Bac blanc février 2020

Exercice 1

Restitution Organisée de Connaissances

Pré-requis : Deux événements sont indépendants si et seulement si : \(P (\text{A} \cap \text{B}) = P (\text{A}) \times P (\text{B})\).

Montrer que si deux événements \(\text{A}\) et \(\text{B}\) sont indépendants, alors il en est de même pour \(\text{A}\) et \(\overline{\text{B}}\).

Exercice 2

Partie A

Un ostréiculteur élève deux espèces d'huîtres : « la plate » et « la japonaise ». Chaque année, les huîtres plates représentent 15 % de sa production.

Les huîtres sont dites de calibre n°3 lorsque leur masse est comprise entre 66 g et 85 g.

Seulement 10 % des huîtres plates sont de calibre n°3, alors que 80 % des huîtres japonaises le sont.

Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l'ostréiculteur.

On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d'être choisies. On considère les événements suivants :

\(\bullet \; J\) : « l'huître prélevée est une huître japonaise »,

\(\bullet \; C\) : « l'huître prélevée est de calibre n°3 »,

1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.

2. Calculer la probabilité que l'huître prélevée soit une huître plate de calibre n°3.

3. Justifier que la probabilité d'obtenir une huître de calibre n°3 est 0,695.

4. Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n°3. Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?

Partie B

On choisit au hasard un échantillon de 15 huîtres dans le stock huîtres de cet ostréiculteur. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 15 huîtres dans le stock. On appelle \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre d'huîtres de calibre n°3 de l'échantillon choisi.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 6 huîtres de calibre n°3. On arrondira à \(10^{-3}\).

3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins 9 huîtres de calibre n°3.On arrondira à \(10^{-3}\).

4. Quelle taille d'échantillon doit-on choisir pour être certain à 99 % qu'il contient plus de 10 huître de calibre n°3 ?

Exercice 3 (6 points)

On note \(\mathbb{R}\) l'ensemble des nombres réels.

Partie A

Soit \(f_3\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_3(x)=(x+3)\text e^{-x}\).

La courbe représentative de \(f_3\) , notée \(\text C_3\) , est tracée dans un repère orthonormé.

Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus dans cette partie.

1. Conjecturer les limites de \(f_3\)  en \(-{\infty}\)  et \(+{\infty}\).

2. Conjecturer le tableau des variations de \(f_3\)  à l'aide du graphique.

3. Soit \(\text T_3\)  la tangente à la courbe \(\text C_3\)  au point d'abscisse 0.

   Tracer cette tangente sur le graphique, puis en conjecturer une équation par lecture graphique.

Corrigé

1. Graphiquement, on semble avoir \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_3(x)=-\infty\)  et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f_3(x)=0\) .

2. Conjecture du tableau de variations de \(f_3\).

   

3. Tracé sur le graphique.

   D'après ce tracé, il semble que l'on a \(\text T_3\) : \(y=-2x+3\)

Partie B

Pour tout réel \(m\) , on note \(f_m\)  la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:

\[f_m(x)=(x+m)\text e^{-x}\]

Soit \(\text C_m\)  sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer les limites de \(f_m\)  en \(-{\infty}\)  et \(+{\infty}\) .

2. On admet que \(f_m\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f'_m\) sa dérivée.

   Montrer que, pour tout réel \(x\) , \(f'_m(x)=(-x-m+1)\text e^{-x}\) .

3. En déduire les variations de \(f_m\)  sur \(\mathbb{R}\).

4. a) Pour tout réel \(m\) , on note \(\text T_m\)  la tangente à la courbe \(\text C_m\)  au point d'abscisse 0.

   Démontrer que \(\text T_m\)  a pour équation réduite \(y=(1-m)x+m\).

   b) Démontrer que toutes les droites \(\text T_m\)  passent par un même point dont on précisera les coordonnées.

5. Étudier le signe de \(f_m(x)\)  pour tout réel \(x\) .

Corrigé

On a \(f_m(x)=(x+m)\text e^{-x}\) .

1. \(\lim\limits_{x \to -\infty }\text e^{-x}\) =\(\lim\limits_{\text X \to +\infty }\text e^{\text X}\) = \(+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to -\infty }x+m=-\infty\) , par produit on a \(\lim\limits_{x \to -\infty }f_m(x)=-\infty\) .

