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Feuille d'exercices sur l'orthogonalité dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace

Pour les exercices 1 à 4, on considère le cube ci-dessous de côté \(a\).

\(\text{M}\), \(\text{N}\), \(\text{P}\) et \(\text{I}\) sont les milieux respectifs de \(\text{[CD]}\),\(\text{[EH]}\), \(\text{[BF]}\) et \(\text{[CG]}\).

Exercice 1 : Vrai ou faux

  1. \({\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}} = \text{AB}^{2}\)
  2. \({\overrightarrow{\text{AD}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}} = \text{AC}^{2}\)
  3. \(\overrightarrow{\text{BC}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\)=\(\overrightarrow{\text{EF}} \cdot \overrightarrow{\text{GE}}\)
  4. \(\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AH}}\)=\(\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AD}}\)
  5. \({\overrightarrow{\text{BD}} \cdot \overrightarrow{\text{BH}}} = {\overrightarrow{\text{FH}}}^{2}\)
  6. \({\overrightarrow{\text{BC}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}} = {a^{2}\sqrt{2}}\)
  7. \({\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AG}}} = {a^{2}\sqrt{6}}\)
  8. \({\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AH}}} = {2a}^{2}\)
  9. \({\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{FG}}} = \overrightarrow{\phantom{.}0\phantom{.}}\)
  10. \({\overrightarrow{\text{AD}} \cdot \overrightarrow{\text{AG}}} = 0\)
  11. \({\overrightarrow{\text{BG}} \cdot \overrightarrow{\text{EF}}} = 0\)

Exercice 2 : Calculer en projetant

Calculer en projetant orthogonalement l'un des vecteurs sur la droite portant l'autre vecteur ou éventuellement sur un plan contenant l'autre vecteur.

  1. \(\overrightarrow{\text{AG}} \cdot \overrightarrow{\text{BG}}\)
  2. \(\overrightarrow{\text{AD}} \cdot \overrightarrow{\text{PG}}\)
  3. \(\overrightarrow{\text{DC}} \cdot \overrightarrow{\text{DI}}\)
  4. \(\overrightarrow{\text{AM}} \cdot \overrightarrow{\text{AD}}\)

Exercice 3 : Calculer en utilisant un repère

On se place dans le repère orthonormé \(({\text{A};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}})\), tel que \(\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}}\), \(\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}}\) et \(\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}\) sont des vecteurs unitaires respectivement colinéaires et de même sens que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\), \(\overrightarrow{\text{AD}}\) et \(\overrightarrow{\text{AE}}\).

Calculer :

  1. \(\overrightarrow{\text{EI}} \cdot \overrightarrow{\text{PN}}\)
  2. \(\overrightarrow{\text{NI}} \cdot \overrightarrow{\text{PM}}\)
  3. \(\overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\)

Exercice 4 : Trouver un angle

En calculant de deux façons différentes le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{DN}} \cdot \overrightarrow{\text{DI}}\), déterminer \(\cos\widehat{\text{NDI}}\), et déduire une valeur approchée à \(10^{- 1}\) près de \(\widehat{\text{NDI}}\).

On peut utiliser le repère orthonormé \(({\text{A};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}})\), tel que \(\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}}\), \(\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}}\) et \(\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}\) sont des vecteurs unitaires respectivement colinéaires et de même sens que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\), \(\overrightarrow{\text{AD}}\) et \(\overrightarrow{\text{AE}}\).

Pour les exercices 5 à 8, l'espace est muni d'un repère orthonormé \(({\text{O};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}})\).

Exercice 5 : Triangle rectangle

Soit \(\text{A}(3;4;-2)\) , \(\text{B}(1;6;0)\) et \(\text{C}(-2;2;1)\)

Montrer que le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle et indiquer en quel point.

Exercice 6 : Triangle isocèle

Soit \(\text{M}(3;-4;-2)\), \(\text{N}(-1;3;2)\) et \(\text{P}(7;-1;3)\)

Démontrer que \(\text{MNP}\) est isocèle et déterminer à \(10^{-1}\) près tous les angles du triangle.

