Bac Blanc Mathématiques 2025-26 - Spécialité
Exercice 1 (5 points)
Soit le pavé droit \(ABCDEFGH\) tel que \(AB = 3\) et \(AD = AE = 1\) représenté ci-dessous.
Soit le point \(I\) du segment \([AB]\) tel que \(\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AI}\) et le point \(M\) milieu du segment \([CD]\).
On se place dans le repère orthonormé \(\left(A ; \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)\).
1) Sans justifier, donner les coordonnées des points \(F\), \(H\) et \(M\).
2) a) Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \((HMF)\).
b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan \((HMF)\) est : \(2x + 6y + 3z - 9 = 0\).
c) Le plan \(P\) dont une équation cartésienne est \(5x + 15y - 3z + 7 = 0\) est-il parallèle au plan \((HMF)\) ? Justifier la réponse.
3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((DG)\).
4) On appelle \(N\) le point d'intersection de la droite \((DG)\) avec le plan \((HMF)\). Déterminer les coordonnées du point \(N\).
5) Le point \(R\) de coordonnées \(\left(3 ; \dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right)\) est-il le projeté orthogonal du point \(G\) sur le plan \((HMF)\) ? Justifier la réponse.
Exercice 2 (5 points)
Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l'impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique.
On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d'être contrôlé est égale à \(p\).
Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l'amende est de cent euros.
Claude fraude systématiquement.
On définit le gain algébrique de Claude comme la différence entre le coût des billets qu'il aurait dû payer et le coût réel qu'il supporte (amendes).
Ainsi, pour un seul trajet :
Sans contrôle : gain = +10€ (économie d'un billet)
Avec contrôle : gain = -100€ (amende payée)
Partie A : Étude sur deux trajets
Dans cette partie, on suppose que Claude effectue deux trajets.
On note :
- \(C_1\) l'événement "Claude est contrôlé au premier trajet"
- \(C_2\) l'événement "Claude est contrôlé au deuxième trajet"
1) Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :
2) Déduire de cet arbre la probabilité que Claude soit contrôlé :
a) aux deux trajets
b) exactement une fois
c) au moins une fois
3) Montrer que l'espérance mathématique du gain algébrique de Claude sur ces deux trajets est égale à 20-220p.
4) Quelle devrait être la valeur de \(p\) pour que, en moyenne, Claude ne réalise ni gain ni perte sur ces deux trajets ?
Partie B : Étude sur quarante trajets
Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d'un mois soit au total quarante trajets.
On suppose que Claude fraude toujours systématiquement, mais comme la compagnie envisage de contrôler 1 trajet sur \(20\), la probabilité pour Claude d'être contrôlé lors d'un trajet est \(\dfrac{1}{20}\).
On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de trajets pour lesquels Claude est contrôlé au cours de cette période de quarante trajets.
1) Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2) a) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\).
b) Calculer les probabilités \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\) et \(P(X = 2)\).
c) Calculer, à \(10^{-4}\) près, la probabilité que Claude soit contrôlé au plus deux fois au cours des quarante trajets.
3) On note \(Y\) la variable aléatoire représentant le gain algébrique total réalisé par Claude sur l'ensemble des quarante trajets.
a) Justifier que \(Y=400-100X\).
b) Calculer l'espérance mathématique de \(Y\).
On rappelle que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire affine de la forme \(aX + b\) est donnée par la formule : \(E(aX + b) = aE(X) + b\).
Exercice 3 (5 points)
Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un d'une marque A et l'autre d'une marque B.
Partie 1 : appareil de la marque A
À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de marque A. On a représenté la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.
Par lecture graphique :
1) Donner le temps en heures, minutes au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.
2) Donner une valeur approchée, en heures, minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse 300 °C.
Partie 2 : Ă©tude d'une fonction
Soit la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0 ; +\infty[\) par : \(g(t) = 10t \, e^{-0,01t} + 20\).
1) DĂ©terminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).
2) a) Montrer que pour tout \(t \in [0 ; +\infty[\), \(g'(t) = (-0,1t + 10) e^{-0,01t}\).
b) Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \([0 ; +\infty[\) et construire son tableau de variations.
3) Démontrer que l'équation \(g(t) = 300\) admet exactement deux solutions distinctes sur \([0 ; +\infty[\). En donner des valeurs approchées à l'unité.
4) On admet que \(g''(t) = (0,001t - 0,2)e^{-0,01t}\).
Démontrer que la courbe représentative de la fonction \(g\) admet un unique point d'inflexion et déterminer ses coordonnées.
Partie 3 : Ă©valuation
Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer \(t\) minutes après l'allumage est modélisée sur \([0 ; 600]\) par la fonction \(g\).
L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les trois suivants :
- Critère 1 : la température maximale est supérieure à 320 °C.
- Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
- Critère 3 : la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser 300 °C pendant plus de 5 heures.
Combien chaque appareil A et B obtient-il d'étoiles ? Justifier votre réponse.
Exercice 4 (5 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
1) On considère une suite \((a_n)\) définie par \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}.\)
Affirmation 1 : La suite \((a_n)\) est bornée.
2) Soit \((b_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(b_n = \dfrac{n}{n+1}.\)
Affirmation 2 : Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(0 \leqslant 1 - b_n \leqslant \dfrac{1}{n}.\)
3) On considère une suite arithmético-géométrique \((t_n)\) définie par \(t_0=3\) et \(t_{n+1} = 2t_n + 5.\)
On note \((s_n)\) la suite définie par : \(s_n = \dfrac{t_n+5}{2^n}.\)
Affirmation 3 : La suite \((s_n)\) est constante.
4) Soit la suite \((u_n)\) définie à l'aide du script Python suivant, qui renvoie la valeur de \(u_n\).
def u(n):
u = 2
for i in range(n):
u = 0.5 * (u + 2/u)
return u
On admet que \((u_n)\) est décroissante et vérifie : \(\forall n \in \mathbb{N}, \sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2\).
Affirmation 4 : La suite \((u_n)\) converge vers \(\sqrt{2}\).
5) On définit une suite \((c_n)\) par :
Affirmation 5 : La suite \((c_n)\) converge vers \(1\).