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Feuille d'exercices sur les limites de fonctions

DĂ©finition

Exercice 1: Vrai ou faux

  1. Si \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty\), alors:

    a. Il existe un réel \(x\) tel \(f(x) > 10^9\)

    b. Pour tout réel \(\text{A}\), il existe un réel \(m\), tel que si \(x > m\), alors \(f(x) > \text{A}\)

    c. Il existe un réel \(m\), tel que pour tout réel \(\text{A}\) si \(x > m\), alors \(f(x) > \text{A}\)

    d. \(\exists{m \in \mathbb{R}}\), tel que \(x > m \Rightarrow f(x) > 10^4\)

  2. Si \(f\) est croissante sur \({\mathbb{R}}^+\), alors \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty\)

  3. Si \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = -0.001\), alors il existe un intervalle de la forme \(\rbrack{m{; +\infty}}\lbrack\) sur lequel \(f\) est strictement négative.

  4. Si \(f\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), alors \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0\)

Exercice 2: Comprendre la définition

Traduire les limites ci-dessous Ă  l'aide d'une phrase du type Tout intervalle ... finit par contenir toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) ...

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = {+\infty}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = {-\infty}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 5\)

  4. \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = {-\infty}\)

Exercice 3: Conjecturer une limite - piéger la calculatrice

En utilisant la calculatrice ou un tableur, conjecturer la limite en \(+\infty\) des fonctions suivantes :

  1. \(f:x \mapsto {10^{-3}x^2} - {10^{2}x}\)

  2. \(g:x \mapsto \dfrac{3x^2 - 2}{10^{3}x-4}\)

  3. \(h:x \mapsto {10x^{3} - 0.01x}^{4}\)

Exercice 4: Limite et position relative par rapport Ă  une droite

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et \(\text{C}\) sa courbe représentative dans un repère \((\text{O};\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})\).

Si \(\text{C}\) se situe au-dessus de la droite d'équation \(y = 1\), les résultats suivants sont-ils possibles ?

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty\)

  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = 1\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = -\infty\)

  4. \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = +\infty\)

Limite en \(a\) (avec \(a\) réel)

Exercice 5: Comprendre la définition

Traduire les limites ci-dessous Ă  l'aide d'une phrase du type Tout intervalle ... finit par contenir toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) ...

  1. \({\lim\limits_{x \to 4}f(x)} = {+\infty}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = {+ 4}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to 4}f(x) = {-\infty}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = 4\)

Exercice 6: Vrai ou faux

Soit \(\text{C}\) la courbe représentative d'une fonction \(f\) dans un repère \((\text{O};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}})\).

  1. Si \({\lim\limits_{x{\to - 1}}f(x)} = {+\infty}\), alors \({d:y} = {- 1}\) est asymptote horizontale Ă  C en \(+\infty\).

  2. Si \({\lim\limits_{x{\to - 1}}f(x)} = {+\infty}\), alors \({d:y} = {- 1}\) est asymptote verticale Ă  C.

  3. Si \({\lim\limits_{x{\to - 1}}f(x)} = {+\infty}\), alors \({d:x} = {- 1}\) est asymptote verticale Ă  C.

Exercice 7: Conjecturer une limite

En utilisant la calculatrice ou un tableur, conjecturer les limites suivantes :

  1. en -1, si elle existe, de \(f:x\) \(\dfrac{3}{(x + 1)^2}\)

  2. en 9, si elle existe, de \(f:x\) \(\dfrac{x}{\sqrt{x}-3}\)

Exercice 8: Asymptotes

Soit \(\text{C}\) la courbe représentative d'une fonction \(f\) dans un repère \((\text{O};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}})\).

DĂ©duire, si possible, des limites suivantes l'Ă©quation d'une asymptote Ă  la courbe \(\text{C}\).

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = {-\infty}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = 3\)

  3. \({\lim\limits_{x \to{1 -}}f(x)} = {+\infty}\)

  4. \({\lim\limits_{x \to 4}f(x)} = {-\infty}\)

  5. \({\lim\limits_{x \to 2}f(x)} = 3\)

  6. \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = 5\)

Opérations sur les limites

Exercice 9 : Vrai ou faux

  1. Si \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = -\infty\) , alors \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1\)

  2. Si \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = -\infty\), alors \(\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)} \times {g(x)} = +\infty\)

  3. Si \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = -\infty\) , alors \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0\)

Exercice 10 : Calculs de limites

DĂ©terminer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x} + x + \dfrac{1}{x}\right)\)

