Aller au contenu

Feuille d'exercices sur les limites de suites

Limites de suites : les différents cas possibles

Exercice 1: Vrai ou Faux

  1. Si l'intervalle \(\rbrack{2,999;3,001}\lbrack\) contient tous les termes de la suite \((u_{n})\) Ă  partir d'un certain rang alors \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_{n}} = 3\).

  2. S'il existe un intervalle ouvert ne contenant pas une infinité de termes de la suite \((u_{n})\), alors \((u_{n})\) ne converge pas vers \(L\).

  3. Si tout intervalle de la forme \(\rbrack{\text{A}{; + \infty}}\lbrack\), oĂą \(\text{A} \in {\mathbb{R}}\), contient au moins un terme \(u_{n}\) avec \(n \geqslant 100\), alors \((u_{n})\) tend vers +\(\infty\).

  4. Si tout intervalle de la forme \(\rbrack{ {- \infty};\text{B}}\lbrack\), oĂą \(\text{B} \in {\mathbb{R}}\), contient tous les termes de la suite \((u_{n})\) pour \(n \geqslant 100\), alors \((u_{n})\) tend vers \(-\infty\).

  5. Si \((u_{n})\) prend un nombre fini de valeurs, alors \((u_{n})\) converge.

  6. Une suite peut avoir plusieurs limites.

  7. Si une suite ne converge pas, alors sa limite est +\(\infty\) ou -\(\infty\).

Exercice 2: Logique

  1. Soit la proposition \((P_1)\) : « toute suite qui tend vers \(- \infty\) est majorée »

    a. \((P_1)\) est-elle vraie ?

    b. La réciproque de \((P1)\) est-elle vraie ?

  2. Soit la proposition \((P_2)\) : « toute suite qui tend vers +\(\infty\) n'est pas majorée »

    a. \((P_2)\) est-elle vraie ?

    b. La réciproque de \((P_2)\) est-elle vraie ?

Exercice 3: Calculatrice

Soit \((s_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(s_n=-n^2+1000n\).

  1. À l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, afficher les 100 premiers termes de cette suite. Conjecturer le comportement de la suite \((s_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

  2. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-x^2+ 1000x\).

  3. Que penser de la conjecture Ă©tablie Ă  la question 1. ? Expliquer.

Exercice 4

Soit \((w_n)\) la suite définie pour tout entier naturel non nul par:

\[w_n=1+\dfrac{1}{n}\]
  1. DĂ©terminer Ă  la calculatrice le premier entier \(N\) tel que \(w_N \in ]0,9;1,1[\)

  2. Justifier que \(\lvert w_n-1\rvert<0,1\) si et seulement si \(w_n\) appartient à \(]0,9;1,1[\), puis résoudre, pour \(n\) entier naturel non nul, l'inéquation \(\lvert w_n-1 \rvert<0,1\).

  3. Soit \(r\) un réel strictement positif.

    a. Montrer qu'il existe un entier \(N\) tel que \(\lvert w_N-1 \rvert <r\).

    b. Justifier alors que, pour tout \(n \geqslant N\) :

    \[\lvert w_n- 1 \rvert <r\]

    c. Que vient-on de démontrer?

Exercice 5: Suite positive Ă  partir d'un certain rang

Montrer que toute suite qui converge vers 0,1 est strictement positive Ă  partir d'un certain rang.

Opérations sur les limites

Exercice 6: Utiliser les opérations sur les limites

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite \((u_{n})\).

  1. \(u_{n} = { { {- 2}n^{2}} + \dfrac{\text{e}}{n}}\)

  2. \(u_{n} = {300 - {n^{2}\sqrt{2}}}\)

  3. \(u_{n} = { {({2 + \dfrac{3}{n}})}{({5 - \dfrac{1}{n^{3}}})}}\)

  4. \(u_{n} = \dfrac{1}{ {({ {2n} + 1})}{({ { {- n}^2} - 9})}}\)

  5. \(u_{n} = \dfrac{n + 2}{\dfrac{1}{\sqrt{n}} - 3}\)

  6. \(u_{n} = \dfrac{2 + \dfrac{3}{n}}{5 - \dfrac{2}{n^{2}}}\)

  7. \(u_{n} = \dfrac{5n^{2}}{10 - { {({2 + \dfrac{1}{n}})}{({5 + \dfrac{1}{n}})}}}\)

Exercice 7: Lever une indétermination

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite \((u_{n})\).