Exercice 7 : Parallélogramme

Soit \(\text{E}(-3;2;1)\) , \(\text{F}(1;-1;3)\), \(\text{G}(5;1;-3)\) et \(\text{H}(1;4;-5)\)

Montrer que \(\text{EFGH}\) est un quadrilatère puis déterminer sa nature.

Démontrer une orthogonalité sans les vecteurs

Exercice 8 : Vrai ou faux

Dans l'espace :

  1. Deux droites orthogonales à une même droite sont parallèles entre elles.
  2. Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
  3. Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.

Exercice 9 : Entre deux droites

Dans le cube \(\text{ABCDEFGH}\), dans chacun des cas montrer que les droites sont orthogonales :

  1. \(\text{(FG)}\) et \(\text{(AB)}\)
  2. \(\text{(HG)}\) et \(\text{(FC)}\)
  3. \(\text{(EB)}\) et \(\text{(GD)}\)
  4. \(\text{(NF)}\) et \(\text{(HD)}\)

Exercice 10 : Entre une droite et un plan

Dans le cube \(\text{ABCDEFGH}\), dans chacun des cas montrer que la droite et le plan sont orthogonaux :

  1. \((\text{AB})\) et \((\text{BFG})\)
  2. \((\text{DG})\) et \((\text{BCE})\)
  3. \((\text{AF})\) et \((\text{CEH})\)
  4. \((\text{MI})\) et \((\text{CHE})\)

Exercice 11 : Dans une pyramide à base carrée

Soit la pyramide SABCD régulière à base carrée ci-dessous . On note \(\text{I}\) le milieu de \(\lbrack\text{BC}\rbrack\).

  1. Démontrer que les droites \(\text{(SO)}\) et \(\text{(BC)}\) sont orthogonales.

  2. En déduire que la droite \(\text{(BC)}\) est orthogonale au plan \(\text{(SOI)}\).

Exercice 12 : En utilisant la trigonométrie

Soit un cube \(\text{ABCDEFGH}\) de côté 4 cm et le point \(\text{O}\) centre du carré \(\text{EFGH}\).

  1. Déterminer l'intersection des plans \(\text{(EDG)}\) et \(\text{(HFB)}\).
  2. Calculer \(\tan\widehat{\text{HDO}}\) et \(\tan\widehat{\text{DBH}}\).
  3. En déduire que les droites \(\text{(HB)}\) et \(\text{(DO)}\) sont orthogonales.
  4. Démontrer que les droites \(\text{(HD)}\) et \(\text{(EG)}\) sont orthogonales.
  5. En déduire que la droite \(\text{(EG)}\) est orthogonale au plan \(\text{(HFB)}\), puis orthogonale à la droite \(\text{(HB)}\).
  6. Démontrer que la droite \(\text{(HB)}\) est orthogonale au plan \(\text{(DEG)}\).

Démontrer une orthogonalité avec les vecteurs

Dans la suite, l'espace est muni d'un repère orthonormé \(({\text{O};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}})\).

Exercice 13 : Trouver \(a\) et \(b\)

Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que les vecteurs \(\overrightarrow{\phantom{.}u\phantom{.}}\begin{pmatrix} 2 \\ {- 5} \\ a \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\phantom{.}v\phantom{.}}\begin{pmatrix} {- 3} \\ 1 \\ b \end{pmatrix}\) soient orthogonaux.

Exercice 14 : Droites perpendiculaires - droites orthogonales

Soit les points \(\text{A}(0;4;2)\), \(\text{B}(- 1; - 3; - 2)\), \(\text{C}(1;1;1)\) et \(\text{D}(2;2;-1)\)

  1. Les droites \(\text{(AB)}\) et \(\text{(BD)}\) sont-elles perpendiculaires ?
  2. Les droites \(\text{(AB)}\) et \(\text{(CD)}\) sont-elles orthogonales ?

Exercice 15 : Projeté orthogonal sur une droite - distance d'un point à une droite

Soit les points \(\text{A}(0;-1;3)\) et \(\text{B}(-1;2;5)\).

