Bac Blanc Mathématiques 2025-26 - Spécialité

Exercice 1 (5 points)

Soit le pavé droit \(ABCDEFGH\) tel que \(AB = 3\) et \(AD = AE = 1\) représenté ci-dessous.

Soit le point \(I\) du segment \([AB]\) tel que \(\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AI}\) et le point \(M\) milieu du segment \([CD]\).

On se place dans le repère orthonormé \(\left(A ; \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)\).

1) Sans justifier, donner les coordonnées des points \(F\), \(H\) et \(M\).

Corrigé

• Les coordonnées du point \(F\) sont \(\left(3; 0; 1\right)\).
• Les coordonnées du point \(H\) sont \(\left(0; 1; 1\right)\).
• Les coordonnées du point \(M\) sont \(\left(\dfrac{3}{2}; 1; 0\right)\).

2) a) Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \((HMF)\).

Corrigé

Nous pouvons choisir les vecteurs suivants dans le plan \((HMF)\) :

• \(\overrightarrow{HM} = \left(\dfrac{3}{2} - 0; 1 - 1; 0 - 1\right) = \left(\dfrac{3}{2}; 0; -1\right)\)
• \(\overrightarrow{HF} = \left(3 - 0; 0 - 1; 1 - 1\right) = \left(3; -1; 0\right)\)

Ces deux vecteurs sont non colinéaires, car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

Calculons les produits scalaires :

• \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{HM} = (2)(\dfrac{3}{2}) + (6)(0) + (3)(-1) = 3 + 0 - 3 = 0\)
• \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{HF} = (2)(3) + (6)(-1) + (3)(0) = 6 - 6 + 0 = 0\)

Le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \((HMF)\), ce qui signifie qu'il est un vecteur normal au plan \((HMF)\).

b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan \((HMF)\) est : \(2x + 6y + 3z - 9 = 0\).

Corrigé

Sachant que \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \((HMF)\), une équation cartésienne du plan peut être écrite sous la forme :

\(2(x - x_0) + 6(y - y_0) + 3(z - z_0) = 0\)

où \((x_0, y_0, z_0)\) sont les coordonnées d'un point du plan. Nous pouvons choisir le point \(H\) de coordonnées \((0; 1; 1)\).

En substituant les coordonnées de \(H\) dans l'équation, nous obtenons :

\(2(x - 0) + 6(y - 1) + 3(z - 1) = 0\)

Ce qui se simplifie en :

\(2x + 6y - 6 + 3z - 3 = 0\)

\(2x + 6y + 3z - 9 = 0\)

c) Le plan \(P\) dont une équation cartésienne est \(5x + 15y - 3z + 7 = 0\) est-il parallèle au plan \((HMF)\) ? Justifier la réponse.

Corrigé

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Le vecteur normal du plan \(P\) est \(\vec{n_P}\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}\).

Nous devons vérifier si les vecteurs \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{n_P}\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}\) sont colinéaires.

Calculons les rapports des coordonnées :

• \(\dfrac{5}{2} = 2.5\)
• \(\dfrac{15}{6} = 2.5\)
• \(\dfrac{-3}{3} = -1\)

Les rapports ne sont pas tous égaux, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les plans \(P\) et \((HMF)\) ne sont pas parallèles.

3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((DG)\).

Corrigé

Les coordonnées du point \(D\) sont \((0; 1; 0)\) et les coordonnées du point \(G\) sont \((3; 1; 0)\).

Un vecteur directeur de la droite \((DG)\) est donné par \(\overrightarrow{DG} = \left(3 - 0; 1 - 1; 0 - 0\right) = (3; 0; 0)\).

Une représentation paramétrique de la droite \((DG)\) peut être écrite sous la forme :

\(\begin{cases} x = 3t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}\)

avec \(t \in \mathbb{R}\).

4) On appelle \(N\) le point d'intersection de la droite \((DG)\) avec le plan \((HMF)\). Déterminer les coordonnées du point \(N\).

Corrigé

Pour trouver les coordonnées du point \(N\), nous devons résoudre le système d'équations formé par la représentation paramétrique de la droite \((DG)\) et l'équation du plan \((HMF)\).