  2. \(\lim\limits_{x \to 0^+}\left(3-\dfrac{1}{x}\right)\left(\dfrac{1}{x^2} + 3x\right)\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(3 - \dfrac{1}{x}\right)\left(\dfrac{1}{x^2} + 3x\right)\)

  4. \(\lim\limits_{x \to 2^-}\dfrac{x^3}{6 - 3x}\)

  5. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(2x + 1 + \dfrac{1}{x^2}\right)\)

  6. \(\lim\limits_{x \to -\infty}(4 - x^2)(2x - 4)\)

  7. \(\lim\limits_{x \to 4^+}\left(3x - 1 + \dfrac{1}{x - 4}\right)\)

  8. \(\lim\limits_{x \to 0}\left(x^2 - \dfrac{1}{x^2}\right)\)

  9. \(\lim\limits_{x \to 2^+}\left(4 - x^{2} + \dfrac{4}{4 - x^2}\right)\)

  10. \(\lim\limits_{x \to -\infty}\left(3 - \dfrac{2}{1 - 2x}\right)\)

Exercice 11 : Formes indéterminées

  1. Donner deux fonctions \(f\) et \(g\) vérifiant \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = {+\infty}\) et \({\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)} = {+\infty}\) telles que :

    a. \(\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x) - g(x)) = 0\)

    b. \(\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x) - g(x)) = -\infty\)

    c. \(\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x) - g(x)) = 3\)

  2. Donner deux fonctions \(f\) et \(g\) vérifiant \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = 0\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty}g(x) = +\infty\) telles que :

    a. \(\lim\limits_{x \to -\infty}(f(x)g(x)) = 0\)

    b. \(\lim\limits_{x \to -\infty}(f(x)g(x)) = 3\)

    c. \(\lim\limits_{x \to -\infty}(f(x)g(x)) = -\infty\)

  3. Donner deux fonctions \(f\) et \(g\) vérifiant \({\lim\limits_{x \to 0}f(x)} = 0\) et \(\lim\limits_{x \to 0}g(x) = 0\) telles que:

    a. \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0\)

    b. \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 3\)

    c. \(\dfrac{f}{g}\) n'a pas de limite finie en 0.

Exercice 12 : Logique

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}^{+*}\) . On a \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0\). Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?

  1. Pour que \(\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x)g(x)) = 0\), il faut que \(\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = 0\).

  2. Pour que \(\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x)g(x)) = 0\), il suffit que \(\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = 0\).

Exercice 13 : Fonctions polynĂ´mes

Propriété :

En \(+\infty\) et en \(-\infty\) un polynôme a même limite que son monôme de plus haut degré

  1. Montrer la propriété ci-dessus pour le polynôme \(\text{P}(x) = -8x^3 + 14x^2 + 8x + 4\)

  2. DĂ©terminer les limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\) des polynĂ´mes : \(\text{Q}(x) = \dfrac{x^5}{4} - \dfrac{x^3}{2}\) et \(\text{R}(x) = 1 - 4x + 5x^2\)

Exercice 14 : Fonctions rationnelles

Propriété :

En \(+\infty\) et en \(-\infty\) une fonction rationnelle a même limite que la fonction formée par le quotient des monômes de plus haut degré.

  1. Montrer la propriété ci-dessus pour la fonction rationnelle

    \[f(x) = \dfrac{3x + 2}{4x^2 - 5}\]

  2. DĂ©terminer les limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\) des fonctions rationnelles :\({g(x)} = \dfrac{x^3-4x^2-5}{2x^3-5}\) et \(h(x) = \dfrac{(x - 5)^4}{(3x^2 - 5)^2}\).

Exercice 15 : Changement de forme - Asymptotes

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)-{4} par \(f(x) = \dfrac{6x - 25}{2x - 8}\).

  1. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout \(x \neq 4\), \(f(x) = a + \dfrac{b}{2x - 8}\).

  2. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.

  3. En déduire les équations des éventuelles asymptotes à \(\text{C}_{f}\) la courbe représentant \(f\) dans un repère orthogonal \((\text{O};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}})\).

Exercice 16 : Asymptotes

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)-{-2;2} par \(f(x) = \dfrac{3x-7}{x^2-4}\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.

  2. En déduire les équations des éventuelles asymptotes à \(\text{C}_{f}\) la courbe représentant \(f\) dans un repère orthogonal \((\text{O};\overrightarrow{\phantom{.}i\phantom{.}},\overrightarrow{\phantom{.}j\phantom{.}})\).