  1. \(u_{n} = {\dfrac{n^{5}}{5} - \dfrac{n^{2}}{2} - \text{e}}\)

  2. \(u_{n} = { {\dfrac{1}{2}n^4} - {2n^{3}} + {5n^{2}} - \dfrac{1}{4}}\)

  3. \(u_{n} = \dfrac{n^{2} - {3n} + 1}{n^{2} + 4}\)

  4. \(u_{n} = \dfrac{9 - {n^2}}{ {({ {3n} + 2})}{({ {2n} + 1})}}\)

  5. \(u_{n} = {\sqrt{n} - n}\)

  6. \(u_{n} = \dfrac{\sqrt{n}}{n + \sqrt{n}}\)

  7. \(u_{n} = {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}\)

Exercice 8 : Trouver des suites

  1. Dans chacun des cas suivant trouver deux suites \(u\) et \(v\) ayant pour limite \(+\infty\) telles que :

    a. \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({u_{n} - v_{n}})}} = {+ \infty}\)

    b. \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({u_{n} - v_{n}})}} = {- \infty}\)

    c. \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({u_{n} - v_{n}})}} = 1\)

    d. \(u - v\) n'a pas de limite.

  2. Dans chacun des cas suivant trouver deux suites \(u\) et \(v\) vérifiant \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_{n}} = {+ \infty}\) et \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v}_{n} = 0\) , telles que :

    a. \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({u_{n}v_{n}})}} = {+ \infty}\)

    b. \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({u_{n}v_{n}})}} = 0\)

    c. \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({u_{n}v_{n}})}} = 1\)

    d. \(uv\) n'a pas de limite.

Exercice 9: Raisonnement par l'absurde

Soit \((u_{n})\) et \((v_{n})\) deux suites définies sur \(\mathbb{N}\). On suppose que \((u_{n})\) est convergente et \((v_{n})\) est divergente . Soit \((w_{n})\) la suite définie par \(w_{n} = {u_{n} + v_{n}}\).

  1. Montrer que la suite \((w_{n})\) est divergente.

  2. Soit \((u_{n})\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_{n} = { {({- 1})}^{n} + \dfrac{1}{n^{2} + 1}}\).

    DĂ©montrer que \((u_{n})\) est divergente.

Limites et comparaison

Exercice 10: Théorème de comparaison ou d'encadrement

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite \((u_{n})\).

  1. \(u_{n} = \dfrac{3\sin{(n)}}{n^{2}}\)

  2. \(u_{n} = \dfrac{3 + {({- 1})}^{n}}{n^{2} + \sqrt{n}}\)

  3. \(u_{n} = { {3{({- 1})}^{n}} + n}\)

  4. \(u_{n} = {\dfrac{2\cos{(n)}}{n} + \dfrac{\sin{(n)}}{2n}}\)

  5. \(u_{n} = \dfrac{ {5n} + {({- 1})}^{n + 1}}{ {2n} + {({- 1})}^{n}}\)

  6. \(u_{n} = { {- {3n}^{3}} + {3\cos{(\dfrac{1}{n})}}}\)

Exercice 11: Avec la fonction exponentielle

On considère la suite  \((u_{n})\)  définie par \(u_{0} = \dfrac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = \dfrac{\text{e}^{u_{n}}}{n + 2}\)

  1. Montrer que, pour tout entier naturel  \(n\), on a \(0 < u_{n} \leqslant 1\)

  2. En déduire que, pour tout entier naturel  \(n\), \(0 < u_{n + 1} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n + 2}\)

  3. Montrer que la suite \((u_{n})\) converge.

Exercice 12: SĂ©ries

  1. Soit \((u_{n})\) la suite définie sur \({\mathbb{N}}^*\) par \(u_{n} = {\sum\limits_{k = 1}^{n}\dfrac{n}{n^{2} + k}}\)

    a. Montrer que pour tout entier naturel \(n \in {\mathbb{N}}^*\),\(\dfrac{n^2}{n^{2} + n} \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{n^2}{n^{2} + 1}\)

    b. DĂ©terminer la limite de la suite \((u_{n})\).