La représentation paramétrique de la droite \((DG)\) est : \(\begin{cases} x = 3t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}\)

L'équation du plan \((HMF)\) est : \(2x + 6y + 3z - 9 = 0\)

En substituant les coordonnées de la droite dans l'équation du plan, nous obtenons : \(2(3t) + 6(1) + 3(0) - 9 = 0\)

Ce qui se simplifie en : \(6t + 6 - 9 = 0\) \(6t - 3 = 0\) \(6t = 3\) \(t = \dfrac{1}{2}\)

En substituant \(t\) dans la représentation paramétrique de la droite, nous trouvons les coordonnées du point \(N\) :

• \(x = 3 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)
• \(y = 1\)
• \(z = 0\)

Ainsi, les coordonnées du point \(N\) sont \(\left(\dfrac{3}{2}; 1; 0\right)\).

5) Le point \(R\) de coordonnées \(\left(3 ; \dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right)\) est-il le projeté orthogonal du point \(G\) sur le plan \((HMF)\) ? Justifier la réponse.

Corrigé

Pour vérifier si le point \(R\) est le projeté orthogonal du point \(G\) sur le plan \((HMF)\), nous devons vérifier si le vecteur \(\overrightarrow{GR}\) est orthogonal au plan \((HMF)\).

Les coordonnées du point \(G\) sont \((3; 1; 0)\) et les coordonnées du point \(R\) sont \(\left(3; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}\right)\).

Le vecteur \(\overrightarrow{GR}\) est donné par : \(\overrightarrow{GR} = \left(3 - 3; \dfrac{1}{4} - 1; \dfrac{1}{2} - 0\right) = (0; -\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{2})\)

Nous avons déjà déterminé que le vecteur normal au plan \((HMF)\) est \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}\).

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Par conséquent, le vecteur \(\overrightarrow{GR}\) n'est pas orthogonal au plan \((HMF)\), ce qui signifie que le point \(R\) n'est pas le projeté orthogonal du point \(G\) sur le plan \((HMF)\).

Exercice 2 (5 points)

Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l'impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique.

On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d'être contrôlé est égale à \(p\).

Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l'amende est de cent euros.

Claude fraude systématiquement.

On définit le gain algébrique de Claude comme la différence entre le coût des billets qu'il aurait dû payer et le coût réel qu'il supporte (amendes).

Ainsi, pour un seul trajet :

Sans contrôle : gain = +10€ (économie d'un billet)

Avec contrôle : gain = -100€ (amende payée)

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Partie A : Étude sur deux trajets

Dans cette partie, on suppose que Claude effectue deux trajets.

On note :

• \(C_1\) l'événement "Claude est contrôlé au premier trajet"
• \(C_2\) l'événement "Claude est contrôlé au deuxième trajet"

1) Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :

2) Déduire de cet arbre la probabilité que Claude soit contrôlé :

a) aux deux trajets

Corrigé

\(P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) \times P(C_2) = p \times p = p^2\)

b) exactement une fois

Corrigé

\(P((C_1 \cap \overline{C_2}) \cup (\overline{C_1} \cap C_2)) = P(C_1 \cap \overline{C_2}) + P(\overline{C_1} \cap C_2) = p(1-p) + (1-p)p = 2p(1-p)\)

c) au moins une fois

Corrigé

\(P(C_1 \cup C_2) = P(C_1) + P(C_2) - P(C_1 \cap C_2) = p + p - p^2 = 2p - p^2\)

3) Montrer que l'espérance mathématique du gain algébrique de Claude sur ces deux trajets est égale à \(20-220p\).

Corrigé

L'espérance mathématique du gain algébrique de Claude sur ces deux trajets est donnée par la formule : \(E(G) = \sum_{i} g_i P(g_i)\), où \(g_i\) sont les différentes valeurs possibles du gain et \(P(g_i)\) sont les probabilités associées à ces gains.

