Baccalauréat Blanc Malraux 18 mai 2024

Exercice 1 - 5 points

A - Vrai ou faux ?

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.

Rappel des notations :

\(P_{1} \cap P_{2}\) désigne l'ensemble des points communs aux plans \(P_{1}\) et \(P_{2}\). L'écriture \(P_{1} \cap P_{2} = \emptyset\) signifie que les plans \(P_{1}\) et \(P_{2}\) n'ont aucun point commun.

Si \(P_{1},~P_{2}\) et \(P_{3}\) sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :

\[P_{1} \cap P_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ P_{2} \cap P_{3} \neq \emptyset,\]

alors on peut conclure que \(P_{1}\) et \(P_{3}\) vérifient : \(P_{1} \cap P_{3} \neq \emptyset\).
Si \(P_{1},~P_{2}\) et \(P_{3}\) sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :

\[P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3} = \emptyset,\]

alors on peut conclure que \(P_{1}, P_{2}\) et \(P_{3}\) sont tels que : \(P_{1} \cap P_{2}= \emptyset\) et \(P_{2} \cap P_{3}= \emptyset\).
Si \(P_{1},~P_{2}\) et \(P_{3}\) sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :

\[P_{1} \cap P_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ P_{1} \cap P_{3} = \emptyset,\]

alors on peut conclure que \(P_{2}\) et \(P_{3}\) vérifient : \(P_{2} \cap P_{3} \neq \emptyset\).
Si \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont deux plans distincts et \(\mathcal{D}\) une droite de l'espace vérifiant :

\[P_{1} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ P_{1} \cap P_{2} = \emptyset,\]

alors on peut conclure que \(P_{2} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset\).

B - Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonormal de l'espace on considère les trois plans suivants :

\(\bullet \, P_{1}\) d'équation \(x + y -z = 0\),

\(\bullet \, P_{2}\) d'équation \(2x + y + z - 3 = 0\),

\(\bullet \, P_{3}\) d'équation \(x + 2y - 4z + 3 = 0\).

Justifier que les plans \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont sécants. On note \(\Delta\) leur intersection.
Montrer qu'une représentation paramétrique de \(\Delta\) est:

\[\left\{\begin{matrix}x=-2t+3\\y=3t-3\\z=\phantom{3}t\end{matrix}\right. , t\in \mathbb{R}\]
En déduire la nature de l'intersection \(P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3}\).

Exercice 2 - 6 points

On considère plusieurs sacs de billes S\(_{1}\), S\(_{2}\), \(\ldots\) , S\(_{n}\), \(\ldots\) tels que :

le premier, S\(_{1}\), contient 3 billes jaunes et 2 vertes;
chacun des suivants, S\(_{2}\), S\(_{3}\), \(\ldots\) , S\(_{n}\), \(\ldots\) contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :

on tire au hasard une bille dans S\(_{1}\) ;
on place la bille tirée de S\(_{1}\) dans S\(_{2}\), puis on tire au hasard une bille dans S\(_{2}\) ;
on place la bille tirée de S\(_{2}\) dans S\(_{3}\), puis on tire au hasard une bille dans S\(_{3}\);
etc.

Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(E_{n}\) l'évènement : la bille tirée dans S\(_{n}\) est verte et on note \(p\left(E_{n}\right)\) sa probabilité.

Mise en évidence d'une relation de récurrence

a. À l'aide des données de l'énoncé, recopier et compléter l'arbre pondéré suivant:

b. En déduire la valeur de \(p\left(E_{2}\right)\).

c. De même, à l'aide d'un arbre pondéré, exprimer \(p\left(E_{n+1}\right)\) en fonction de \(p\left(E_{n}\right)\).
Étude d'une suite

On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l} u_{1}&=&\phantom{\dfrac{1}{5}u_{n} + }\dfrac{2}{5}\\ u_{n+1}&=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5}~~\text{pour tout }~n \geqslant 1.\\ \end{array}\right.\]

a. Démontrer par récurrence que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est majorée par \(\dfrac{1}{2}\).

b. Démontrer que \(\left(u_{n}\right)\) est croissante.

c. Justifier que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente et préciser sa limite.
Évolution des probabilités \(p\left(E_{n}\right)\)

a. À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités \(p\left(E_{n}\right)\).

b. On souhaite déterminer la première valeur de \(n\) telle que \(u_n\) est une valeur approchée de sa limite avec une précision \(p\). Recopier et compléter le code:
```
def inter(p):
    n=0
    u=0.4
    while ...:
        u = ...
        n = ...
    return n
```

Exercice 3 - 6 points

A - Étude d'une fonction

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]

On note \((\mathcal{C})\) sa représentation graphique dans un repère orthonormé \(\left(\text{O};~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\) du plan. On prendra \(4\) cm pour unité graphique.

Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
Étudier les variations de la fonction \(f\)
Dresser un tableau des variations de \(f\) le plus complet possible.

B - Étude d'une famille de fonctions

Pour tout entier relatif \(k\), on note \(f_{k}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f_{k}(x) = (x +1)\text{e}^{kx}.\]

On note \(\mathcal{C}_{k}\) la courbe représentative de la fonction \(f_{k}\) dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas \(k = -1\) a été traité dans la partie A, car on a \(f_{-1} =f\) et \(\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}\).

Quelle est la nature de la fonction \(f_{0}\) ?
Déterminer les points d'intersection des courbes \(\mathcal{C}_{0}\) et \(\mathcal{C}_{1}\).
Vérifier que, pour tout entier \(k\), ces points appartiennent à la courbe \(\mathcal{C}_{k}\).
Calculer \(f_{k}'(x)\) pour tout réel \(x\) et pour tout entier \(k\) non nul.

En déduire le sens de variation de la fonction \(f_{k}\) suivant les valeurs de \(k\). (On distinguera les cas : \(k>0\) et \(k<0\).)

C - Calculs d'aires

Déterminer l'aire sous la courbe \(\mathcal{C}_{0}\) sur l'intervalle \([0;3]\).

Soit \(\lambda\) un réel strictement positif. La fonction \(f\) est celle définie dans la partie A.
À l'aide d'une intégration par parties, calculer ce nombre : \(\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} f(t)\:\text{d}t\).
Déterminer \(\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \mathcal{A}(\lambda)\). Interpréter graphiquement le résultat.

Exercice 4 - 3 points

Résoudre l'équation différentielle

\[(E_1)~~: \quad y' = 2y + 8\]
Démontrer que si \(h\) est solution de \((E_1)\) alors la fonction \(g\) définie par \(g(x) = {x}{h(x)}\) est solution de l'équation différentielle \((E_2)\).

\[(E_2) \qquad xf'(x)- (2x + 1)f(x) = 8x^2.\]
On admet que \(h\) est solution de \((E_1) \Leftrightarrow g(x)=xh(x)\) est solution de \((E_2)\). Déterminer la forme générale des solutions de l’équation différentielle \((E_2)\).
Existe-t-il une fonction \(f\) solution de l'équation différentielle \((E_2)\) dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A\((\ln 2~;~0)\) ? Si oui la préciser.