Baccalauréat Blanc Malraux 18 mai 2024

Exercice 1 - 5 points

A - Vrai ou faux ?

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.

Rappel des notations :

\(P_{1} \cap P_{2}\) désigne l'ensemble des points communs aux plans \(P_{1}\) et \(P_{2}\). L'écriture \(P_{1} \cap P_{2} = \emptyset\) signifie que les plans \(P_{1}\) et \(P_{2}\) n'ont aucun point commun.

1. Si \(P_{1},~P_{2}\) et \(P_{3}\) sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :

   \[P_{1} \cap P_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ P_{2} \cap P_{3} \neq \emptyset,\]

   alors on peut conclure que \(P_{1}\) et \(P_{3}\) vérifient : \(P_{1} \cap P_{3} \neq \emptyset\).

   Corrigé

   Faux: Si \(P_{1}\) et \(P_{3}\) sont parallèles et sécants à \(P_{2}\).

   On a \(P_{1} \cap P_{2} \neq \emptyset~~\text{ et }~~ P_{2} \cap P_{3} \neq \emptyset,\) mais \(P_{1} \cap P_{3} = \emptyset.\)

2. Si \(P_{1},~P_{2}\) et \(P_{3}\) sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :

   \[P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = \emptyset,\]

   alors on peut conclure que \(P_{1}, P_{2}\) et \(P_{3}\) sont tels que : \(P_{1} \cap P_{2}= \emptyset\) et \(P_{2} \cap P_{3}= \emptyset\).

   Corrigé

   Faux : En reprenant l'exemple précédent, on a bien : \(P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = \emptyset\) ( aucun point n'est commun au trois plans ) mais \(P_{1} \cap P_{2} \neq \emptyset~~\text{ et }~~ P_{2} \cap P_{3} \neq \emptyset,\)

3. Si \(P_{1},~P_{2}\) et \(P_{3}\) sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :

   \[P_{1} \cap P_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ P_{1} \cap P_{3} = \emptyset,\]

   alors on peut conclure que \(P_{2}\) et \(P_{3}\) vérifient : \(P_{2} \cap P_{3} \neq \emptyset.\)

   Corrigé

   Vrai : Si \(P_{1} \cap P_{3} = \emptyset\) alors les plans \(P_{1}\) et \(P_{3}\) sont parallèles.et comme \(P_{1} \cap P_{2} \neq \emptyset\) alors les plans \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont sécants.

   or si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre.

   donc les plans \(P_{2}\) et \(P_{3}\) sont sécants donc \(P_{2} \cap P_{3} \neq \emptyset.\)

4. Si \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont deux plans distincts et \(\mathcal{D}\) une droite de l'espace vérifiant :

   \[P_{1} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ P_{1} \cap P_{2} = \emptyset,\]

   alors on peut conclure que \(P_{2} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset\).

   Corrigé

   Faux : Si \(\mathcal{D}\) est incluse dans \(P_{1}\) et que \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont parallèles alors on a bien

   \(P_{1} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ P_{1} \cap P_{2} = \emptyset,\) mais \(P_{2} \cap \mathcal{D} = \emptyset\)

B - Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonormal de l'espace on considère les trois plans suivants :

\(\bullet \, P_{1}\) d'équation \(x + y -z = 0\),

\(\bullet \, P_{2}\) d'équation \(2x + y + z - 3 = 0\),

\(\bullet \, P_{3}\) d'équation \(x + 2y - 4z + 3 = 0\).

1. Justifier que les plans \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont sécants. On note \(\Delta\) leur intersection.

   Corrigé

   \(\overrightarrow{n_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \(P_{1}\) et \(\overrightarrow{n_2} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \(P_{2}\).

   Les coordonnées de \(\overrightarrow{n_1}\) et \(\overrightarrow{n_2}\) ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les deux plans ne sont pas parallèles. \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont donc sécants.

