Fonctions trigonométriques

Calcul de limite.

L'objectif est de déterminer la \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x} x\).

Voici le cercle trigonométrique avec \(H\)  le projeté orthogonal de \(A\) sur \((\text{OI})\).

On pose \(x\) la mesure de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{\text{OI}},\overrightarrow{\text{OA}}\right)\).

On travaille pour \(x\)  dans \(\left]0\mathrm ;\dfrac{\pi } 2 \right[\)  donc \(x>0\) :

1. Exprimer en fonction de \(x\) les longueurs \(\text{BI}\) et \(\text{AH}\).

2. Déterminer l'aire \(A_1\) du triangle \(\text{OAI}\) .

3. Déterminer l'aire \(A_2\) du triangle \(\text{OBI}\) .

4. Déterminer l'aire \(A_3\) du secteur angulaire \(\text{AOI}\) (l'aire d'un secteur est proportionnelle à la mesure de son angle).

5. Comparer ces trois aires entre elles (donner une inégalité). En déduire que, pour \(0<x<\dfrac{\pi } 2\), on a :

   \[\cos x\leqslant \dfrac{\sin x} x\leqslant 1\]

6. Montrer alors que : \(\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{0}{x\rightarrow 0}{x>0}}\dfrac{\sin x} x=1\) puis \(\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{0}{x\rightarrow 0}{x<0}}\dfrac{\sin x} x=1\) .

7. Conclure.

Dérivabilité des fonctions trigonométriques

Montrons que \(x \mapsto \sin x\) et \(x \mapsto \cos x\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).

Rappel de certaines formules de trigonométrie :

\(\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)\) et \(\cos \left(\dfrac{\pi } 2-a\right)=\sin (a)\)

\(\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)\) et \(\sin \left(\dfrac{\pi } 2-a\right)=\cos (a)\)

1. a. Démontrer que \(\cos (h)-1=-2.\sin ^2\left(\dfrac h 2\right)\) puis que \(\dfrac{\cos (h)-1} h=-\dfrac h 2 \left(\dfrac{\sin \dfrac h 2}{\dfrac h 2}\right)^2\)  avec \(h{\neq}0\).

   b. En posant \(t=\dfrac h 2\), déterminer la limite de \(\dfrac{\cos (h)-1} h\)  lorsque \(h\)  tend vers \(0\).

2. a. Soit \(h{\neq}0\), démontrer que le taux de variation de la fonction \(\sin\) en \(x\) avec \(x \in \mathbb{R}\) s'écrit sous la forme:

   \[\text{Taux}=\sin (x).\dfrac{\cos (h)-1} h+\cos (x).\dfrac{\sin (h)} h\]

   b. En déduire que la fonction \(\sin\) est dérivable pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) et déterminer \((\sin)'\).

3. En déduire que la fonction \(\cos\)  est dérivable pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) et déterminer \((\cos )'\).

4. En déduire que la fonction \(\tan\)  est dérivable et déterminer \((\tan )'\)  sur un ensemble qu'il faudra préciser.