   On a \(f_m(x)=x\times \text e^{-x}+m\text e^{-x}\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty }\text e^{-x}\) = \(\lim\limits_{x\to +\infty }\frac 1{\text e^x}=0\) , donc par produit \(\lim\limits_{x\to +\infty }m\text e^{-x}=0\) .

   On a \(x\times \text e^{-x}=\frac x{\text e^x}\) , or \(\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\text e^x} x=+\infty\) , donc par inverse, \(\lim\limits_{x\to +\infty }x\times \text e^{-x}=0\) .

   Par produit, on a bien \(\lim\limits_{x\to +\infty }f_m(x)=0\) .

2. \(f_m\)  est dérivable et de la forme \(u\times v\)  avec   \(u(x)=x+m\) et \(v(x)=\text e^{-x}\) . D'où \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=-\text e^{-x}\) .

\(f'_m(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\text e^{-x}-(x+m)\text e^{-x}=(1-x-m)\text e^{-x}=(-x-m+1)\text e^{-x}\).

1. \(\text e^{-x}>0\)  sur \(\mathbb{R}\), \(f'_m(x)\)  est donc du signe de \((-x-m+1)\) .

   On résout \(-x-m+1\geqslant 0\)  \(\Leftrightarrow\) \(-m+1\geqslant x\). \(f_m\)  est donc croissante sur \(]-\infty \mathrm ;-m+1]\)  et décroissante sur \(]-m+1\mathrm ;+\infty [\).

2. a) \(\text T_m\)  admet pour équation : \(y=f'_m(0)(x-0)+f_m(0) \Leftrightarrow\) \(\text T_m\)  : \(y=(-m+1)x+m\).

   b) On vérifie que \(\text A(1\mathrm ;1)\in \text T_m\)  pour tout \(m\in \mathbb{R}\) .

3. On a \(\text e^{-x}>0\)  donc \(f_m\)  est du signe de \((x+m)\) . D'où \(f_m\)  est négative sur \(]-\infty \mathrm ;-m]\)  et positive sur \([-m\mathrm ;+\infty [\).

Partie C

Cette question a pour but d'étudier les positions relatives de la courbe \(\text C_3\)  et de sa tangente en 0, sur \([-1\mathrm ;+{\infty}[\) .

La fonction \(g\) , définie sur \([-1\mathrm ;+{\infty}[\), a pour expression:  

\[g(x)=(x+3)\text e^{-x}+2x-3\]

On note :

\(\bullet\) \(g'\) la fonction dérivée de \(g\) ;

\(\bullet\) \(g''\)  la dérivée de \(g'\) .

1. Démontrer que: \(g''(x)=f_1(x)\).

2. Justifier ligne par ligne la construction du tableau ci-dessous.

   

3. En déduire que, sur \([-1\mathrm ;+{\infty}[\) , \(\text C_3\)  est au-dessus de sa tangente en 0.

Corrigé

1. La dérivée seconde de \(x \mapsto 2x-3\)  est la fonction nulle.

   On a déjà la forme de la dérivée de \(x \mapsto (x+m)\text e^{-x}\)  qui est \(x \mapsto (-x-m+1)\text e^{-x}\)

   \(\Rightarrow\) la dérivée de \(x \mapsto (x+3)\text e^{-x}\)  est donc \(x \mapsto (-x-2)\text e^{-x}\)

   \(\Rightarrow\) la dérivée de \(x \mapsto -(x+2)\text e^{-x}\)  est donc \(x \mapsto -(-x-1)\text e^{-x}\)

   On reconnaît ici la fonction \(f_1\)  d'où \(g''(x)=(x+1)\text e^{-x}=f_1(x)\).

2. Justification de la construction du tableau.

   

3. On a \(g(x)=f_3(x)-\text T_3(x)\)  où \(\text T_3(x)\)  est la fonction affine associée à la droite d'équation \(y=-2x+3\) .

   D'après le tableau précédent, \(g(x)>0\)  sur \([-1\mathrm ;+\infty [\).

   Ce qui implique \(\text C_3\)  au dessus de \(\text T_3\)  sur \([-1\mathrm ;+\infty [\).