2. Montrer qu'une représentation paramétrique de \(\Delta\) est:

   \[\left\{\begin{matrix}x=-2t+3\\y=3t-3\\z=\phantom{3}t\end{matrix}\right. , t\in \mathbb{R}\]
   Corrigé

   Soit \(M\) un point de la droite de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l c c c c l} x&=&- 2t+3 &\\ y&=& 3t - 3 & , t \in \mathbb{R}\\ z&=& t &\\ \end{array}\right.\)

   alors il existe un réel \(t\) tel que \(M \left( \,- 2t+3 \,;\,3t - 3 \,;\, t\,\right)\)

   • \(x_M + y_M -z_M = - 2t+3 +3t - 3 -t =0\) donc \(M \in P_{1}\)

   • \(2x_M + y_M +z_M -3= 2 \times (- 2t+3) +3t - 3+t-3 =0\) donc \(M \in P_{2}\)

   donc \(M \in P_{1} \cap P_{2}\) donc \(M \in \Delta\)

   donc \(\left\{\begin{array}{l c c c c l} x&=&- 2t+3 &\\ y&=& 3t - 3 & , t \in \mathbb{R}\\ z&=& t &\\ \end{array}\right.\) est bien une représentation paramétrique de \(\Delta\).

3. En déduire la nature de l'intersection \(P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3}\).

   Corrigé

   Il y a que trois cas possibles : \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\) concourants en un seul point, \(P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = \emptyset\) ou \(P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = \Delta\)

   Soit \(M\) un point de \(\Delta\) alors il existe un réel \(t\) tel que \(M \left( \,- 2t+3 \,;\,3t - 3 \,;\, t\,\right)\)

   \(x_M + 2y_M - 4z_M + 3 = -2t + 3 + 2(3t - 3) - 4t + 3= -2t + 6t - 4t + 3 - 6 + 3 = 0\)

   donc \(M\) appartient à \(P_{3}\).

   donc \(P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = \Delta\)

Exercice 2 - 6 points

On considère plusieurs sacs de billes S\(_{1}\), S\(_{2}\), \(\ldots\) , S\(_{n}\), \(\ldots\) tels que :

• le premier, S\(_{1}\), contient 3 billes jaunes et 2 vertes;
• chacun des suivants, S\(_{2}\), S\(_{3}\), \(\ldots\) , S\(_{n}\), \(\ldots\) contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :

• on tire au hasard une bille dans S\(_{1}\) ;
• on place la bille tirée de S\(_{1}\) dans S\(_{2}\), puis on tire au hasard une bille dans S\(_{2}\) ;

• on place la bille tirée de S\(_{2}\) dans S\(_{3}\), puis on tire au hasard une bille dans S\(_{3}\);

• etc.

Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(E_{n}\) l'évènement : la bille tirée dans S\(_{n}\) est verte et on note \(p\left(E_{n}\right)\) sa probabilité.

1. Mise en évidence d'une relation de récurrence

   a. À l'aide des données de l'énoncé, recopier et compléter l'arbre pondéré suivant:

   

   Corrigé

   D'après l'énoncé, \(p\left(E_{1}\right) = \dfrac{2}{5}\), \(p_{E_{1}}\left(E_{2}\right) = \dfrac{3}{5}\) et \(p_{\overline{E_{1}}}\left(E_{2}\right) = \dfrac{2}{5}\)

   on en déduit l'arbre pondéré

   

   b. En déduire la valeur de \(p\left(E_{2}\right)\).

   Corrigé

   \(E_1\) et \(\overline{E_{1}}\) constituent une partition de l'univers.

   donc d' après la loi des probabilités totales :

   \(p\left(E_{2}\right) = p\left(E_{1} \cap E_{2} \right) + p\left(E_{1} \cap \overline{E_{2}} \right) = p\left(E_{1} \right) \times p_{E_{1}}\left(E_{2}\right) + p\left(\overline{E_{1}} \right) \times p_{\overline{E_{1}}}\left(E_{2}\right)\)

   donc \(p\left(E_{2}\right)= \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25} + \dfrac{6}{25} =\dfrac{12}{25} = 0,48\).

   c. De même, à l'aide d'un arbre pondéré, exprimer \(p\left(E_{n+1}\right)\) en fonction de \(p\left(E_{n}\right)\).

