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Feuille d'exercices sur l'orthogonalité dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace

Pour les exercices 1 à 4, on considère le cube ci-dessous de côté \(a\).

Cube

\(\text{M}\), \(\text{N}\), \(\text{P}\) et \(\text{I}\) sont les milieux respectifs de \(\text{[CD]}\),\(\text{[EH]}\), \(\text{[BF]}\) et \(\text{[CG]}\).

Exercice 1 : Vrai ou faux

  1. \({\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}} = \text{AB}^{2}\)
  2. \({\overrightarrow{\text{AD}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}} = \text{AC}^{2}\)
  3. \(\overrightarrow{\text{BC}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\)=\(\overrightarrow{\text{EF}} \cdot \overrightarrow{\text{GE}}\)
  4. \(\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AH}}\)=\(\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AD}}\)
  5. \({\overrightarrow{\text{BD}} \cdot \overrightarrow{\text{BH}}} = {\overrightarrow{\text{FH}}}^{2}\)
  6. \({\overrightarrow{\text{BC}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}} = {a^{2}\sqrt{2}}\)
  7. \({\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AG}}} = {a^{2}\sqrt{6}}\)
  8. \({\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{AH}}} = {2a}^{2}\)
  9. \({\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{FG}}} = \overrightarrow{\phantom{.}0\phantom{.}}\)
  10. \({\overrightarrow{\text{AD}} \cdot \overrightarrow{\text{AG}}} = 0\)
  11. \({\overrightarrow{\text{BG}} \cdot \overrightarrow{\text{EF}}} = 0\)

Exercice 2 : Calculer en projetant

Calculer en projetant orthogonalement l'un des vecteurs sur la droite portant l'autre vecteur ou éventuellement sur un plan contenant l'autre vecteur.

  1. \(\overrightarrow{\text{AG}} \cdot \overrightarrow{\text{BG}}\)
  2. \(\overrightarrow{\text{AD}} \cdot \overrightarrow{\text{PG}}\)
  3. \(\overrightarrow{\text{DC}} \cdot \overrightarrow{\text{DI}}\)
  4. \(\overrightarrow{\text{AM}} \cdot \overrightarrow{\text{AD}}\)

Exercice 3 : Calculer en utilisant un repère

On se place dans le repère orthonormé \(({\text{A};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}})\), tel que \(\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}}\), \(\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}}\) et \(\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}\) sont des vecteurs unitaires respectivement colinéaires et de même sens que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\), \(\overrightarrow{\text{AD}}\) et \(\overrightarrow{\text{AE}}\).

Calculer :

  1. \(\overrightarrow{\text{EI}} \cdot \overrightarrow{\text{PN}}\)
  2. \(\overrightarrow{\text{NI}} \cdot \overrightarrow{\text{PM}}\)
  3. \(\overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}\)

Exercice 4 : Trouver un angle

En calculant de deux façons différentes le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{DN}} \cdot \overrightarrow{\text{DI}}\), déterminer \(\cos\widehat{\text{NDI}}\), et déduire une valeur approchée à \(10^{- 1}\) près de \(\widehat{\text{NDI}}\).

On peut utiliser le repère orthonormé \(({\text{A};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}})\), tel que \(\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}}\), \(\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}}\) et \(\overrightarrow{\phantom{.}k\phantom{.}}\) sont des vecteurs unitaires respectivement colinéaires et de même sens que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\), \(\overrightarrow{\text{AD}}\) et \(\overrightarrow{\text{AE}}\).

Pour les exercices 5 à 8, l'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}~~;~~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\).

Exercice 5 : Triangle rectangle

Soit \(\text{A}(3;4;-2)\) , \(\text{B}(1;6;0)\) et \(\text{C}(-2;2;1)\)

Montrer que le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle et indiquer en quel point.

Exercice 6 : Triangle isocèle

Soit \(\text{M}(3;-4;-2)\), \(\text{N}(-1;3;2)\) et \(\text{P}(7;-1;3)\)

Démontrer que \(\text{MNP}\) est isocèle et déterminer à \(10^{-1}\) près tous les angles du triangle.

Exercice 7 : Parallélogramme

Soit \(\text{E}(-3;2;1)\) , \(\text{F}(1;-1;3)\), \(\text{G}(5;1;-3)\) et \(\text{H}(1;4;-5)\)

Montrer que \(\text{EFGH}\) est un quadrilatère puis déterminer sa nature.

