Bac blanc 04/02/2025

Exercice 1 (3 points)

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie en justifiant soigneusement. Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à $10^{-3}$ près.

Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est égale à $0,2$. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu'il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à :

a. $0,4 \quad \quad$ b. $0,04\quad \quad$ c. $0,1024\quad \quad$ d. $0,2048$

Corrigé

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui achètent le produit. On considère l'expérience a deux issues possibles : Le client achète ou non le produit. On répète cette expérience 5 fois de façon identique et indépendante.

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,2$

$p(X=2)=\ds\binom{5}{2}p^2(1-p)^3=10\times 0,2^2\times 0,8^3= \nombre{0,2048}$. (réponse d).
Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l'a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu'il ait eu son permis du premier coup est égale à :

a. $0,043 \quad \quad$ b. $0,275 \quad \quad$ c. $0,217 \quad \quad$ d. $0,033$

Corrigé

Soit $F$ l'évènement "l'élève choisi est une fille" et $P$ l'évènement "l'élève choisi a obtenu son permis".

La situation correspond à l'arbre de probabilité :

$F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers donc d'après la loi des probabilités totales :

$p(P)=p(P \cap F)+p(P\cap \overline{F})$ donc $p(P)=p_{F}(P)\times p(F)+p_{\overline{F}}(P)\times p(\overline{F})$

donc $p(P)=\dfrac{1}{10}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{40}=0,275$. Réponse b.
Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à :

a. $0,100 \quad \quad$ b. $0,091 \quad \quad$ c. $0,111 \quad \quad$ d. $0,25$

Corrigé

$p_{P}(\overline{F})=\dfrac{p(\overline{F} \cap P)}{p(P)}=\dfrac{\dfrac{1}{40}}{\dfrac{11}{40}}=\dfrac{1}{11}\approx 0,091$ à 0,001 près. Réponse b.
Un tireur sur cible s'entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30 centimètres. On admet que la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à :

a.$\dfrac{5}{9} \quad \quad$ b. $\dfrac{9}{14} \quad \quad$ c. $\dfrac{4}{7} \quad \quad$ d. $\dfrac{1}{3}$

Corrigé

On calcule le quotient $\dfrac{\text{Cas favorables}}{\text{Cas possibles}}$ et donc le rapport entre l'aire de la zone la plus extérieure et l'aire totale.

$p=\dfrac{\pi\times 30^2-\pi\times 20^2}{\pi\times 30^2}=\dfrac{900\pi-100\pi}{900\pi}=\dfrac{500\pi}{900\pi}=\dfrac{500}{900}=\dfrac{5}{9}$. Réponse a.
Le représentant de commerce de la question 1 va voir 10 clients supplémentaires l’après midi. On considère la fonction ci-dessous nommée proba d'argument k écrite en langage Python. La fonction binomiale(i,n,p) d’argument i,n et p renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
```
def proba(k):
    p=0
    for i in range(k+1):
        p = p + binomiale(i,15,0.2) 
    return p
```
La valeur arrondie à $10^{-4}$ renvoyée par l'instruction proba(5) sera:

a.$0,9389 \quad \quad$ b. $0,1032 \quad \quad$ c. $0,1642 \quad \quad$ d. $0,2048$

Corrigé

proba(5) permet de calculer $P(X \leqslant 5 )$ dans le cas où $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,2$.

Avec la calculatrice on trouve $P(X \leqslant 5 ) \approx 0,9389$. Réponse a.

Exercice 2 (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty ; 1[$ par : $f(x) = \dfrac{e^x}{x-1}$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] -\infty ; 1[$ .

On appelle $C_f$, sa courbe représentative dans un repère.

a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $1$.

b) En déduire une interprétation graphique.

Corrigé

a) $\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}}e^x = e^1=e$ et $\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}}x-1=0$ par inverse, on a donc $\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}} \dfrac{1}{x-1}=-\infty$ ( $x <1 \Leftrightarrow x-1<0$ )

Par produit $\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}}f(x) = -\infty$

b) La droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

Corrigé

$f(x)= e^x \times \dfrac{1}{x-1}$

$\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to -\infty}x-1 = -\infty$ d'où $\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x-1} = 0$

Par produit, on a donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$

$\Rightarrow$ la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ (pas demandé).
a) Déterminer la fonction dérivée $f'$ sur $] -\infty ; 1[$.

b) Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $] -\infty ; 1[$.