   Corrigé

   

   \(E_n\) et \(\overline{E_{n}}\) constituent une partition de l'univers.

   donc d'après la loi des probabilités totales :

   \(p\left(E_{n+1}\right) =\dfrac{3}{5} \times p\left(E_{n} \right)+ \dfrac{2}{5} \times \left(1 - p\left(E_{n} \right)\right) = \dfrac{3}{5} \times p\left(E_{n} \right) - \dfrac{2}{5} \times p\left(E_{n} \right) +\dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5} \times p\left(E_{n} \right)+ \dfrac{2}{5}.\)

2. Étude d'une suite

   On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par :

   \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{1}&=&\phantom{\dfrac{1}{5}u_{n} + }\dfrac{2}{5}\\ u_{n+1}&=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5}~~\text{pour tout }~n \geqslant 1.\\ \end{array}\right.\]

   a. Démontrer par récurrence que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est majorée par \(\dfrac{1}{2}\).

   Corrigé

   Initialisation:

   \(u_{1} = \dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2}\) donc la propriété est initialisée pour \(n=1\)

   Hérédité:

   On suppose qu'il existe un entier \(k \geq 1\) tel que \(u_k \leq \frac{1}{2}\) , montrons que \(u_{k+1} \leq \frac{1}{2}\)

   \(u_{k} < \dfrac{1}{2}\) donc \(\dfrac{1}{5}\,u_{k} < \dfrac{1}{10}\) donc \(\dfrac{1}{5}\,u_{k} + \dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{5}\) soit \(u_{k+1} < \dfrac{5}{10}\) donc \(u_{k+1} < \dfrac{1}{2}\).

   donc la propriété est héréditaire.

   Conclusion:

   La propriété est initialisée pour \(n=1\) et héréditaire donc d'après le principe du raisonnement par récurrence, on peut affirmer que pour tout \(n \geqslant 1,\: u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\).

   b. Démontrer que \(\left(u_{n}\right)\) est croissante.

   Corrigé

   \(u_{n + 1} - u_{n} = \dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5} - u_{n} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{5}u_{n}= \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2} - u_{n} \right)\).

   or \(\forall\,n \leq 1\) , \(u_{n}\leqslant \dfrac{1}{2}\) donc \(\forall\,n \leq 1\) , \(u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0\). Donc la suite \(\left(u_{n}\right)\) est croissante

   c. Justifier que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente et préciser sa limite.

   Corrigé

   La suite \(\left(u_{n}\right)\) est croissante et majorée donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\).

   Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{5}\,x + \dfrac{2}{5}\) alors \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) ( car dérivable) et \(\forall\,n \leq 1\) , \(f\left(u_{n}\right)=u_{n+1}\)

   alors , comme \(\left(u_{n}\right)\) converge vers \(\ell\), d'après le théorème du point fixe, \(f\left(\ell\right)=\ell\)

   \(f(x)=x \iff \dfrac{1}{5} x + \dfrac{2}{5} =x \iff x+2=5x \iff 4x=2 \iff x= \dfrac{1}{2}\).

   donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{2}\)

3. Évolution des probabilités \(p\left(E_{n}\right)\)

   a. À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités \(p\left(E_{n}\right)\).