Démontrer une orthogonalité sans les vecteurs

Cube

Exercice 8 : Vrai ou faux

Dans l'espace :

  1. Deux droites orthogonales à une même droite sont parallèles entre elles.
  2. Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
  3. Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.

Exercice 9 : Entre deux droites

Dans le cube \(\text{ABCDEFGH}\), dans chacun des cas montrer que les droites sont orthogonales :

  1. \(\text{(FG)}\) et \(\text{(AB)}\)
  2. \(\text{(HG)}\) et \(\text{(FC)}\)
  3. \(\text{(EB)}\) et \(\text{(GD)}\)
  4. \(\text{(NF)}\) et \(\text{(HD)}\)

Cube

Exercice 10 : Entre une droite et un plan

Dans le cube \(\text{ABCDEFGH}\), dans chacun des cas montrer que la droite et le plan sont orthogonaux :

  1. \((\text{AB})\) et \((\text{BFG})\)
  2. \((\text{DG})\) et \((\text{BCE})\)
  3. \((\text{AF})\) et \((\text{CEH})\)
  4. \((\text{MI})\) et \((\text{CHE})\)

Cube

Exercice 11 : Dans une pyramide à base carrée

Soit la pyramide SABCD régulière à base carrée ci-dessous . On note \(\text{I}\) le milieu de \(\lbrack\text{BC}\rbrack\).

Pyramide

  1. Démontrer que les droites \(\text{(SO)}\) et \(\text{(BC)}\) sont orthogonales.

  2. En déduire que la droite \(\text{(BC)}\) est orthogonale au plan \(\text{(SOI)}\).

Exercice 12 : En utilisant la trigonométrie

Soit un cube \(\text{ABCDEFGH}\) de côté 4 cm et le point \(\text{O}\) centre du carré \(\text{EFGH}\).

  1. Déterminer l'intersection des plans \(\text{(EDG)}\) et \(\text{(HFB)}\).
  2. Calculer \(\tan\widehat{\text{HDO}}\) et \(\tan\widehat{\text{DBH}}\).
  3. En déduire que les droites \(\text{(HB)}\) et \(\text{(DO)}\) sont orthogonales.
  4. Démontrer que les droites \(\text{(HD)}\) et \(\text{(EG)}\) sont orthogonales.
  5. En déduire que la droite \(\text{(EG)}\) est orthogonale au plan \(\text{(HFB)}\), puis orthogonale à la droite \(\text{(HB)}\).
  6. Démontrer que la droite \(\text{(HB)}\) est orthogonale au plan \(\text{(DEG)}\).

Démontrer une orthogonalité avec les vecteurs

Dans la suite, l'espace est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\).

Exercice 13 : Trouver \(a\) et \(b\)

Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que les vecteurs \(\overrightarrow{\phantom{.}u\phantom{.}}\begin{pmatrix} 2 \\ {- 5} \\ a \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\phantom{.}v\phantom{.}}\begin{pmatrix} {- 3} \\ 1 \\ b \end{pmatrix}\) soient orthogonaux.

Exercice 14 : Droites perpendiculaires - droites orthogonales

Soit les points \(\text{A}(0;4;2)\), \(\text{B}(- 1; - 3; - 2)\), \(\text{C}(1;1;1)\) et \(\text{D}(2;2;-1)\)

  1. Les droites \(\text{(AB)}\) et \(\text{(BD)}\) sont-elles perpendiculaires ?
  2. Les droites \(\text{(AB)}\) et \(\text{(CD)}\) sont-elles orthogonales ?

Exercice 15 : Projeté orthogonal sur une droite - distance d'un point à une droite

Soit les points \(\text{A}(0;-1;3)\) et \(\text{B}(-1;2;5)\).

  1. Montrer que le point \(\text{H}(1;-4;1)\) est le projeté orthogonal du point \(\text{C}(5;-2;0)\) sur la droite \(\text{(AB)}\).
  2. En déduire la distance du point \(\text{C}\) à la droite \(\text{(AB)}\).

Exercice 16 : Plan médiateur

Définition :

Dans l'espace, le plan médiateur d'un segment est constitué des points équidistants des extrémités de ce segment. Il s'agit du plan passant par le milieu du segment et orthogonal à ce segment.

