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Feuille d'exercices sur les droites et plans de l'espace

Positions relatives

Exercice 1: Vrai ou faux

Dans l'espace :

  1. Trois droites concourantes (qui se coupent en un même point) sont coplanaires.

  2. Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles entre elles.

  3. Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux.

  4. Une droite et un plan parallèles à une même droite sont parallèles entre eux.

  5. Une droite et un plan parallèles à un même plan sont parallèles entre eux.

Pour les exercices 2, 3 et 4, on considère le cube ci-dessous:

Cube

Exercice 2: Entre deux droites

Dans chacun des cas, donner la position des droites :

  1. \(\text{(AB)}\) et \(\text{(CG)}\)
  2. \(\text{(AF)}\) et \(\text{(GH)}\)
  3. \(\text{(AC)}\) et \(\text{(FH)}\)
  4. \(\text{(CE)}\) et \(\text{(DF)}\)
  5. \(\text{(BH)}\) et \(\text{(AE)}\)

Exercice 3 : Entre une droite et un plan

Dans chacun des cas, donner la position de la droite et du plan :

  1. \(\text{(AB)}\) et \(\text{(CDH)}\)
  2. \(\text{(AC)}\) et \(\text{(BDF)}\)
  3. \(\text{(BG)}\) et \(\text{(CDE)}\)
  4. \(\text{(AG)}\) et \(\text{(CFH)}\)
  5. \(\text{(BC)}\) et \(\text{(FAD)}\)
  6. \(\text{(AB)}\) et \(\text{(ACD)}\)

Exercice 4: Entre deux plans

Dans chacun des cas, donner la position des plans :

  1. \(\text{(ABC)}\) et \(\text{(EGH)}\)
  2. \(\text{(ABG)}\) et \(\text{(CDE)}\)
  3. \(\text{(CAF)}\) et \(\text{(DGH)}\)
  4. \(\text{(FHC)}\) et \(\text{(BDE)}\)
  5. \(\text{(FAH)}\) et \(\text{(BCG)}\)

Exercice 5: Dans un tétraèdre

Tétraèdre

Dans chacun des cas, étudier les positions des droites et plans.

  1. \(\text{(EB)}\) et \(\text{(CD)}\)
  2. \(\text{(EC)}\) et \(\text{(BCD)}\)
  3. \(\text{(EBC)}\) et \(\text{(ECD)}\)
  4. \(\text{(EC)}\) et \(\text{(BD)}\)

Exercice 6 : Dans une pyramide - intersections

Pyramide

Soit \(\text{SABCD}\) une pyramide à base carrée. \(\text{O}\) est le centre du carré \(\text{ABCD}\).

  1. Déterminer l'intersection de \(\text{(SAB)}\) et \(\text{(SBC)}\).
  2. Déterminer l'intersection de \(\text{(SAC)}\) et \(\text{(SBD)}\).
  3. Étudier la position de \(\text{(SB)}\) et \(\text{(AC)}\).
  4. Déterminer l'intersection de \(\text{(SAB)}\) et \(\text{(SCD)}\).

On pourra utiliser le théorème du toit:

Si \(\text{P}\) et \(\text{P'}\) deux plans sécants contiennent deux droites parallèles \(\Delta\) et \(\Delta'\), alors l'intersection de \(\text{P}\) et \(\text{P'}\) est une droite parallèle à \(\Delta\) et \(\Delta'\).

Exercice 7

Dans le cube ci-dessous, \(\text{M}\), \(\text{N}\) et \(\text{P}\) sont les milieux respectifs de \(\text{[CD]}\), \(\text{[EH]}\) et \(\text{[BF]}\).

Cube

Dans chacun des cas, étudier les positions relatives de :

  1. \(\text{(MN)}\) et \(\text{(GH)}\)
  2. \(\text{(MP)}\) et \(\text{(DF)}\)
  3. \(\text{(NP)}\) et \(\text{(CDG)}\)
  4. \(\text{(EM)}\) et \(\text{(BFG)}\)
  5. \(\text{(AMN)}\) et \(\text{(BCG)}\)
  6. \(\text{(MPG)}\) et \(\text{(ADE)}\)

Exercice 8: Droites coplanaires

Dans le cube de l' Exercice 7 on note \(\text{I}\) le milieu de \(\text{[CG]}\).

Dire si les droites sont coplanaires ou non ?

  1. \(\text{(BC)}\) et \(\text{(EH)}\)
  2. \(\text{(AG)}\) et \(\text{(BH)}\)
  3. \(\text{(AG)}\) et \(\text{(EI)}\)
  4. \(\text{(BH)}\) et \(\text{(EI)}\)

Exercice 9: Utilisation des symboles mathématiques

On considère le cube de l' Exercice 7 .

Compléter, en utilisant les symboles \({} \in {}\), \({} \notin {}\), \({} \subset {}\) et \({} \not\subset {}\).

  1. \(\text{N}\) ... \(\text{(EH)}\)
  2. \(\text{A}\) ... \(\text{(EPM)}\)
  3. \(\text{(BM)}\) ... \(\text{(ABC)}\)
  4. \(\text{(PD)}\) ... \(\text{(EFD)}\)
  5. \(\text{B}\) ... \(\text{(EGP)}\)
  6. \(\text{M}\) ... \(\text{(NDC)}\)
  7. \(\text{(MN)}\) ... \(\text{(EHD)}\)
  8. \(\text{F}\)... \(\text{(ENG)}\)

Exercice 10: Sections de solides

Dans chacun des cas, déterminer la section du solide par le plan \(\text{(MNP)}\).