  1. Montrer que le point \(\text{H}(1;-4;1)\) est le projeté orthogonal du point \(\text{C}(5;-2;0)\) sur la droite \(\text{(AB)}\).
  2. En déduire la distance du point \(\text{C}\) à la droite \(\text{(AB)}\).

Exercice 16 : Plan médiateur

Définition :

Dans l'espace, le plan médiateur d'un segment est constitué des points équidistants des extrémités de ce segment. Il s'agit du plan passant par le milieu du segment et orthogonal à ce segment.

Dans le cube \(\text{ABCDEFGH}\) :

  1. Justifier que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{BE}}\) et \(\overrightarrow{\text{DF}}\) sont orthogonaux.
  2. Démontrer que \(\text{(DF)}\) est perpendiculaire à \(\text{(BEG)}\).
  3. \(\text{(BEG)}\) est-il le plan médiateur de \(\text{[DF]}\) ?
  4. Déterminer l'ensemble des points équidistants de \(\text{A}\) et \(\text{G}\).

Exercice 17 : Distance d'un point à un plan - volume d'un tétraèdre

Rappel : le volume d'un tétraèdre est \(\dfrac{\mathit{base} \times \mathit{hauteur}}{3}\)

Dans un cube \(\text{ABCDEFGH}\) de côté 1, on considère les points \(\text{M}\), \(\text{N}\) et \(\text{P}\) centres respectifs des faces \(\text{EFGH}\), \(\text{BCGF}\) et \(\text{ABFE}\).

On considère le repère orthonormé \(({\text{A};\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}})\)

  1. Calculer les produits scalaires \(\overrightarrow{\text{DF}} \cdot \overrightarrow{\text{MP}}\) et \(\overrightarrow{\text{DF}} \cdot \overrightarrow{\text{NP}}\).
  2. Montrer que \(\text{(DF)}\) est perpendiculaire à \(\text{(MNP)}\).

  3. Soit \(\text{T}\) le point d'intersection de \(\text{(DF)}\) et \(\text{(MNP)}\).

    Montrer que \(\text{T}\) est le projeté orthogonal de \(\text{(N)}\) sur \(\text{(DF)}\).

  4. En calculant de deux façons différentes le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{DF}} \cdot \overrightarrow{\text{DN}}\), déterminer la distance du point \(\text{D}\) au plan \(\text{(MNP)}\)

  5. On note \(\text{I}\) le milieu de \(\text{[PN]}\) .

    a. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{MI}}\) et \(\overrightarrow{\text{PN}}\) sont orthogonaux.

    b. En déduire l'aire du triangle \(\text{MNP}\). 6. En déduire le volume du tétraèdre \(\text{DMNP}\).

Équations de plans

Exercice 18 : Vrai ou faux

Soit le plan \({\text{P}:{x - {2y} + z - 2}} = 0\).

  1. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur
  2. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal

  3. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal

  4. \(\text{P}\) passe par \(\text{A}(0;0;2)\)

Exercice 19 : Équation cartésienne d'un plan : point et vecteur normal

Dans chacun des cas, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point \(\text{A}\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\).

  1. \(\text{A}(2;-1;3)\) et \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)
  2. \(\text{A}(1;5;0)\) et \(\overrightarrow{n} = {\overrightarrow{i} - {2\overrightarrow{j}}}\)

Exercice 20 : Équation cartésienne d'un plan : trois points

Soit les points \(\text{A}(1;5;0)\), \(\text{B}(2;0;-1)\) et \(\text{C}(0;3;4)\).

  1. Déterminer un vecteur normal au plan \(\text{(ABC)}\).
  2. Donner une équation cartésienne du plan \(\text{(ABC)}\).

Exercice 21 : Projeté orthogonal

Soit le plan \(\text{P}: -5x+y-z-6 = 0\) et le point \(\text{A}(-6;2;-1)\).

Démontrer que \(\text{B}(-1;1;0)\) est le projeté orthogonal de \(\text{A}\) sur le plan \(\text{P}\).