Cube

Dans le cube \(\text{ABCDEFGH}\) :

  1. Justifier que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{BE}}\) et \(\overrightarrow{\text{DF}}\) sont orthogonaux.
  2. Démontrer que \(\text{(DF)}\) est perpendiculaire à \(\text{(BEG)}\).
  3. \(\text{(BEG)}\) est-il le plan médiateur de \(\text{[DF]}\) ?
  4. Déterminer l'ensemble des points équidistants de \(\text{A}\) et \(\text{G}\).

Exercice 17 : Distance d'un point à un plan - volume d'un tétraèdre

Rappel : le volume d'un tétraèdre est \(\dfrac{\mathit{base} \times \mathit{hauteur}}{3}\)

Dans un cube \(\text{ABCDEFGH}\) de côté 1, on considère les points \(\text{M}\), \(\text{N}\) et \(\text{P}\) centres respectifs des faces \(\text{EFGH}\), \(\text{BCGF}\) et \(\text{ABFE}\).

On considère le repère orthonormé \(({\text{A};\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}})\)

  1. Calculer les produits scalaires \(\overrightarrow{\text{DF}} \cdot \overrightarrow{\text{MP}}\) et \(\overrightarrow{\text{DF}} \cdot \overrightarrow{\text{NP}}\).

  2. Montrer que \(\text{(DF)}\) est perpendiculaire à \(\text{(MNP)}\).

  3. Soit \(\text{T}\) le point d'intersection de \(\text{(DF)}\) et \(\text{(MNP)}\).

    Montrer que \(\text{T}\) est le projeté orthogonal de \(\text{(N)}\) sur \(\text{(DF)}\).

  4. En calculant de deux façons différentes le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{DF}} \cdot \overrightarrow{\text{DN}}\), déterminer la distance du point \(\text{D}\) au plan \(\text{(MNP)}\)

  5. On note \(\text{I}\) le milieu de \(\text{[PN]}\) .

    a. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{MI}}\) et \(\overrightarrow{\text{PN}}\) sont orthogonaux.

    b. En déduire l'aire du triangle \(\text{MNP}\).

  6. En déduire le volume du tétraèdre \(\text{DMNP}\).

Équations de plans

Exercice 18 : Vrai ou faux

Soit le plan \({\text{P}:{x - {2y} + z - 2}} = 0\).

  1. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur
  2. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal

  3. \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal

  4. \(\text{P}\) passe par \(\text{A}(0;0;2)\)

Exercice 19 : Équation cartésienne d'un plan : point et vecteur normal

Dans chacun des cas, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point \(\text{A}\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\).

  1. \(\text{A}(2;-1;3)\) et \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)
  2. \(\text{A}(1;5;0)\) et \(\overrightarrow{n} = {\overrightarrow{i} - {2\overrightarrow{j}}}\)

Exercice 20 : Équation cartésienne d'un plan : trois points

Soit les points \(\text{A}(1;5;0)\), \(\text{B}(2;0;-1)\) et \(\text{C}(0;3;4)\).

  1. Déterminer un vecteur normal au plan \(\text{(ABC)}\).
  2. Donner une équation cartésienne du plan \(\text{(ABC)}\).

Exercice 21 : Projeté orthogonal

Soit le plan \(\text{P}: -5x+y-z-6 = 0\) et le point \(\text{A}(-6;2;-1)\).

Démontrer que \(\text{B}(-1;1;0)\) est le projeté orthogonal de \(\text{A}\) sur le plan \(\text{P}\).

Position relative de deux plans

Exercice 22 : Plans perpendiculaires

Dans chacun des cas, après avoir déterminé des vecteurs normaux aux plans \(\text{P}\) et \(\text{Q}\), déterminer leur position relative :

  1. \(\text{P}: -x-y+2z-5= 0\) et \(\text{Q}:2x+4y-3z=0\)
  2. \(\text{P}: x-2y+z-4 = 0\) et \(\text{Q}:-3x+y-4z-2=0\)
  3. \(\text{P}: x-2y+3 = 0\) et \(\text{Q}:2x+y-3z-5=0\)
  4. \(\text{P}: x = -1\) et \(\text{Q}: z = 2\)

Exercice 23 : Intersection de deux plans

Dans chacun des cas, démontrer que les plans \(\text{P}\) et \(\text{Q}\) sont sécants, déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection puis donner un vecteur directeur de cette droite.