  2. Soit \((v_{n})\) la suite définie sur \({\mathbb{N}}^*\) par \(v_{n} = {\sum\limits_{k = 1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{n + k}}}\)

    a. Montrer que pour tout entier naturel \(n \in {\mathbb{N}}^*\), \(v_{n} \geqslant \sqrt{\dfrac{n}{2}}\)

    b. DĂ©terminer la limite de la suite \((v_{n})\).

Limite d'une suite géométrique

Exercice 13

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite \((u_{n})\).

  1. \((u_{n})\) est une suite arithmétique de raison \(\dfrac{1}{4}\).

  2. \(u_{n} = {1,00001^{n}}\)

  3. \(u_{n} = {3 + {(\dfrac{11}{12})}^{n}}\)

  4. \(u_{n} = {({- \dfrac{8}{5}})}^{n}\)

  5. \(u_{n} = { {({- \dfrac{1}{7}})}^{n} + {(\dfrac{11}{12})}^{n}}\)

  6. \(u_{n} = {\sum\limits_{k = 0}^{n}{(\dfrac{5}{4})}}^{k}\)

  7. \(u_{n} = \dfrac{ {({- 1})}^{n}}{3^{n}}\)

  8. \(u_{n} = \dfrac{\text{e}^{n} - 4^{n}}{4^{n} - 1}\)

  9. \(u_{n} = \dfrac{2^{n + 1} + 5^{2n}}{5^{ {2n} - 3}}\)

Exercice 14: Nombre rationnel

  1. Soit \((u_{n})\) la suite définie sur \({\mathbb{N}}^*\) par \(u_{n} = {3,777777}\)... (\(n\) chiffres 7). On a donc \(u_{1} = {3,7}\) , \(u_{2} = {3,77}\) ...

    Montrer que la limite de \((u_{n})\) est un nombre rationnel.

  2. Montrer que \(2,47474747...\) est un nombre rationnel.

Convergence de suites monotones

Exercice 15: Vrai ou faux

  1. Si \((u_{n})\) converge vers \(\text{L}\) et si pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} > 2\), alors \(\text{L} > 2\).

  2. Si \((u_{n})\) est une suite positive telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} \leqslant n\), alors la suite \((u_{n})\) converge.

  3. Toute suite croissante et non majorée tend vers +\(\infty\).

  4. Toute suite croissante et minorée est convergente.

  5. Toute suite qui tend vers +\(\infty\) est croissante Ă  partir d'un certain rang.

  6. Toute suite décroissante et minorée par 0 a pour limite 0.

  7. Toute suite convergente est monotone.

  8. Toute suite qui converge vers 0 est soit croissante et négative, soit décroissante et positive.

Exercice 16: Étudier une suite monotone minorée

\((u_{n})\) est la suite définie par \(u_{0} = 10\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = { {\dfrac{2}{5}u_{n}} + 3}\).

  1. Montrer que la suite est minorée par \(5\).

  2. Montrer que \((u_{n})\) est décroissante.

  3. En déduire que \((u_{n})\) est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 17: Étudier une suite décroissante non minorée

\((u_{n})\) est la suite définie par \(u_{0} = 2\) et, pour tout entier naturel \({n,u_{n + 1}} = { {- {(u_{n})}^{2}} + u_{n} - 1}\).

  1. Montrer que \((u_{n})\) est décroissante.

  2. Montrer que \((u_{n})\) n'est pas minorée. (raisonnement par l'absurde)

  3. En déduire la limite de la suite \((u_{n})\).

Exercice 18

\((u_{n})\) est la suite définie par \(u_{0} = 5\) et, pour tout entier naturel \(n\),\(u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 12}\).

  1. Étude de la convergence de \((u_{n})\).

    a. Montrer que , pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} \geqslant 4\).

    b. Montrer que \((u_{n})\) est décroissante.

    c. Que peut-on déduire des questions précédentes ?

  2. DĂ©termination de la limite de \((u_{n})\).

    a. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1} - 4} \leqslant {\dfrac{1}{8}{({u_{n} - 4})}}\)

    b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leqslant {u_{n} - 4} \leqslant \dfrac{1}{8^{n}}\)

    c. En déduire la limite de \((u_{n})\).

Exercice 19

On considère la suite \((u_{n})\) définie sur \({\mathbb{N}}^*\) par \(u_{n} = {n!}\).