Corrigé

a) $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[$ comme quotient de fonctions dérivables sur $]-\infty;1[$

$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=e^x$ , $v(x)=x-1$ et $u'(x)=e^x$ , $v'(x)=1$ donc $f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$.

D'où :

$f'(x)=\dfrac{e^x\times (x-1)-1\times e^x}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}$

b) $\forall x \in ]-\infty ; 1[$, $x-2<0$ ; $e^x>0$ et $(x-1)^2>0$ donc $\forall x \in ]-\infty;1[$, $f'(x)<0$ donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 1[$.
On admet que pour tout réel $x$ de $] -\infty; 1[$, on a : $f''(x) = \dfrac{(x^2-4x+5)e^x}{(x-1)^3}$

a) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $] -\infty; 1[$.

b) Déterminer l'équation de la tangente $(T_0)$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $0$.

c) En déduire que, pour tout réel $x$ de $] -\infty ; 1[$, on a : $e^x \geqslant (-2x - 1)(x - 1)$.

Corrigé

a) $\forall x \in ]-\infty;1[$ , $e^x>0$ et $(x-1)^3<0$.

on pose $(E) : x^2-4x+5 =0$, c'est une équation du second degré, calculons son discriminant $\Delta$.

$\Delta=(-4)^2-4 \times 1 \times 5=-4<0$

On a $a=1 positif$ donc $\forall x \in \mathbb{R}$, $x^2-4x+5>0$.

Par conséquent, $\forall x \in ]-\infty;1[$, $f''(x)<0$ donc $f$ est concave sur $]-\infty;1[$.

b) $f(0)=\dfrac{e^0}{0-1}=-1$ et $f'(0)=\dfrac{(0-2) \times e^0}{(0-1)^2}=-2$

L'équation réduite de la tangente $(T_0)$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ soit $y=-2x-1$

c) $f$ est concave sur $]-\infty;1[$ donc $C_f$ est située au dessous de ses tangentes sur $]-\infty;1[$, en particulier $C_f$ est située au dessous de $(T_0)$.

Par conséquent, $\forall x \in ]-\infty;1[$, $f(x) \leqslant -2x-1 \Leftrightarrow \dfrac{e^x}{x-1} \leqslant -2x-1 \Leftrightarrow e^x \geqslant (-2x-1)(x-1)$ car $\forall x \in ]-\infty;1[$, $x-1<0$.
a) Justifier que l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $a$ sur $] -\infty ; 1[$.

b) À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $a$ d'amplitude $10^{-2}$.

Corrigé

a) $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$ et $\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}} f(x) = -\infty$ donc $-2 \in \left]\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}} f(x) ; \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) \right[$

de plus $f$ est continue ( car dérivable ) et strictement décroissante sur $] -\infty ; 1[$ donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $a$ sur $] -\infty ; 1[$.

b) À l'aide de la calculatrice, on trouve : $0,31 < a < 0,32$.

Exercice 3 (5 points)

L'espace est rapporté au repère orthonormé . On considère les points ${A}(3~;~0~;~6)$ et ${I}(0~;~0~;~6)$, et l'on appelle ${(D)}$ la droite passant par ${A}$ et ${I}$.

On appelle ${(P)}$ le plan d'équation $2y + z - 6 = 0$ et ${(Q)}$ le plan d'équation $y - 2z + 12 = 0$.

Démontrer que ${(P)}$ et ${(Q)}$ sont perpendiculaires.

Corrigé

Le plan $(P)$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\1 \end{pmatrix}$. Le plan $(Q)$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\-2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n'}= 0 \times 0 +2 \times 1 + 1 \times (-2)=0$, donc les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ sont orthogonaux. Les plans $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
Démontrer que l'intersection des plans ${(P)}$ et ${(Q)}$ est la droite ${(D)}$.

Corrigé

$2y_A + z_A - 6 = 2\times 0+6-6=0$ donc $A\in(P)$ et $y_A - 2 z_A + 12 = 0-12+12=0$ $A\in(Q)$ donc $A\in(P)\cap(Q)$

$2y_I + z_I - 6 = 2\times 0+6-6=0$ donc $I\in(P)$ et $y_I - 2z_I + 12 = 0-12+12=0$ $I\in(Q)$ donc $I\in(P)\cap(Q)$

Les plans $(P)$ et $(Q)$ étant perpendiculaires, leur intersection est une droite, c'est la droite $(AI)$ donc la droite $(D)$.
Démontrer que ${(P)}$ et ${(Q)}$ coupent l'axe $\left({O}~;~\overrightarrow{\jmath}\right)$ et déterminer les coordonnées des points ${B}$ et ${C}$, intersections respectives de ${(P)}$ et ${(Q)}$ avec l'axe $\left({O}~;~\overrightarrow{\jmath}\right)$.