  1. \(\text{P}: 2x - 3y + z - 4 = 0\) et \(\text{Q}: x + 2y - z + 1 = 0\)
  2. \(\text{P}: x - 3y + 2z - 5 = 0\) et \(\text{Q}: 2x + y + 7z - 1 = 0\)

Exercice 24 : Plans parallèles

Soit les plans \(\text{P}: -2x + 4y - 3z + 2 = 0\) et \(\text{Q}: x -2y + \dfrac{3}{2}z-5 = 0\).

  1. Montrer que les plans \(\text{P}\) et \(\text{Q}\) sont parallèles.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan \(\text{R}\) parallèle au plan \(\text{P}\) et passant par le point \(\text{A}(-2;0;3)\)

Position relative d'une droite et d'un plan

Exercice 25 : Vrai ou faux

Soit la droite \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 2 + t \\ z = 3t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\) et le plan \(\text{P}:2x-y-3z+10 = 0\)

  1. \(d\) et \(\text{P}\) sont parallèles.
  2. \(d\) et \(\text{P}\) sont perpendiculaires.
  3. Leur point d'intersection a pour paramètre \(t = 0\) sur la droite.
  4. Leur point d'intersection a pour coordonnées \((-1;-1;3)\)

Exercice 26 : Intersection d'une droite et d'un plan

Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du point d'intersection, quand il existe, de la droite \(d\) et du plan \(\text{P}\) :

  1. \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\) et \(\text{P}:5x-y+2z = 0\)

  2. \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2k \\ y = 1 + k \\ z = 3k \end{matrix} \right.\), \(k \in \mathbb{R}\) et \(\text{P}: x-y+z+1 = 0\)

  3. \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + s \\ y = 2 + s \\ z = s \end{matrix} \right.\), \(s \in \mathbb{R}\) et \(\text{P}: x + y - 2z - 3 = 0\)

  4. \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 1-s \\ y = 2 + s \\ z = 3s + 9 \end{matrix} \right.\), \(s \in \mathbb{R}\) et \(\text{P}:z = 0\)

Exercice 27 : Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

Soit les points \(\text{A}(0;-1;-1)\) et \(\text{B}(1;0;0)\).

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\text{(AB)}\).

  2. Étudier la position relative de cette droite avec chacun des plans \(\text{P}: -3x + y + 2z + 3 = 0\), \(\text{Q}: 2x - 3y + z - 3 = 0\) et \(\text{R}: -x + 2y - 3z + 3 = 0\)

Intersection de deux droites

Exercice 28 : Droites sécantes

Soit les droites \(d:\left\{ \begin{matrix} x = -1 \\ y = 1 - t \\ z = 1 - 2t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix} x = 4 - 5t \\ y = 3 - 2t \\ z = - 1 + 2t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\)

  1. Démontrer que les droites \(d\) et \(d'\) sont sécantes.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant ces deux droites.

Exercice 29 : Droites parallèles

Soit les droites \(d:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 4t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 - 2t \end{matrix} \right.\) , \(t \in \mathbb{R}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 5 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\)

  1. Démontrer que les droites \(d\) et \(d'\) sont strictement parallèles.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant ces deux droites.

Vus au bac

Exercice 30 : Asie 2025 J1

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut k\,}\right)\).

On considère :

  • \(\alpha\) un réel quelconque ;

  • les points \(A(1 ; 1 ; 0)\), \(B(2 ; 1 ; 0)\) et C\((\alpha~;~3~;~\alpha)\) ;

  • \((d)\) la droite dont une représentation paramétrique est \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = \phantom{11} 2t \\ z = \phantom{1}- t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R}\)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de \(\alpha\), les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est \(\overrightarrow{\jmath}\) \(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\).

Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur de \(\alpha\) telle que les droites \((AC)\) et \((d)\) soient parallèles.

Affirmation 3 : Une mesure de l'angle \(\widehat{OAB}\) est \(135^\circ\).

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \((d)\) est le point \(H(1 ; 2 ; 2)\).

Affirmation 5 : La sphère de centre \(O\) et de rayon \(1\) rencontre la droite \((d)\) en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(r\) est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance \(r\) de \(\Omega\).

Exercice 31 : Polynésie 2025 J2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut k\,}\right)\).

On considère les points suivants \(A(1 ; 3 ; 0)\), \(B(-1;4;5)\), \(C(0 ; 1 ; 0)\) et \(D(- 2~;~2~;~1)\).

  1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) déterminent un plan.