   Corrigé

   On remarque que \(u_{n} = p\left(E_{n}\right)\) et donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p\left(E_{n}\right) = \dfrac{1}{2}\).

   b. On souhaite déterminer la première valeur de \(n\) telle que \(u_n\) est une valeur approchée de sa limite avec une précision \(p\). Recopier et compléter le code:

   def inter(p):
       n=0
       u=0.4
       while ...:
           u = ...
           n = ...
       return n
   

   Corrigé

   def inter(p):
       n=0
       u=0.4
       while 0.5-u>p:
           u = 0.2*u+0.4
           n = n+1
       return n
   

Exercice 3 - 6 points

A - Étude d'une fonction

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]

On note \((\mathcal{C})\) sa représentation graphique dans un repère orthonormé \(\left(\text{O};~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\) du plan. On prendra \(4\) cm pour unité graphique.

1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.

   Corrigé

   \(f(x) = x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x}\).

   D'après le cours (croissances comparées) par produit et somme de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0\).

   \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (x + 1) = - \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty\), donc par produit de limites :

   \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\).

2. Étudier les variations de la fonction \(f\)

   Corrigé

   La fonction \(f\) est le produit de deux fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) : elle est donc définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x) = \text{e}^{-x} - (x + 1)\text{e}^{-x} = -x \text{e}^{-x}\) qui est du signe de \(- x\), puisque \(\text{e}^{-x} > 0\) quel que soit \(x \in \mathbb{R}\).

   La fonction est donc croissante sur \(\mathbb{R}^{-}\) et décroissante sur \(\mathbb{R}^{+}\).

   Le maximum est obtenu pour \(x = 0,~f(0) = 1 \times \text{e}^{-0} = 1\).

3. Dresser un tableau des variations de \(f\) le plus complet possible.

   Corrigé

   \[\begin{array}{|c|ccccr|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline & & & 1 & & \\ % ligne des "max" f(x) & &\nearrow & &\searrow & \\ % flèches & -\infty & & & & 0 \\ % ligne des "min" \hline \end{array}\]

B - Étude d'une famille de fonctions

Pour tout entier relatif \(k\), on note \(f_{k}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f_{k}(x) = (x +1)\text{e}^{kx}.\]

On note \(\mathcal{C}_{k}\) la courbe représentative de la fonction \(f_{k}\) dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas \(k = -1\) a été traité dans la partie A, car on a \(f_{-1} =f\) et \(\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}\).

1. Quelle est la nature de la fonction \(f_{0}\) ?

   Corrigé

   \(f_{0}\) est une fonction affine.

2. Déterminer les points d'intersection des courbes \(\mathcal{C}_{0}\) et \(\mathcal{C}_{1}\).

   Corrigé

   On résout \(f_0(x)=f_1(x)\) pour \(x \in \mathbb{R}\)

   \(f_0(x)=f_1(x) \Leftrightarrow x+1=(x+1)e^{x}\)

   \(\phantom{f_0(x)=f_1(x) } \Leftrightarrow 0=(x+1)e^{x}-(x+1)\)

   \(\phantom{f_0(x)=f_1(x) } \Leftrightarrow 0=(x+1)(e^{x}-1)\)

   \(\phantom{f_0(x)=f_1(x) } \Leftrightarrow x=-1\) ou \(e^x=1\)

   \(\phantom{f_0(x)=f_1(x) } \Leftrightarrow x=-1\) ou \(x=0\)

   Les points d'intersection de \(\mathcal{C}_{0}\) et \(\mathcal{C}_{1}\) sont donc les points de coordonnées \((-1;-1+1)\) et \((0;0+1)\) soit \((-1;0)\) et \((0;1)\).

3. Vérifier que, pour tout entier \(k\), ces points appartiennent à la courbe \(\mathcal{C}_{k}\).

   Corrigé

   On a \(f_k(-1)=(-1+1)\text{e}^{-k}=0\) et \(f_k(0)=(0+1)\text{e}^{0}=1\).

   Ces deux points appartiennent donc bien à toute courbe \(\mathcal{C}_{k}\) avec \(k\) un entier relatif.