Les différentes situations possibles sont :

• Claude n'est pas contrôlé sur les deux trajets : gain = +20€ (économie de 2 billets), probabilité = \((1-p)^2\)
• Claude est contrôlé une fois : gain = -90€ (économie d'un billet mais amende de 100€), probabilité = \(2p(1-p)\)
• Claude est contrôlé deux fois : gain = -200€ (amende de 200€), probabilité = \(p^2\)

Ainsi, l'espérance mathématique du gain algébrique de Claude est :

\(E(G) = 20(1-p)^2 + (-90)(2p(1-p)) + (-200)(p^2)\)

\(\Leftrightarrow E(G) = 20(1 - 2p + p^2) - 180p(1-p) - 200p^2\)

\(\Leftrightarrow E(G) = 20 - 40p + 20p^2 - 180p + 180p^2 - 200p^2\)

\(\Leftrightarrow E(G) = 20 - 220p\)

4) Quelle devrait être la valeur de \(p\) pour que, en moyenne, Claude ne réalise ni gain ni perte sur ces deux trajets ?

Corrigé

Pour que Claude ne réalise ni gain ni perte sur ces deux trajets, il faut que l'espérance mathématique du gain algébrique soit égale à zéro :

\(20 - 220p = 0\)

\(\Leftrightarrow 220p = 20\)

\(\Leftrightarrow p = \dfrac{20}{220} = \dfrac{1}{11}\)

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Partie B : Étude sur quarante trajets

Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d'un mois soit au total quarante trajets.

On suppose que Claude fraude toujours systématiquement, mais comme la compagnie envisage de contrôler 1 trajet sur \(20\), la probabilité pour Claude d'être contrôlé lors d'un trajet est \(\dfrac{1}{20}\).

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de trajets pour lesquels Claude est contrôlé au cours de cette période de quarante trajets.

1) Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

Corrigé

La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale car elle représente le nombre de succès (contrôles) dans un nombre fixe d'essais indépendants et identiques (quarante trajets), où chaque essai a deux issues possibles (être contrôlé ou ne pas être contrôlé) et la probabilité de succès est constante pour chaque essai.

Les paramètres de la loi binomiale sont : - \(n = 40\) (le nombre d'essais, c'est-à-dire le nombre de trajets) - \(p = \dfrac{1}{20}\) (la probabilité de succès, c'est-à-dire la probabilité d'être contrôlé lors d'un trajet)

Ainsi, \(X \sim \mathcal{B}(40, \dfrac{1}{20})\).

2) a) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\).

Corrigé

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) est donnée par la formule : \(E(X) = np\).

Ainsi, pour \(X \sim \mathcal{B}(40, \dfrac{1}{20})\), on a :

\(E(X) = 40 \times \dfrac{1}{20} = 2\)

Donc, en moyenne, Claude est contrôlé 2 fois au cours des quarante trajets.

b) Calculer les probabilités \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\) et \(P(X = 2)\).

Corrigé

Les probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) sont données par la formule : \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\), où \(\binom{n}{k}\) est le coefficient binomial.

Pour \(X \sim \mathcal{B}(40, \dfrac{1}{20})\), on calcule :

• \(P(X = 0) = \binom{40}{0} \left(\dfrac{1}{20}\right)^0 \left(1 - \dfrac{1}{20}\right)^{40} = 1 \times 1 \times \left(\dfrac{19}{20}\right)^{40}\)
• \(P(X = 1) = \binom{40}{1} \left(\dfrac{1}{20}\right)^1 \left(1 - \dfrac{1}{20}\right)^{39} = 40 \times \dfrac{1}{20} \times \left(\dfrac{19}{20}\right)^{39}\)
• \(P(X = 2) = \binom{40}{2} \left(\dfrac{1}{20}\right)^2 \left(1 - \dfrac{1}{20}\right)^{38} = 780 \times \left(\dfrac{1}{400}\right) \times \left(\dfrac{19}{20}\right)^{38}\)

c) Calculer, à \(10^{-4}\) près, la probabilité que Claude soit contrôlé au plus deux fois au cours des quarante trajets.

Corrigé

La probabilité que Claude soit contrôlé au plus deux fois est donnée par la somme des probabilités pour \(X = 0\), \(X = 1\) et \(X = 2\) :

\(P(X \leqslant 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0.6767\)

3) On note \(Y\) la variable aléatoire représentant le gain algébrique total réalisé par Claude sur l'ensemble des quarante trajets.

a) Justifier que \(Y=400-100X\).

Corrigé

Le gain algébrique total réalisé par Claude sur l'ensemble des quarante trajets peut être exprimé en fonction du nombre de trajets pour lesquels il est contrôlé, représenté par la variable aléatoire \(X\).