  2. Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

  3. Soit \(\Delta\) la droite passant par le point \(D\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) \(\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\).

    a. Démontrer que la droite \(\Delta\) est orthogonale au plan \((ABC)\).

    b. Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne \(2x - y + z + 1 = 0.\)

    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\).

  4. On appelle \(H\) le point de coordonnées \(\left( -\dfrac 23 ; \dfrac 43 ; \dfrac 53 \right)\).

    Vérifier que \(H\) est le projeté orthogonal du point \(D\) sur le plan \((ABC)\).

  5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par \(V = \dfrac 13 B \times h\), où \(B\) est l'aire d'une base du tétraèdre et \(h\) est sa hauteur relative à cette base.

    a. Montrer que \(DH = \dfrac{2\sqrt 6}{3}\).

    b. En déduire le volume du tétraèdre \(ABCD\).

  6. On considère la droite \(d\) de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 - 2k\\ y&=& - 3k\\z&=&1 + \phantom{3}k\end{array}\right. \quad ,k \in \mathbb{R}.\)

    La droite \(d\) et le plan \((ABC)\) sont-ils sécants ou parallèles ?

Exercice 32 : Polynésie 2025 J1

Deux avions sont en approche d'un aéroport.

On munit l'espace d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut k\,}\right)\) dont l'origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan \(P_0\) d'équation \(z = 0\).

L'unité des axes correspond à 1 km. On modélise les avions par des points.

Avions

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en A\((-7~;~ 1~;~7)\) et sa trajectoire est dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u}\) \(\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}\).

L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite \(d_{\text{B}}\) passant par le point \(B\) dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&-11 + 5t\\ y &=&-5 + \phantom{5}t\\ z &=&11 - 4t \end{array}\right.\:\text{où}\: t\:\text{décrit}\:\: \mathbb{R}\]

  1. S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point \(S\) en lequel l'avion Bêta touchera le sol.

    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d_{\text{A}}\) caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.

    2. Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?

    1. Démontrer que l'avion Alpha passe par la position E\((-3;-1;1)\).

    2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan \(P_{\text{E}}\) passant par \(E\) et perpendiculaire à la droite \(d_{\text{A}}\) est:

      \[2x - y - 3z + 8 = 0.\]

    3. Vérifier que le point \(F(-1~;~-3~;~3)\) est le point d'intersection du plan \(P_{\text{E}}\) et de la droite \(d_{\text{B}}\).

    4. Calculer la valeur exacte de la distance \(EF\), puis vérifier que cela correspond à une distance de \(3464 m\), à 1 m près.

  4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut \(1852 m\)).

    Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en \(E\) et \(F\) au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?

Exercice 33 : Amérique du Nord 2025 J2 secours

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\(\left(\text{O}~~;~~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\) est un repère de l'espace.

On considère la droite \(D\) qui a pour représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{lcl}x&=&\phantom{-}3 - \phantom{3}t \\ y&=&-2 + 3t \\ z&=&\phantom{-}1 + 4t\end{array},\, t \in \mathbb{R}\right.\) et le plan \(P\) qui a pour équation cartésienne : \(2x -3y + z - 6 = 0\).

  1. Affirmation : La droite \(\mathrm{D}'\), qui a pour représentation paramétrique

    \(\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-6 t \\ z=9-8 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.\), est parallèle à la droite \(D\).

  2. On admet que les points \(A(-2 ~;~ 3 ~;~ 1)\), \(B(1~;~ 3 ~;~-4)\) et \(C(6 ~;~ 3 ~;~ 9)\) ne sont pas alignés.

    Affirmation : La droite \(D\) est orthogonale au plan défini par les trois points \(A\), \(B\) et \(C\).

  3. Affirmation : La droite \(D\) est sécante avec la droite \(\Delta\) qui a pour représentation paramétrique :

    \[\left\{\begin{array}{lcl}x&=&-4+2 t' \\ y&=&\phantom{-}1-3 t' \\ z&=&\phantom{-}2+\phantom{2}t'\end{array} t' \in \mathbb{R}\right.\]

  4. Affirmation : Le point F\((-3~;~-3~;~3)\) est le projeté orthogonal du point \(E(-5~;~0~;~2)\) sur le plan \(P\).

  5. Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel \(a\) telle que le plan \(P'\) d'équation \(-3x + y - a^{2} z+3=0\) soit parallèle à la droite \(D\).