4. Calculer \(f_{k}'(x)\) pour tout réel \(x\) et pour tout entier \(k\) non nul.

   En déduire le sens de variation de la fonction \(f_{k}\) suivant les valeurs de \(k\). (On distinguera les cas : \(k>0\) et \(k<0\).)

   Corrigé

   \(f_{k}\) est une famille de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) car produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).

   \(f_{k}\) est de la forme \(uv\) avec \(u(x)=x+1\) soit \(u'(x)=1\) et \(v(x)=\text{e}^{kx}\) soit \(v'(x)=k\text{e}^{kx}\).

   \(\forall x \in \mathbb{R}\) on a donc: \(f_{k}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\text{e}^{kx}+(x+1)k\text{e}^{kx}\)

   Soit \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f_{k}'(x)=(kx+k+1)\text{e}^{kx}\).

   On a \(\text{e}^{kx}>0\) donc \(f_{k}'(x)\) est du signe de \(kx+k+1\).

   Soit \(x_0\) tel que \(kx_0+k+1=0 \Leftrightarrow x_0=-1-\dfrac{1}{k}\)

   Si \(k>0\) alors \(x \mapsto (kx+k+1)\) est croissante, \(f_{k}'(x)\) est négative sur \(]-\infty;x_0[\) et positive sur \(]x_0;+\infty[\) donc \(f_{k}\) est décroissante sur \(]-\infty;x_0[\) et croissante sur \(]x_0;+\infty[\).

   Si \(k<0\) alors \(x \mapsto (kx+k+1)\) est décroissante, \(f_{k}'(x)\) est positive sur \(]-\infty;x_0[\) et négative sur \(]x_0;+\infty[\) donc \(f_{k}\) est croissante sur \(]-\infty;x_0[\) et décroissante sur \(]x_0;+\infty[\).

C - Calculs d'aires

1. Déterminer en \(\text{cm}^2\) l'aire A sous la courbe \(\mathcal{C}_{0}\) sur l'intervalle \([0;3]\).

   Corrigé

   \(f_0\) étant une fonction affine, la figure plane délimitée par les droites d'équations \(x=0\), \(x=3\), \(y=0\) et \(y=x+1\) est un trapèze.

   \(A=\dfrac{(\text{Petite base}+\text{Grande base}) \times \text{hauteur}}{2}\)

   \(A=\dfrac{(f_0(0)+f_0(3))\times 3}{2}=\dfrac{15}{2} ~\text{u.a.}\)

   D'où \(A=\dfrac{15}{2} \times 16=120 \text{cm}^2\)

   Soit \(\lambda\) un réel strictement positif. La fonction \(f\) est celle définie dans la partie A.

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer ce nombre : \(\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} f(t)\:\text{d}t\).

   Corrigé

   \(\left\{\begin{array}{l c l}u(t)&=&t+1\\v'(t)&=&\text{e}^{-t}\\\end{array}\right.\) d'où \(\left\{\begin{array}{l c l}u'(t)&=&1\\v(t)&=&-\text{e}^{-t}\\\end{array}\right.\)

   Toutes ces fonctions sont dérivables donc continues sur \([0~;~\lambda]\), on peut donc intégrer par parties :

   \(\mathcal{A}(\lambda) = \left[- (t+1)\text{e}^{-t} \right]_{0}^{\lambda} + \displaystyle\int_{0}^{\lambda} \text{e}^{-t}\:\text{d}t = \left[- (t+1)\text{e}^{-t} - \text{e}^{-t}\right]_{0}^{\lambda} = \left[- (t+2)\text{e}^{-t}\right]_{0}^{\lambda} =\)

   \(-(\lambda + 2)\text{e}^{-\lambda} + 2 = 2 - (\lambda + 2)\text{e}^{-\lambda}\).

3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \mathcal{A}(\lambda)\). Interpréter graphiquement le résultat.