Pour chaque trajet, Claude réalise un gain de 10€ s'il n'est pas contrôlé et une perte de 100€ s'il est contrôlé. Ainsi, pour les 40 trajets, le gain total sans contrôle serait de \(40 \times 10 = 400\) euros. Cependant, pour chaque trajet contrôlé, il perd 100€, ce qui correspond à une perte totale de \(100X\) euros pour \(X\) trajets contrôlés.

Par conséquent, le gain algébrique total \(Y\) peut être exprimé comme la différence entre le gain total sans contrôle et la perte totale due aux contrôles :

\(Y = 400 - 100X\)

Ainsi, \(Y\) est une variable aléatoire affine de la variable aléatoire \(X\).

b) Calculer l'espérance mathématique de \(Y\).

On rappelle que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire affine de la forme \(aX + b\) est donnée par la formule : \(E(aX + b) = aE(X) + b\).

Corrigé

L'espérance mathématique de \(Y\) peut être calculée en utilisant la formule pour l'espérance d'une variable aléatoire affine :

\(E(Y) = E(400 - 100X) = 400 - 100E(X)\)

Nous avons déjà calculé que \(E(X) = 2\), donc :

\(E(Y) = 400 - 100 \times 2 = 400 - 200 = 200\)

Ainsi, l'espérance mathématique du gain algébrique total réalisé par Claude sur l'ensemble des quarante trajets est de 200 euros.

Exercice 3 (5 points)

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.

Partie 1 : appareil de la marque A

À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de marque A. On a représenté la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.

Par lecture graphique :

1) Donner le temps en heures, minutes au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.

Corrigé

En observant la courbe, on peut voir que la température maximale est atteinte au bout de 200 minutes soit 3 heures et 20 minutes.

2) Donner une valeur approchée, en heures, minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse 300 °C.

Corrigé

En observant la courbe, on peut voir que la température dépasse 300 °C de 100 minutes à 340 minutes, soit pendant 240 minutes, ce qui correspond à 4 heures.

Partie 2 : étude d'une fonction

Soit la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0 ; +\infty[\) par : \(g(t) = 10t \, e^{-0,01t} + 20\).

1) Déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).

Corrigé

On récrit \(g(t)\) sous la forme \(g(t)= 1000 \dfrac{0,01t}{e^{0,01t}} + 20\).

En posant \(x = 0,01t\), on a \(g(t) = 1000 \dfrac{x}{e^x} + 20\).

Par croissance comparée, on sait que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty\) d'où, par inverse, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0\).

Donc, par composée et produit, on a \(\lim\limits_{t \to +\infty} 1000 \dfrac{0,01t}{e^{0,01t}} = 0\).

Puis, par somme, on obtient \(\lim\limits_{t \to +\infty} g(t) = 20\).

2) a) Montrer que pour tout \(t \in [0 ; +\infty[\), \(g'(t) = (-0,1t + 10) e^{-0,01t}\).

Corrigé

Pour calculer la dérivée de \(g(t) = 10t \, e^{-0,01t} + 20\), on utilise la règle du produit:

\(g'(t) = 10 \cdot e^{-0,01t} + 10t \cdot (-0,01) e^{-0,01t}\)

\(g'(t) = 10 e^{-0,01t} - 0,1t e^{-0,01t}\)

En factorisant par \(e^{-0,01t}\), on obtient :

\(g'(t) = (10 - 0,1t) e^{-0,01t}\)

Ainsi, pour tout \(t \in [0 ; +\infty[\), \(g'(t) = (-0,1t + 10) e^{-0,01t}\).

b) Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \([0 ; +\infty[\) et construire son tableau de variations.

Corrigé

La fonction \(g\) est dérivable sur \([0 ; +\infty[\) et sa dérivée est donnée par \(g'(t) = (-0,1t + 10) e^{-0,01t}\).

Le signe de \(g'(t)\) est du signe de l'expression \(-0,1t + 10\) car \(e^{-0,01t}\) est toujours positif.

Résolvons l'inéquation \(-0,1t + 10 > 0\) :

\(-0,1t > -10\)

\(t < 100\)

On obtient donc le tableau de signes suivant :

\(\begin{array}{c|cc} t & 0 & 100 \\ \hline g'(t) & + & - \\ \end{array}\)

Puis le tableau de variations de \(g\) :

\(\begin{array}{c|cc} t & 0 & 100 \\ \hline g'(t) & + & - \\ \hline g(t) & \nearrow & \searrow \\ \end{array}\)

Ainsi, la fonction \(g\) est croissante sur l'intervalle \([0 ; 100[\) et décroissante sur l'intervalle \(]100 ; +\infty[\).

