Feuille d'exercices sur la représentation paramétrique d'une droite de l'espace

Exercice 1 : Vrai ou faux ?

Soit la droite \(d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\y = - 3t \\z = 2 - t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)

\(d\) passe par \(\text{A}(- 1;0;2)\)
\(d\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\phantom{.}u\phantom{.}}\begin{pmatrix}- 1 \\0 \\2 \end{pmatrix}\)
\(d\) passe par \(\text{B}(1;-3;-1)\)
\(d\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\phantom{.}v\phantom{.}}\begin{pmatrix}- 2 \\3 \\1 \end{pmatrix}\)
\(d\) est parallèle à \(d':\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2k \\ y = 1 + 3k \\ z = k \end{matrix} \right.\), \(k \in {\mathbb{R}}\)
\(d\) coupe l'axe des ordonnées.
\(d\) coupe l'axe des cotes au point \(\text{C}(3; - 6;0)\).

Exercice 2 : Éléments caractéristiques

Donner les éléments caractéristiques des droites suivantes :

\(d:\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = 2 - 6t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)
\(d':\left\{ \begin{matrix} x = 3t - 4 \\ y = 1 - 3t \\ z = - t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)

Exercice 3 : Droite, segment, demi-droite

Soit \(\text{A}(2;1;4)\), \(\text{B}(1;0;-2)\) , \(\text{C}(-2;0;0)\) et \(\text{D}(0;5;6)\)

Donner des représentations paramétriques de la droite \(\text{(AB)}\), du segment \(\text{[CD]}\) et de la demi-droite \(\text{[BC)}\).

Exercice 4 : Appartient ou pas ?

Soit \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)

Dire si les points suivants appartiennent ou pas à la droite \(d\) : \(\text{A}(2; - 1; - 3)\) , \(\text{B}(0; - 3;6)\), \(\text{C}(1; - 3;3)\) et \(\text{D}(3;1; - 3)\)

Exercice 5 : Droites sécantes ?

Soit \(d:\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\ y = 2 - t \\ z = 2t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\) et \(d':\left\{ \begin{matrix}x = 1 - 2s \\ y = - s \\z = - 1 + s\end{matrix} \right.\) , \(s \in {\mathbb{R}}\)

Montrer que \(d\) et \(d'\) ne sont pas parallèles.
Donner deux points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) de la droite \(d\).
Donner deux points \(\text{C}\) et \(\text{D}\) de la droite \(d'\).
Montrer que \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) et \(\text{D}\) ne sont pas coplanaires.
Que peut-on en déduire pour ces deux droites ?

Exercice 6 : Avec le centre de gravité

On considère les points \(\text{A}(1;2;3)\), \(\text{B}(-1;0;1)\) et \(\text{C}(2;1;-1)\).

Déterminer les coordonnées du centre de gravité \(\text{G}\) du triangle \(\text{OBC}\).
Donner une représentation paramétrique de la droite \(\text{(AG)}\).
Quelle est la valeur du paramètre correspondant à chacun des points suivants :

\(\text{A}\) ? le milieu \(\text{M}\) de \(\text{[AG]}\) ? le symétrique \(\text{S}\) de \(\text{M}\) par rapport à \(\text{A}\) ?

Exercice 7 : Avec le milieu d'un segment

Donner une représentation paramétrique de la droite \(d\) passant par le point \(\text{A}(6;1;1)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{\phantom{.}u\phantom{.}}\begin{pmatrix}1 \\2 \\-1\end{pmatrix}\).
Donner une représentation paramétrique de la droite \(d'\) passant par le point \(\text{B}(3;-3;- 6)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{\phantom{.}v\phantom{.}}\begin{pmatrix}{- 1} \\1 \\2\end{pmatrix}\).
Montrer qu'il existe \(\text{C} \in d\) et \(\text{D} \in {d'}\) tels que le milieu de \(\text{[CD]}\) soit le point \(\text{I}(1;-2;3)\).

Exercice 8 : Droites confondues

Soit \(d:\left\{ \begin{matrix}x = -1-5t \\y=-3+t\\z = 4t\end{matrix} \right.\), \(t \in {\mathbb{R}}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix}x = 9 + 10t \\y =- 5 - 2t \\z = - 8 - 8t\end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)

Montrer que les droites \(d\) et \(d'\) sont confondues.

Exercice 9 : Droites parallèles

Soit \(d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 3t \\ y = -3 + t \\ z = 2 - 2t \end{matrix} \right.\), \(t \in {\mathbb{R}}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 9t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 3 - 6t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)

Montrer que les droites \(d\) et \(d'\) sont strictement parallèles.

Exercice 10 : Droites sécantes

Soit \(d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + t \end{matrix} \right.\), \(t \in {\mathbb{R}}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - t \\ z = 3 + 4t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)

Montrer que les droites \(d\) et \(d'\) sont sécantes.

Exercice 11 : Droites non coplanaires

Soit \(d:\left\{ \begin{matrix} x = -3 + t \\ y = t \\ z = 1 + 3t \end{matrix} \right.\), \(t \in {\mathbb{R}}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 2t \\ z = 8 - 3t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)

Montrer que les droites \(d\) et \(d'\) ne sont pas coplanaires.

Exercice 12 : Droites concourantes

On considère les droites : \(d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 3 + t \\ z = 1 + 2t \end{matrix} \right.\), \(t \in {\mathbb{R}}\) , \(d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 2t \\ z = - 5 - 4t \end{matrix} \right.\), \(t \in {\mathbb{R}}\) et \(d_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 4t \\ y = 1 + 4t \\ z = 1 \end{matrix} \right.\), \(t \in {\mathbb{R}}\)

Montrer que ces trois droites sont concourantes en un point dont on déterminera les coordonnées.
Ces droites sont-elles coplanaires ?

Exercice 13 : Droites et fonction

Soit \(d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = -3 - 4t \\ z = 1 \end{matrix} \right.\), \(t \in {\mathbb{R}}\) et \({d'}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = 4 + 3t \end{matrix} \right.\) , \(t \in {\mathbb{R}}\)

Montrer que \(d\) et \(d'\) sont sécantes en un point \(\text{A}\) dont on déterminera les coordonnées.
Montrer que \(\text{B}(- 1;2;3)\) n'appartient pas au plan défini par les droites \(d\) et \(d'\).
À tout point de paramètre \(t\) de \(d\), on associe la fonction \(f\) définie par \(f(t) = {\text{BM}^2}\).

Calculer \(f{(t)}\) et déterminer la valeur \(t_{0}\) pour laquelle \(f{(t)}\) est minimale.

Que représente le point H de paramètre \(t_{0}\) de \(d\) ?