Corrigé

Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de l'espace. $M$ appartient à l'axe $\left(O~;~\vec{j}\right)$ si et seulement si $x=0$ et $z=0$.

$B(0~;~y~;~0)$ appartient au plan $(P)$ si et seulement si $2y_B + z_B - 6 = 0 \iff 2y_B-6=0 \iff y_B=3$

Le plan $(P)$ coupe donc l'axe $\left(O~;~\vec{j}\right)$ au point $B(0~;~3~;~0)$.

$C(0~;~y~;~0)$ appartient au plan $(Q)$ si et seulement si $y_C -2 z_C +12 = 0 \iff y_C+12=0 \iff y_C=-12$

Le plan $(Q)$ coupe donc l'axe $\left(O~;~\vec{j}\right)$ au point $C(0~;~-12~;~0)$.
Démontrer qu'une équation du plan ${(T)}$ passant par ${B}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{{ AC }}$ est :

\[x + 4y + 2z - 12 = 0.\]

Corrigé

On a $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \\ -12 \\-6 \end{pmatrix}$ donc le plan $(T)$ a une équation cartésienne de la forme : $-3x-12y-6z+d=0$.

$B(0~;~3~;~0)\in(T)$, donc $-3x_B-12y_B-6z_B+d=0 \iff 0-12\times 3-0+d=0 \iff d = 36$.

Le plan $(T)$ a donc pour équation cartésienne $-3x - 12y- 6z+ 36 = 0$, ou encore, en simplifiant par $-3$: $x + 4y + 2z-12 = 0$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $({OA})$.

Démontrer que la droite $({OA})$ et le plan ${(T)}$ sont sécants en un point ${H}$ dont on déterminera les coordonnées.

Corrigé

La droite $(OA)$ passe par $O(0~;~0~;~0)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\6 \end{pmatrix}$

Une représentation paramétrique de $(OA)$ est donc: $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&3t\\y&=&0\qquad(t\in\mathbb{R})\\z&=&6t\end{array}\right.$.

Soit H le point d'intersection de la droite $(OA)$ et du plan $(T)$

$H \in (OA)$ donc il existe un réel $t$ tel que H$(3t~;~0~;~6t)$

$H \in (T)$ donc $x_H + 4y_H + 2z_H-12 = 0$

donc $3t +4 \times 0 + 2 \times 6t -12 =0 \iff 15t=12 \iff t=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$

donc $H\left(\dfrac{12}{5}~;~0~;~\dfrac{24}{5}\right)$
a) Montrer que les droites ${(AH)}$ et ${(BC)}$ sont perpendiculaires.

Corrigé

Les points $B$ et $H$ appartiennent au plan $(T)$ qui a pour vecteur normal $\overrightarrow{AC}$, donc $(BH)\perp(AC)$: le point $H$ appartient à la hauteur issue de $B$ du triangle $ABC$.

b) Que représente le point ${H}$ pour le triangle ${ABC}$ ? Justifier.

Corrigé

$\overrightarrow{AH} \begin{pmatrix} -\dfrac35 \\ 0 \\-\dfrac65 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 0 \\ -15 \\0 \end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ et $(AH) \perp (BC)$: le point $H$ appartient donc à la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$.

Le point $H$ appartient à deux hauteurs du triangle $ABC$, c'est donc l'orthocentre du triangle $ABC$.

Exercice 4 (6 points)

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par :

\[f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}\]

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[u_0 = 3 ; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\; u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

On admet que cette suite est bien définie.

a) Calculer $u_1$.

Corrigé

$u_1 = f\left(u_0\right) = \dfrac{2 + 9}{4 + 3} = \dfrac{11}{7}$.

b) Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0_;4].

