dfrac{7.56}{2^2} \Leftrightarrow P(|X-E(X)| \geqslant 2) \leqslant 1.89\)

   Une probabilité étant toujours inférieure ou égale à 1, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychef n'apporte ici rien. On a obtenu bien mieux avec un calcul direct.

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Exercice 2 (4.5 points)

Jihane et Thomas vont participer à un quiz télévisé de 100 questions portant sur l'économie et la géographie.

Jihane répondra aux 50 questions d'économie et Thomas aux 50 questions de géographie.

Après plusieurs semaines d'entraînement, on constate que le score obtenu aux questions est donné par une variable aléatoire :

\(\bullet\) \(J\), d'espérance 44 et d'écart-type 3 pour celles d'économie;

\(\bullet\) \(T\), d'espérance 42 et d'écart-type 4 pour celles de géographie.

1. De Jihane ou de Thomas, qui fait preuve du plus de régularité ? Justifier.

   Corrigé

   La dispersion des réponses aux questions est moins grande chez Jihane (\(\sigma(J)<\sigma(T)\)).

2. a. Donner un argument permettant de penser que les variables aléatoires \(J\) et \(T\) sont indépendantes.

   b. Donner l'espérance de la variable aléatoire \(S=J+T\).

   c. En admettant que \(J\) et \(T\) sont indépendantes, montrer que l'écart-type de \(S\) vaut 5.

   Corrigé

   a. Les connaissances de l'un n'influent pas sur les connaissances de l'autre.

   b. \(E(S)=E(J)+E(T)=44+42=86\)

   c. On a \(V(S)=V(J)+V(T)=\sigma(J)^2+\sigma(T)^2=9+16=25\) (car \(J\) et \(T\) sont indépendantes).

   Par conséquent \(\sigma(S)=\sqrt{V(S)}=5\)

3. a. Minorer \(P(|S-86|<15)\).

   b. Pour gagner un lot, il faut répondre correctement à au moins 72 questions. Que peut-on penser de la probabilité que Jihane et Thomas gagnent un lot?

   Corrigé

   a. \(P(|S-E(S)|\geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(S)}{\delta^2} \Leftrightarrow P(|S-86|\geqslant 15) \leqslant \dfrac{25}{15^2} \Leftrightarrow P(|S-86|\geqslant 15) \leqslant \dfrac{1}{9}\)

   Or,

   \(P(|S-86|\geqslant 15) \leqslant \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow 1-P(|S-86|<15) \leqslant \dfrac{1}{9}\)

   \(\phantom{P(|S-86|\geqslant 15) \leqslant \dfrac{1}{9}} \Leftrightarrow -P(|S-86|<15) \leqslant \dfrac{1}{9}-1\)

   \(\phantom{P(|S-86|\geqslant 15) \leqslant \dfrac{1}{9}} \Leftrightarrow P(|S-86|<15) \geqslant \dfrac{8}{9}\)

   \(P(|S-86|<15)\) est donc minorée par \(\dfrac{8}{9}\).

   b. On a \(S \geqslant 72 \Leftrightarrow 100 \geqslant S \geqslant 72 \Leftrightarrow |S-86|\leqslant 14 \Leftrightarrow |S-86| < 15\)

   On a donc \(P(S \geqslant 72)\) minoré par \(\dfrac{8}{9}\).

   La probabilité qu'ils gagnent un lot est supérieure à 88%.

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Exercice 3 (6 points)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x) = e^{-|x|} \cos(x) \]

1. Montrer que \(f(x)\) est une fonction paire.

   Corrigé

   \(\mathbb{R}\) est bien un ensemble de nombre centré sur \(0\).

   On a \(|-x|=|x|\) et \(\cos(-x)=\cos(x)\) donc \(f(-x)=f(x)\).

   Par conséquent la fonction \(f\) est paire.

   Pour les questions qui suivent, on se limitera à l'étude de \(f\) sur \(\mathbb{R}^+\).

2. Déterminer la limite de \(f(x)\) en \(+\infty\). En déduire une interprétation graphique.

   Corrigé

   On a \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \Rightarrow -e^{-x} \leqslant \cos x \leqslant e^{-x} \Leftrightarrow -\dfrac{1}{e^{x}} \leqslant \cos x \leqslant \dfrac{1}{e^{x}}\)

   Or \(\lim\limits_{x \to +\infty}e^x=+\infty\) donc, par inverse, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{e^x}=\lim\limits_{x \to +\infty}-\dfrac{1}{e^x}=0\)

   D'après le théorème d'encadrement, on a donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0\)

   La Courbe représentative de la fonction \(f\) admet donc pour asymptote horizontale la droite d'équation \(y=0\) en \(+\infty\).

3. Calculer la dérivée \(f'(x)\) de la fonction \(f\).

   Corrigé

   \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car produit de fonctions dérivables sur \(]0;+\infty[\).

