Bac Blanc 2020
Il s'agit de l'exercice sur les fonctions
6 points
Sujet Antilles Guyane Septembre 2018 modifié
On note \(\mathbb{R}\) l'ensemble des nombres réels.
Partie A
Soit \(f_3\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_3(x)=(x+3)\text e^{-x}\) .
La courbe représentative de \(f_3\) , notée \(\text C_3\) , est tracée dans un repère orthonormé.
Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus dans cette partie.
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Conjecturer les limites de \(f_3\) en \(-{\infty}\) et \(+{\infty}\) .
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Conjecturer le tableau des variations de \(f_3\) à l'aide du graphique.
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Soit \(\text T_3\) la tangente à la courbe \(\text C_3\) au point d'abscisse 0.
Tracer cette tangente sur le graphique, puis en conjecturer une équation par lecture graphique.
Partie B
Pour tout réel \(m\) , on note \(f_m\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:
Soit \(\text C_m\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
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Calculer les limites de \(f_m\) en \(-{\infty}\) et \(+{\infty}\) .
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On admet que \(f_m\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f'_m\) sa dérivée.
Montrer que, pour tout réel \(x\) , \(f'_m(x)=(-x-m+1)\text e^{-x}\) .
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En déduire les variations de \(f_m\) sur \(\mathbb{R}\).
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a) Pour tout réel \(m\) , on note \(\text T_m\) la tangente à la courbe \(\text C_m\) au point d'abscisse 0.
Démontrer que \(\text T_m\) a pour équation réduite \(y=(1-m)x+m\).
b) Démontrer que toutes les droites \(\text T_m\) passent par un même point dont on précisera les coordonnées.
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Étudier le signe de \(f_m(x)\) pour tout réel \(x\) .
Partie C
Cette question a pour but d'étudier les positions relatives de la courbe \(\text C_3\) et de sa tangente en 0, sur \([-1\mathrm ;+{\infty}[\) .
La fonction \(g\) , définie sur \([-1\mathrm ;+{\infty}[\), a pour expression:
On note :
- \(g'\) la fonction dérivée de \(g\) ;
- \(g''\) la dérivée de \(g'\) .
\(\quad\)
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Démontrer que: \(g''(x)=f_1(x)\).
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Justifier ligne par ligne la construction du tableau ci-dessous.
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En déduire que, sur \([-1\mathrm ;+{\infty}[\) , \(\text C_3\) est au-dessus de sa tangente en 0.
Partie A
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Graphiquement, on semble avoir \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_3(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f_3(x)=0\) .
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Conjecture du tableau de variations de \(f_3\).
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Tracé sur le graphique.
D'après ce tracé, il semble que l'on a \(\text T_3\) : \(y=-2x+3\)
Partie B : On a \(f_m(x)=(x+m)\text e^{-x}\) .
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\(\lim\limits_{x \to -\infty }\text e^{-x}\) =\(\lim\limits_{\text X \to +\infty }\text e^{\text X}\) = \(+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to -\infty }x+m=-\infty\) , par produit on a \(\lim\limits_{x \to -\infty }f_m(x)=-\infty\) .
On a \(f_m(x)=x\times \text e^{-x}+m\text e^{-x}\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty }\text e^{-x}\) = \(\lim\limits_{x\to +\infty }\frac 1{\text e^x}=0\) , donc par produit \(\lim\limits_{x\to +\infty }m\text e^{-x}=0\) .
On a \(x\times \text e^{-x}=\frac x{\text e^x}\) , or \(\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\text e^x} x=+\infty\) , donc par inverse, \(\lim\limits_{x\to +\infty }x\times \text e^{-x}=0\) .
Par produit, on a bien \(\lim\limits_{x\to +\infty }f_m(x)=0\) .
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\(f_m\) est dérivable et de la forme \(u\times v\) avec \(u(x)=x+m\) et \(v(x)=\text e^{-x}\) . D'où \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=-\text e^{-x}\) .
\(f'_m(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\text e^{-x}-(x+m)\text e^{-x}=(1-x-m)\text e^{-x}=(-x-m+1)\text e^{-x}\).
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\(\text e^{-x}>0\) sur \(\mathbb{R}\), \(f'_m(x)\) est donc du signe de \((-x-m+1)\) .
On résout \(-x-m+1\geqslant 0\) \(\Leftrightarrow\) \(-m+1\geqslant x\). \(f_m\) est donc croissante sur \(]-\infty \mathrm ;-m+1]\) et décroissante sur \(]-m+1\mathrm ;+\infty [\).
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a) \(\text T_m\) admet pour équation : \(y=f'_m(0)(x-0)+f_m(0) \Leftrightarrow\) \(\text T_m\) : \(y=(-m+1)x+m\).
b) On vérifie que \(\text A(1\mathrm ;1)\in \text T_m\) pour tout \(m\in \mathbb{R}\) .
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On a \(\text e^{-x}>0\) donc \(f_m\) est du signe de \((x+m)\) . D'où \(f_m\) est négative sur \(]-\infty \mathrm ;-m]\) et positive sur \([-m\mathrm ;+\infty [\).
Partie C
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La dérivée seconde de \(x \mapsto 2x-3\) est la fonction nulle.
On a déjà la forme de la dérivée de \(x \mapsto (x+m)\text e^{-x}\) qui est \(x \mapsto (-x-m+1)\text e^{-x}\)
\(\Rightarrow\) la dérivée de \(x \mapsto (x+3)\text e^{-x}\) est donc \(x \mapsto (-x-2)\text e^{-x}\)
\(\Rightarrow\) la dérivée de \(x \mapsto -(x+2)\text e^{-x}\) est donc \(x \mapsto -(-x-1)\text e^{-x}\)
On reconnaît ici la fonction \(f_1\) d'où \(g''(x)=(x+1)\text e^{-x}=f_1(x)\).
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Justification de la construction du tableau.
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On a \(g(x)=f_3(x)-\text T_3(x)\) où \(\text T_3(x)\) est la fonction affine associée à la droite d'équation \(y=-2x+3\) .
D'après le tableau précédent, \(g(x)>0\) sur \([-1\mathrm ;+\infty [\).
Ce qui implique \(\text C_3\) au dessus de \(\text T_3\) sur \([-1\mathrm ;+\infty [\) .