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Position relative de deux plans

Exercice 22 : Plans perpendiculaires

Dans chacun des cas, après avoir déterminé des vecteurs normaux aux plans \(\text{P}\) et \(\text{Q}\), déterminer leur position relative :

  1. \(\text{P}: -x-y+2z-5= 0\) et \(\text{Q}:2x+4y-3z=0\)
  2. \(\text{P}: x-2y+z-4 = 0\) et \(\text{Q}:-3x+y-4z-2=0\)
  3. \(\text{P}: x-2y+3 = 0\) et \(\text{Q}:2x+y-3z-5=0\)
  4. \(\text{P}: x = -1\) et \(\text{Q}: z = 2\)

Exercice 23 : Intersection de deux plans

Dans chacun des cas, démontrer que les plans \(\text{P}\) et \(\text{Q}\) sont sécants, déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection puis donner un vecteur directeur de cette droite.

  1. \(\text{P}: 2x - 3y + z - 4 = 0\) et \(\text{Q}: x + 2y - z + 1 = 0\)
  2. \(\text{P}: x - 3y + 2z - 5 = 0\) et \(\text{Q}: 2x + y + 7z - 1 = 0\)

Exercice 24 : Plans parallèles

Soit les plans \(\text{P}: -2x + 4y - 3z + 2 = 0\) et \(\text{Q}: x -2y + \dfrac{3}{2}z-5 = 0\).

  1. Montrer que les plans \(\text{P}\) et \(\text{Q}\) sont parallèles.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan \(\text{R}\) parallèle au plan \(\text{P}\) et passant par le point \(\text{A}(-2;0;3)\)

Position relative d'une droite et d'un plan

Exercice 25 : Vrai ou faux

Soit la droite \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 2 + t \\ z = 3t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\) et le plan \(\text{P}:2x-y-3z+10 = 0\)

  1. \(d\) et \(\text{P}\) sont parallèles.
  2. \(d\) et \(\text{P}\) sont perpendiculaires.
  3. Leur point d'intersection a pour paramètre \(t = 0\) sur la droite.
  4. Leur point d'intersection a pour coordonnées \((-1;-1;3)\)

Exercice 26 : Intersection d'une droite et d'un plan

Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du point d'intersection, quand il existe, de la droite \(d\) et du plan \(\text{P}\) :

  1. \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\) et \(\text{P}:5x-y+2z = 0\)

  2. \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2k \\ y = 1 + k \\ z = 3k \end{matrix} \right.\), \(k \in \mathbb{R}\) et \(\text{P}: x-y+z+1 = 0\)

  3. \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + s \\ y = 2 + s \\ z = s \end{matrix} \right.\), \(s \in \mathbb{R}\) et \(\text{P}: x + y - 2z - 3 = 0\)

  4. \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1-s \\ y = 2 + s \\ z = 3s + 9 \end{matrix} \right.\), \(s \in \mathbb{R}\) et \(\text{P}:z = 0\)

Exercice 27 : Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

Soit les points \(\text{A}(0;-1;-1)\) et \(\text{B}(1;0;0)\).

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\text{(AB)}\).

  2. Étudier la position relative de cette droite avec chacun des plans \(\text{P}: -3x + y + 2z + 3 = 0\), \(\text{Q}: 2x - 3y + z - 3 = 0\) et \(\text{R}: -x + 2y - 3z + 3 = 0\)

Intersection de deux droites

Exercice 28 : Droites sécantes

Soit les droites \(d:\left\{ \begin{matrix} x = -1 \\ y = 1 - t \\ z = 1 - 2t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix} x = 4 - 5t \\ y = 3 - 2t \\ z = - 1 + 2t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\)

  1. Démontrer que les droites \(d\) et \(d'\) sont sécantes.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant ces deux droites.

Exercice 29 : Droites parallèles

Soit les droites \(d:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 4t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 - 2t \end{matrix} \right.\) , \(t \in \mathbb{R}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 5 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\)

  1. Démontrer que les droites \(d\) et \(d'\) sont strictement parallèles.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant ces deux droites.