   On a, \(\forall x \in ]0;+\infty[, f'(x)=-e^{-x}\cos{x}-e^{-x}\sin{x}=-e^{-x}(\cos{x}+\sin{x})\)

4. En utilisant le cercle trigonométrique, étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\left[0;2\pi\right]\).

   Corrigé

   Sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), on a \(\sin x \geqslant 0\) et \(\cos x \geqslant 0\) donc \(f'(x) \leqslant 0\)

   Sur \(\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]\), on a \(\sin x \leqslant 0\) et \(\cos x \leqslant 0\) donc \(f'(x) \geqslant 0\)

   Par ailleurs, on a \(\cos \dfrac{3\pi}{4}=-\sin \dfrac{3\pi}{4}\) et \(\cos \dfrac{7\pi}{4}=-\sin \dfrac{7\pi}{4}\)

   Avec le cercle trigonométrique, on déduit donc \(f'(x)\) négative sur \(\left[0;\dfrac{3\pi}{4}\right]\), positive sur \(\left[\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\), et négative sur \(\left[\dfrac{7\pi}{4};2\pi\right]\)

5. En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^+\).

   Corrigé

   Les fonctions \(x \mapsto \cos x\) et \(x \mapsto \sin x\) sont \(2\pi\)-périodiques.

   Par conséquent \(f\) décroissante sur \(\left[2k\pi;\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\right]\), croissante sur \(\left[\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi;\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi\right]\), et décroissante sur \(\left[\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi;2(k+1)\pi\right]\), avec \(k \in \mathbb{N}\)

6. Calculer la dérivée seconde \(f''(x)\) et en déduire les intervalles sur lesquels \(f\) est convexe ou concave.

   Corrigé

   On calcule \(f''(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x)-e^{-x}(-\sin x+\cos x)=2e^{-x}\sin{x}\)

   \(f\) est donc convexe sur \([2k\pi;\pi+2k\pi]\) et concave sur \([\pi+2k\pi;2(k+1)\pi]\), avec \(k \in \mathbb{N}\).

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Exercice 4 (4.5 points)

Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue \(p\) est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de \(p\).

On effectue un prélèvement de \(n\) pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de \(n\) tirages indépendants avec remise.

On note \(X_n\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que \(\dfrac{X_n}{n}\) approche \(p\).

1. Quelle est la loi de \(X_n\) ? Son espérance ? Sa variance ?

   Corrigé

   Pour chaque pièce on considère l'expérience a deux issues : "La pièce est défectueuse" qui a une probabilité de \(p\).

   On répète \(n\) fois cette expérience de façon identique et indépendante.

   \(X_n\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).

   On a \(E(X_n)=np\) et \(V(X_n)=np(1-p)\).

2. Montrer que la fonction \(x \mapsto x(1-x)\) admet pour maximum \(\dfrac{1}{4}\).

   Corrigé

   Soit \(f(x)=x(1-x)\), il s'agit d'une fonction du second degré qui admet pour racines \(0\) et \(1\).

   Comme le terme de degré 2 a pour coefficient \(-1\), cette fonction admet un maximum en \(x=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

   Ce maximum vaut \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

3. Démontrer que, pour tout \(\varepsilon>0\):

   \[P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|\geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}\]
   Corrigé

   On écrit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychef:

   \(P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-E\left(\dfrac{X_n}{n}\right)\right|\geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{V\left(\frac{X_n}{n}\right)}{\varepsilon^2}\)

   \(\Leftrightarrow P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-\dfrac{1}{n}E(X_n)\right|\geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\frac{1}{n^2}V(X_n)}{\varepsilon^2}\)

   \(\Leftrightarrow P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-\dfrac{1}{n}np\right|\geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\frac{1}{n^2}np(1-p)}{\varepsilon^2}\)

   \(\Leftrightarrow P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|\geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\)

   avec \(p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}\) on obtient :

   \(P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|\geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}\)

4. En déduire une condition sur \(n\) pour que \(\dfrac{X_n}{n}\) soit une valeur approchée de \(p\) à \(10^{-2}\) près avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.

   Corrigé

   En prenant \(\varepsilon=10^{-2}\), on a:

   \(P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|\geqslant 10^{-2}\right) \leqslant \dfrac{1}{4n10^{-4}}\)

   \(\Leftrightarrow 1-P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|<10^{-2}\right) \leqslant \dfrac{1}{4n10^{-4}}\)

   \(\Leftrightarrow P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|<10^{-2}\right) \geqslant 1-\dfrac{1}{4n10^{-4}}\)

   On cherche donc une valeur de \(n\) telle que \(1-\dfrac{1}{4n10^{-4}}>\dfrac{95}{100}\)

   Soit \(\dfrac{1}{4n10^{-4}}<0.05 \Leftrightarrow 4n10^{-4}>20 \Leftrightarrow 4n10^{-4}>20 \Leftrightarrow n>50000\)