En évaluant \(g(0)\) et \(g(100)\), on trouve :

• \(g(0) = 20\)
• \(g(100) = 10 \times 100 \times e^{-1} + 20 \approx 367.88\)

3) Démontrer que l'équation \(g(t) = 300\) admet exactement deux solutions distinctes sur \([0 ; +\infty[\). En donner des valeurs approchées à l'unité.

Corrigé

La fonction \(g\) est continue et strictement croissante sur \([0 ; 100]\) et on a :

• \(g(0) = 20 < 300\)
• \(g(100) \approx 367.88 > 300\)

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution de l'équation \(g(t) = 300\) dans l'intervalle \(]0 ; 100[\).

De même sur l'intervalle \(]100 ; +\infty[\).

En utilisant une calculatrice ou un logiciel de calcul numérique, on trouve que les solutions approchées à l'unité sont :

• \(t_1 \approx 43\) minutes
• \(t_2 \approx 153\) minutes

Ainsi, l'équation \(g(t) = 300\) admet exactement deux solutions distinctes sur \([0 ; +\infty[\), qui sont approximativement égales à 30 minutes et 150 minutes.

4) On admet que \(g''(t) = (0,001t - 0,2)e^{-0,01t}\).

Démontrer que la courbe représentative de la fonction \(g\) admet un unique point d'inflexion et déterminer ses coordonnées.

Corrigé

La courbe représentative de la fonction \(g\) admet un point d'inflexion lorsque la dérivée seconde \(g''(t)\) change de signe.

Résolvons l'équation \(g''(t) = 0\) :

\((0,001t - 0,2)e^{-0,01t} = 0\)

Comme \(e^{-0,01t}\) est toujours positif, l'équation se réduit à :

\(0,001t - 0,2 = 0\)

\(0,001t = 0,2\)

\(t = \dfrac{0,2}{0,001} = 200\)

Ainsi, il existe un unique point d'inflexion pour \(t = 200\) minutes.

Pour déterminer les coordonnées de ce point d'inflexion, nous calculons \(g(200)\) :

\(g(200) = 10 \times 200 \times e^{-2} + 20 \approx 290.67\)

Par conséquent, les coordonnées du point d'inflexion sont approximativement \((200 ; 290.67)\).

Partie 3 : évaluation

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer \(t\) minutes après l'allumage est modélisée sur \([0 ; 600]\) par la fonction \(g\).

L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les trois suivants :

• Critère 1 : la température maximale est supérieure à 320 °C.
• Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
• Critère 3 : la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser 300 °C pendant plus de 5 heures.

Combien chaque appareil A et B obtient-il d'étoiles ? Justifier votre réponse.

Corrigé

Pour l'appareil de la marque A :

• Critère 1 : La température maximale est atteinte à environ 367.88 °C, donc le critère 1 est validé.
• Critère 2 : La température maximale est atteinte à 200 minutes, donc le critère 2 n'est pas validé.
• Critère 3 : La température dépasse 300 °C pendant environ 4 heures, donc le critère 3 est validé.

L'appareil de la marque A obtient donc 2 étoiles.

Pour l'appareil de la marque B, on utilise les résultats obtenus dans les parties précédentes :

• Critère 1 : La température maximale est atteinte à environ 367.88 °C, donc le critère 1 est validé.
• Critère 2 : La température maximale est atteinte à 100 minutes (1 heure et 40 minutes), donc le critère 2 est validé.
• Critère 3 : La température dépasse 300 °C pendant environ 4 heures, donc le critère 3 est validé.

L'appareil de la marque B obtient 3 étoiles.

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Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

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1) On considère une suite \((a_n)\) définie par \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}.\)

Affirmation 1 : La suite \((a_n)\) est bornée.

Corrigé

La suite \((a_n)\) est bornée car pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :

\(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1 \Rightarrow -\dfrac{1}{n+1} \leqslant \dfrac{(-1)^n}{n+1} \leqslant \dfrac{1}{n+1}\)

De plus, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(\dfrac{1}{n+1} \leqslant 1\) et \(-\dfrac{1}{n+1} \geqslant -1\).

Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(-1 \leqslant a_n \leqslant 1\), ce qui montre que la suite \((a_n)\) est bornée.

Par conséquent, l'affirmation 1 est vraie.

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2) Soit \((b_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(b_n = \dfrac{n}{n+1}.\)

Affirmation 2 : Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(0 \leqslant 1 - b_n \leqslant \dfrac{1}{n}.\)

Corrigé

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on a :

\(1 - b_n = 1 - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{n+1 - n}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}\)

De plus, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on a \(\dfrac{1}{n+1} \leqslant \dfrac{1}{n}\).

Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on a \(0 \leqslant 1 - b_n = \dfrac{1}{n+1} \leqslant \dfrac{1}{n}\).

Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.

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3) On considère une suite arithmético-géométrique \((t_n)\) définie par \(t_0=3\) et \(t_{n+1} = 2t_n + 5.\)

On note \((s_n)\) la suite définie par : \(s_n = \dfrac{t_n+5}{2^n}.\)

Affirmation 3 : La suite \((s_n)\) est constante.

Corrigé

On calcule \(s_{n+1}=\dfrac{t_{n+1}+5}{2^{n+1}}=\dfrac{2t_n + 5 + 5}{2^{n+1}}=\dfrac{2t_n + 10}{2^{n+1}}=\dfrac{t_n + 5}{2^n}=s_n\).

Ainsi, par récurrence sur \(n\), on montre que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(s_n = s_0 = 8\).

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4) Soit la suite \((u_n)\) définie à l'aide du script Python suivant, qui renvoie la valeur de \(u_n\).

def u(n):
    u = 2
    for i in range(n):
        u = 0.5 * (u + 2/u)
    return u

On admet que \((u_n)\) est décroissante et vérifie : \(\forall n \in \mathbb{N}, \sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2\).

Affirmation 4 : La suite \((u_n)\) converge vers \(\sqrt{2}\).

Corrigé

La suite \((u_n)\) est décroissante et majorée par 2, donc elle est convergente.

Soit \(l\) la limite de la suite \((u_n)\).

La fonction \(f(x) = 0.5 \times (x + 2/x)\) est continue sur \([\sqrt{2} ; 2]\) et vérifie \(f(u_n) = u_{n+1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Par passage à la limite dans l'égalité de récurrence, on obtient :

\(l = 0.5 \times (l + \dfrac{2}{l})\)

\(2l = l + \dfrac{2}{l}\)

\(l = \dfrac{2}{l}\)

\(l^2 = 2\)

\(l = \sqrt{2}\) (car \(u_n \geqslant \sqrt{2}\) pour tout \(n\)).

Ainsi, la suite \((u_n)\) converge vers \(\sqrt{2}\).

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5) On définit une suite \((c_n)\) par :

\[c_0 = 2 \quad \text{et} \quad c_{n+1} = \dfrac{3c_n - 1}{2}\]

Affirmation 5 : La suite \((c_n)\) converge vers \(1\).

Corrigé

On calcule \(c_1=\dfrac{3c_0 - 1}{2} = \dfrac{3 \times 2 - 1}{2} = \dfrac{5}{2}\).

Il semble que la suite \((c_n)\) est croissante. Prouvons-le par récurrence.

Soit \(H_n : c_n \leqslant c_{n+1}\).

Initialisation : \(c_0 = 2 \leqslant \dfrac{5}{2} = c_1\), donc \(H_0\) est vraie.

Hérédité : Supposons que \(H_n\) est vraie pour un rang \(n\) donné, c'est-à-dire que \(c_n \leqslant c_{n+1}\). Alors :

\(c_n \leqslant c_{n+1} \Rightarrow 3c_n - 1 \leqslant 3c_{n+1} - 1 \Rightarrow \dfrac{3c_n - 1}{2} \leqslant \dfrac{3c_{n+1} - 1}{2} \Rightarrow c_{n+1} \leqslant c_{n+2}\)

Conclusion : Par le principe de récurrence, la suite \((c_n)\) est croissante.

Par conséquent, la suite est croissante et minorée par 2, elle ne peut pas converger vers 1. L'affirmation 5 est fausse.

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