   Corrigé

   Comme \(\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \text{e}^{-\lambda} = 0,{}\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \lambda \text{e}^{-\lambda} = 0,~\lim_{\lambda \to + \infty}\mathcal{A}(\lambda) = 2\)

   Graphiquement, cela signifie que l'aire comprise entre la courbe \((\mathcal{C})\) et les axes du repère vaut \(2 \text{u.a.}\)

Exercice 4 - 3 points

1. Résoudre l'équation différentielle

   \[(E_1)~~: \quad y' = 2y + 8\]
   Corrigé

   L'équation différentielle \((E_1):y' = 2y + 8\) est de la forme \(y'=ay+b\) avec \(a=2\) et \(b=8\).

   La solution constante de \((E_1)\) est \(x \mapsto - \dfrac{8}{2} = -4\)
   et les solutions de \(y' = 2y\) sont les fonctions de la forme : \(x \mapsto C\text{e}^{2x}\) avec \(C \in \mathbb{R}\).

   donc les solutions de \((E_1)\) sont les fonctions de la forme \(x \mapsto C\text{e}^{2x} - 4\) avec \(C \in \mathbb{R}\)

2. Démontrer que si \(h\) est solution de \((E_1)\) alors la fonction \(g\) définie par \(g(x) = {x}{h(x)}\) est solution de l'équation différentielle \((E_2)\).

   \[(E_2)\:\: : \qquad xf'(x)- (2x + 1)f(x) = 8x^2.\]
   Corrigé

   Soit \(h\) une solution de \((E_1)\) , alors \(\forall x \in \mathbb{R}\) , \(h'(x) =2\,h(x)+8\)

   Soit \(g\) la fonction définie et dérivable sur \(] \,0 \,;\,+\infty\,[\) par \(g(x)=x\,h(x)\).

   Avec la formule dérivation d'un produit on obtient :

   \(g'(x)=1 \times h(x) + x \times h'(x)=h(x) + x\times ( 2\,h(x)+8 )\) car \(h\) est solution de \((E_1)\) donc \(g'(x)=(1+2x) h(x)+8x\)

   et donc \(xg'(x)- (2x + 1)g(x) =x \left[ (1+2x) h(x)+8x \right]- (2x + 1) \times x\,h(x)\)

   donc \(xg'(x)- (2x + 1)g(x)=x\,h(x) +2x^2 \,h(x) +8 x^2-2x^2 \,h(x) -x\,h(x)=8 x^2\)

   donc \(g\) est bien une solution de \((E_2)\)

3. On admet que \(h\) est solution de \((E_1) \Leftrightarrow g(x)=xh(x)\) est solution de \((E_2)\). Déterminer la forme générale des solutions de l’équation différentielle \((E_2)\).

   Corrigé

   \((E_1) \iff g:x \mapsto xh(x)\) est solution de \((E_2)\) donc les solutions de \((E_2)\) sont de la forme \(x \mapsto Cx\text{e}^{2x} - 4x\) avec \(C \in \mathbb{R}\)

4. Existe-t-il une fonction \(f\) solution de l'équation différentielle \((E_2)\) dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A\((\ln 2~;~0)\) ? Si oui la préciser.

   Corrigé

   Soit \(f\) une solution de \((E_2)\) alors \(f\) est de la forme \(f(x) = Cx\text{e}^{2x} - 4x\).

   donc \(f\left(\ln (2)\right) = C \times \ln (2) \times \text{e}^{2\ln (2)} - 4\ln (2) = \ln (2) \times \left[ C \text{e}^{\ln (4)} - 4 \right ] = \ln (2) \times \left[ 4 C - 4 \right ]\)

   et donc \(f\left(\ln (2)\right) = 0 \iff 4C - 4 = 0 \iff C = 1.\)

   Il existe bien une solution de \((E_2)\) qui s'annule en \(\ln (2)\), c'est la fonction \(x \longmapsto x\text{e}^{2x} - 4x.\)