Exercice 17 : DĂ©terminer a, b et c

Soit \(f:x \mapsto a + \dfrac{b}{x - c}\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels et dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

Tableau

  1. En observant le tableau, quel réel parmi \(a\), \(b\) et \(c\) peut-on obtenir sans calcul ? Le donner.

  2. À partir de l'expression \(f(x) = a + \dfrac{b}{x - c}\), déterminer \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)\) . Quel deuxième réel cherché obtient-on ?

  3. Déterminer le troisième réel cherché et vérifier les réponses en traçant la courbe représentative de \(f\).

Exercice 18 : Lever l'indétermination

Déterminer les limites suivantes, après avoir levé l'indétermination :

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}(x - \sqrt{x})\)

  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2x + \sqrt{x}}{x + 2}\)

Limite d'une fonction composée

Exercice 19 : Calculs de limites

DĂ©terminer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{\dfrac{9x + 2}{x - 3}}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty}\sqrt{\dfrac{9x + 2}{x - 3}}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to 3^{+}}\sqrt{\dfrac{9x + 2}{x - 3}}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to 5^{+}}\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}\)

  5. \(\lim\limits_{x \to -\infty}\sqrt{-x^3 + 2x^2 - 7}\)

  6. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^{\frac{1}{x} + 2}\)

Exercice 20 : Lever l'indéterminée

Déterminer les limites suivantes, après avoir levé l'indéterminée :

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}(2x - \sqrt{x^2 + 3})\) (factoriser par \(x\))

  2. \(\lim\limits_{x \to -\infty}(2x - \sqrt{x^2 + 3})\) (factoriser par \(x\))

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty}(x - \sqrt{x^2 + 1})\) (penser à l'expression conjuguée)

Théorèmes de comparaison

Exercice 21 : Vrai ou faux

  1. Si pour tout réel \(x \leqslant 0\), \(f(x) \geqslant x^2\), alors \(\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty\).

  2. Si pour tout réel \(x \geqslant 0\), \(f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}\), alors \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0\).

  3. Si pour tout réel \(x \geqslant 1\), \(1 \leqslant f(x) \leqslant x\) , alors \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x^2} = 0\).

Exercice 22 : Limite par encadrement

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) telle que pour tout réel \(x \neq 0\), \({3 - \dfrac{1}{x^2}} \leqslant {f(x)} \leqslant {3 + \dfrac{1}{x^2}}\).

DĂ©terminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Exercice 23

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) telles que pour tout réel \(x \neq 0\), \(\dfrac{f(x)}{x^2} \geqslant \dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{g(x)}{x} \geqslant \dfrac{1}{5}\).

Quelle(s) limite(s) peut-on déduire pour les fonctions \(f\) et \(g\) ?

Exercice 24 : Deux méthodes

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(f(x) = \sqrt{x^{2} + x}\).

  1. Déterminer une fonction \(g\) telle que pour tout réel \(x \geqslant 0\), \(f(x) \geqslant g(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = +\infty\). En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

  2. Retrouver cette limite en utilisant la limite d'une fonction composée.

Exercice 25

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) telle que pour tout réel \(x\), \(x \leqslant f(x) \leqslant {x + 1}\).

  1. a. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). b. Peut-on grâce aux hypothèses dire si \(f\) admet une limite en \(0\) et si oui laquelle ?

  2. DĂ©terminer la limite de la fonction \(x \mapsto \dfrac{f(x)}{x}\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Exercice 26

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left\lbrack {5{; +\infty}}\lbrack \right.\) par \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 5}}{x}\).

  1. DĂ©montrer que pour tout \(x \geqslant 5\), \(0 \leqslant {f(x)} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) (aide : \(0 \leqslant {x - 5} \leqslant x\) )

  2. En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

Avec la fonction exponentielle

Exercice 27 : Calculs de limites

DĂ©terminer les limites suivantes :

  1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x-x^2\)

  2. \(\lim\limits_{x \to +\infty}3\text{e}^x-4x^4+x-5\)

  3. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}-x^4}{2x^3-5\text{e}^x}\)

  4. \(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x-2x\)

  5. \(\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{\text{e}^x-x^4}{2-5\text{e}^x}\)

  6. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^{x^2-2x+1}\)

  7. \(\lim\limits_{x \to +\infty}x\text{e}^{-x^2}\)

  8. \(\lim\limits_{x \to +\infty}(x+1)\text{e}^{-\frac{1}{2}x}\)

Exercice 28 - une formule oubliée...

DĂ©terminer les limites suivantes:

  1. \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\text{e}^{x}-1}{3x}\)

  2. \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}\)

  3. \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\text{e}^{2x}}{1-e^{3x}}\)