  1. Montrer que \((u_{n})\) est croissante.

  2. Monter que \((u_{n})\) n'est pas majorée.

  3. En déduire la limite de \((u_{n})\).

Algorithme - Python

Exercice 20: MĂ©thode de Newton-Raphson

  1. Introduction :

    Dans un repère orthonormé \(({\text{O};\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}})\), on considère la fonction \(f\) définie par \({f{(x)}} = {x^{3} + {x - 3}}\) et sa courbe représentative \(\text{C}_{f}\) représentée ci-dessous.

    On constate que \(\text{C}_{f}\) coupe l'axe des abscisses en un unique point d'abscisse \(\alpha\) dont nous allons déterminer une valeur approchée.

    a. Tracer la tangente \(\text{T}_{x_{0}}\) Ă  \(\text{C}_{f}\) au point d'abscisse \(x_{0}\)=\(\dfrac{3}{2}\).

    \(\text{T}_{x_{0}}\) coupe l'axe des abscisses en un unique point A .

    DĂ©terminer l'abscisse \(x_{1}\) de \(\text{A}\) .

    b. Tracer la tangente \(\text{T}_{x_{1}}\) à \(\text{C}_{f}\) au point d'abscisse \(x_{1}\) . \(\text{T}_{x_{1}}\) coupe l'axe des abscisses en un unique point B d'abscisse \(x_{2}\). Que dire de \(x_{2}\) ?

  2. Mise en place de l'algorithme :

    Revenons sur le cas général.

    Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \({f{(x)}} = 0\) admette une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\) et telle que la dérivée ne s'annule pas.

    On note \(\text{C}_{f}\) sa courbe représentative et \(x_{0}\) un réel.

    a. DĂ©terminer l'Ă©quation de la tangente \(\text{T}_{x_{0}}\) Ă  \(\text{C}_{f}\) au point d'abscisse \(x_{0}\).

    b. DĂ©montrer que l'abscisse \(x_{1}\) du point d'intersection \(\text{A}_{1}\) de \(\text{T}_{x_{0}}\) avec l'axe des abscisses vaut \(x_{1} = {x_{0} - \dfrac{f{(x_{0})}}{ {f'}{(x_{0})}}}\) .

    On peut alors répéter ce procédé en remplaçant \(x_{0}\) par la nouvelle abscisse \(x_{1}\), et ainsi obtenir la suite \((x_{n})\) des réels \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) ... de plus en plus proche de \(\alpha\).

    c. On s'intéresse à nouveau à la fonction \(f\) définie par \({f{(x)}} = {x^{3} + x - 3}\).

    Compléter les pointillés dans le programme suivant écrit en Python pour qu'il affiche les valeurs la suite \((x_{n})\) jusqu'à \(n = 10\) .

    from math import
    N=int(input("N="))
    x_0=float(input("x_0="))
    def f(x):
    return (..................)
    def f_prime(x):
    return (..................)
    def MethodeNewton(x_0, N):
        x=..................
        for i in range(..................):
            x.append(.................)
            return x
        print(MethodeNewton(x_0,N))
    

    Tester ce programme pour différente valeur de \(x_{0}\). Que constatez-vous ?

    d. On se propose maintenant pour éviter les calculs inutiles de stopper le programme quand la différence entre deux termes consécutifs de la suite est inférieure à une précision \(p\).

    Pour cela, compléter les pointillés dans le programme ci-dessous :

    from math import *
    x_0=float(input("x_0="))
    p=float(input("p="))
    def f(x):
        return (..................) 
    def f_prime(x):
        return (..................)
    def MethodeNewton(x_0,p):
        x=..................
        i=..................
        x.append(x[0] - f(x[0])/f_prime(x[0]))
        while (....................................>p):
        i=...............
        x.append(....................................)
        return x
    print(MethodeNewton(x_0,p))
    
  3. Application

    Déterminer les fonctions à utiliser pour déterminer avec ce programme des valeurs approchées à \(10^{- 10}\) près de \(\pi\), \(\text{e}\), \(\sqrt{2}\) et du nombre d'or \(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (solution de \(x^{2} = {x + 1}\) ), puis déterminer ces valeurs approchées.

    Attention :

    Dans le cas où l'équation \({f{(x)}} = 0\) admet plusieurs solutions, il faut choisir une valeur de \(x_{0}\) proche de la solution attendue, afin que l'algorithme converge bien vers cette solution. Il faut aussi tout faire pour que la dérivée ne s'annule pas ...