REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE DES DROITES DE L'ESPACE

L'espace est muni d'un repère \(({O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}})\)

Propriété

Soit \(d\) la droite de l'espace passant par le point \(A\) de coordonnées \(({x_{A};y_{A};z_{A}})\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix} \lambda \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}\).

Un point \(M\) de coordonnées \((x;y;z)\) appartient à \(d\) si, et seulement si il existe un réel \(k\) tel que : \(\left\{ \begin{matrix} x = x_{A} + k \lambda \\y = y_A + k \beta \\ z = z_A + k\gamma \end{matrix} \right.\)

Preuve : immédiat

\(M{({x;y;z})}\) appartient à \(d\) si ,et seulement si, les vecteurs \(\overrightarrow{\mathit{AM}}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires.

Or \(\overrightarrow{\mathit{AM}}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\mathit{AM}} = {k\overrightarrow{u}}\)

En traduisant cette dernière égalité à l'aide des coordonnées, on obtient le résultat cherché.

Remarque :

À chaque réel \(k\) correspond un unique point \(M\) de la droite.

Réciproquement, à chaque point \(M\) de la droite correspond un unique réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\mathit{AM}} = {k\overrightarrow{u}}\).

Définition

Soit \(d\) la droite de l'espace passant par le point \(A\) de coordonnées \(({x_{A};y_{A};z_{A}})\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix}\lambda \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}\)

\(\left\{ \begin{matrix}x = x_{A} + k\lambda \\ y = y_A + k\beta \\ z = z_A + k\gamma\end{matrix} \right.\) \(,k \in {\mathbb{R}}\) est une représentation paramétrique de la droite \(d\).

Le paramètre \(k\) peut être remplacé par n'importe quelle autre lettre distincte de \(x\), \(y\) et \(z\). On utilise souvent la lettre \(t\).

Remarques :

• Si \(\lambda\) , \(\beta\) et \(\gamma\) sont trois réels non nuls simultanément, le système \(\left\{ \begin{matrix} x = a + k \lambda \\ y = b + k \beta \\ z = c + k \gamma \end{matrix} \right.\) est une représentation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées \((a;b;c)\) et de vecteur directeur \(\begin{pmatrix} \lambda \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}\).

• Il n'y a pas unicité de la représentation paramétrique d'une droite de l'espace.

Représentations paramétriques d'un segment et d'une demi-droite :

Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts de l'espace. En considérant le vecteur directeur \(\overrightarrow{\text{AB}}\), l'appartenance d'un point \(\text{M}\) au segment \(\left\lbrack \text{AB} \right\rbrack\) ou bien à la demi-droite \(\text{[AB)}\) s'obtient en adaptant l'énoncé de la conclusion ci-dessus :

• pour le segment, il suffit de remplacer dans le système : \(«k \in \mathbb{R}»\) par \(«k \in {\left\lbrack {0;1} \right\rbrack »}\).
• pour la demi-droite \(\text{[AB)}\) , il suffit de remplacer dans le système : \(«k \in {\mathbb{R}}»\) par \(«k \in \left\lbrack 0; + \infty\lbrack \right.»\).