Corrigé

La fonction $f$ est définie et dérivable sur [0_;4] et sur cet intervalle :

$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)= 2 + 3x$ et $v(x)=4 + x$ donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)= 3$ et $v'(x)=1$

$f'(x) = \dfrac{3\times(4 + x) - 1\times(2 + 3x)}{(4 + x)^2} = \dfrac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \dfrac{10}{(4 + x)^2}$

$\forall x \in [0~;~4]$ , $(4 + x)^2 \geqslant 0 $ donc $f'(x) \geqslant 0$ d'où $f$ est croissante sur $[0~;~4]$.

c) Montrer que pour tout entier naturel $n$,

\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3.\]

Corrigé

On pose :

\[P_n : 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3\]

Initialisation : $u_0=3$ et $u_1=\dfrac{11}{7}$ donc $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 3$ : $P_n$ est initialisée pour $n=0$ ;

Hérédité : On suppose $P_n$ vraie pour un rang $n$ donné, montrons qu'alors $P_{n+1}$ est vraie.

$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ et $f$ est croissante sur $[0~;~4]$

donc $f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(3)$

or $f(1) = \dfrac{5}{5} = 1$ ; $f\left(u_{n+1}\right)=u_{n+2}$ ; $f\left(u_{n}\right)=u_{n+1}$ et $f(3) = \dfrac{11}{7} \leqslant 3$,

donc $1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : $P_n$ est héréditaire.

Conclusion : $P_n$ est initialisée pour $n=0$ et est héréditaire donc d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$.
a) Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Corrigé

Pour tout entier $n$, $u_{n+1} \leqslant u_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. De plus pour tout entier $n$, $u_{n} \geqslant 1$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est minorée par $1$. D'après le théorème de convergence monotone on peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

b) On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ; montrer l'égalité:

\[\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}\]

Corrigé

Soit $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier $n$ , $u_{n+1} = f\left(u_n \right)$ et $f$ est continue sur $[0~;~4]$ ( car dérivable ). De plus $\left(u_n\right)$ converge. donc d'après le théorème du point fixe, $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell \iff \ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}$.

c) Déterminer la valeur de la limite $\ell$.

Corrigé

$\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}\iff \ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0 \iff ( \ell+2)(\ell-1)=0$.

$\Rightarrow$ $\ell=-2$ ou $\ell=1$ mais comme $\ell \in [1~;~3]$, la seule solution est $\ell = 1$.

$\Rightarrow$ $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$

Partie B

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :

\[v_0 = 0,1 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\; v_{n+1} = f\left(v_n\right).\]

On donne en $\textbf{Annexe, à rendre avec la copie}$, la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$, de la fonction $f$ et la droite $D$ d'équation $y = x$.

Placer sur l'axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sur l'$\textbf{annexe, à rendre avec la copie}$.

Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini ?

Corrigé

(Graphique à venir)

On peut conjecturer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et qu'elle a pour limite 1.
Montrer que pour tout entier naturel $n$,

\[1 - v_{n+1} = \left(\dfrac{2}{4 + v_n} \right) \left(1 - v_n\right).\]

Corrigé

$1 - v_{n+1} = 1 - \dfrac{2 + 3v_n}{4 + v_n} = \dfrac{4 + v_n - 2 - 3v_n}{4 + v_n}= \dfrac{2 - 2v_n}{4 + v_n} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n\right)$.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,

\[0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.\]

Corrigé

Soit $H_n$ : $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

Initialisation : pour $n = 0$, $1 - v_0 = 0,9$ et $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1$.

donc $0 \leqslant 1 - v_0 \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$ donc $H_n$ est initialisée pour $n=0$ ;

Hérédité : On suppose $H_n$ vraie pour un rang $n$ donné montrons qu'alors $H_{n+1}$

$0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \iff v_n \geqslant 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \geqslant 0 $ donc $4 + v_n \geqslant 4 \iff 0 \leqslant \dfrac{1}{4 + v_n} \leqslant \dfrac{1}{4} \iff 0 \leqslant \dfrac{2}{4 + v_n} \leqslant \dfrac{1}{2}$.

or $1 - v_{n+1} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n \right)$ donc $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n$ donc $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}$.

donc $H_n$ est héréditaire

Conclusion : $H_n$ est initialisée pour $n=0$ et est héréditaire donc d'après le principe de récurrence : pour tout naturel $n$, $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.

Corrigé

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$ ( $q^n$ avec $-1<q<1$ ) donc d'après le théorème d'encadrement $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1-v_n = 0$ donc, par somme, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 1$.