C'est à dire (quand elles existent) les intersections avec chacune des faces du solide donné.

Tétraèdre\(\quad\quad\quad\quad\)Cube

Exercice 11: Intersections et points alignés

Soit un tétraèdre \(\text{ABCD}\), de sommet \(\text{A}\). Les points \(\text{I}\) et \(\text{J}\) appartiennent respectivement aux arêtes \(\text{[AB]}\) et \(\text{[AC]}\) de telle sorte que \(\text{(IJ)}\) et \(\text{(BC)}\) ne soient pas parallèles.

  1. Déterminer l'intersection de \(\text{(IJ)}\) et de \(\text{(BCD)}\).

    Tétraèdre

  2. En déduire l'intersection des plans \(\text{(DIJ)}\) et \(\text{(BCD)}\).

  3. Que devient cette intersection si \(\text{(IJ)}//\text{(BC)}\) ?

  4. Soit maintenant un point \(\text{K}\) sur \(\text{[AD]}\) , de telle sorte que \(\text{(IK)}\) et \(\text{(BD)}\) ne soient pas parallèles.

On note \(\text{M}\), \(\text{N}\) et \(\text{P}\) les intersections respectives de \(\text{(IJ)}\) et \(\text{(BC)}\), de \(\text{(IK)}\) et \(\text{(BD)}\) et de \(\text{(JK)}\) et \(\text{(CD)}\).

Démontrer que les points \(\text{M}\), \(\text{N}\) et \(\text{P}\) sont alignés.

Exercice 12: Droites parallèles

Dans un cube \(\text{ABCDEFGH}\), le point \(\text{M}\) appartient à l'arête \(\text{[AB]}\) et le point \(\text{N}\) est l'intersection de la droite \(\text{(AD)}\) avec le plan \(\text{(FHM)}\).

Démontrer que \(\text{(FH)}//\text{(MN)}\).

Exercice 13

Soit le parallélépipède suivant constitué de deux cubes superposés.

Pavé

  1. Déterminer l'intersection du plan \(\text{(MPB)}\) avec la droite \(\text{(NG)}\).
  2. Déterminer l'intersection du plan \(\text{(MPB)}\) avec la droite \(\text{(EN)}\).
  3. En déduire l'intersection du plan \(\text{(MPB)}\) avec le plan \(\text{(ENG)}\)
  4. Démontrer que l'intersection obtenue à la question 3 est parallèle à la droite \(\text{(EG)}\).

Exercice 14

Soit la pyramide SABCD dont la base est un parallélogramme.

\(\text{M}\) et \(\text{N}\) appartiennent au plan \(\text{(SAB)}\) et \(\text{P}\) appartient au plan \(\text{(SBC)}\).

Pyramide

  1. Déterminer l'intersection des plans \(\text{(SAB)}\) et \(\text{(SCD)}\) et l'intersection des plans \(\text{(MNP)}\) et \(\text{(SAB)}\).
  2. En déduire l'intersection des plans \(\text{(MNP)}\) et \(\text{(SCD)}\).
  3. Construire la section de la pyramide par le plan \(\text{(MNP)}\).

Vecteurs de l'espace

Dans les exercices 15 à 17, on considère la figure suivante. Sur chaque arête, on a indiqué le milieu de celle-ci.

Cube

Exercice 15 : vecteur égaux - translations

  1. Dans chaque cas, donner deux vecteurs égaux au vecteur donné :

    a. \(\overrightarrow{\text{BF}}\quad\) b. \(\overrightarrow{\text{BC}}\quad\) c. \(\overrightarrow{\text{BM}}\quad\) d. \(\overrightarrow{\text{IL}}\quad\) e. \(\overrightarrow{\text{OL}}\)

  2. Dans chaque cas, déterminer:

    a. l'image de \(\text{d}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AF}}\).

    b. l'image de \(\text{I}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{LP}}\).

    c. l'image de \(\text{d}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{PN}}\).

Exercice 16 : Trouver le point manquant - combinaisons linéaires

Compléter les égalités suivantes en utilisant les points de la figure :

\(\overrightarrow{\text{A...}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AD}}\) \(\overrightarrow{\text{B...}} = \overrightarrow{\text{BC}} + \overrightarrow{\text{BF}}\) \(\overrightarrow{\text{B...}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{BC}} + \overrightarrow{\text{CG}}\)
\(\overrightarrow{\text{I...}} = - \overrightarrow{\text{IA}}\) \(\overrightarrow{\text{...H}} = \overrightarrow{\text{BD}} + \overrightarrow{\text{BF}}\) \(\overrightarrow{\text{A...}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{BF}} - \overrightarrow{\text{BA}}\)
\(\overrightarrow{\text{B...}} = 2 \overrightarrow{\text{EQ}}\) \(\overrightarrow{\text{B...}} = \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{DH}}\) \(\overrightarrow{\text{B...}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BC}} + \overrightarrow{\text{BF}}\)
\(\overrightarrow{\text{H...}} = -2 \overrightarrow{\text{BI}}\) \(\overrightarrow{\text{B...}} = \overrightarrow{\text{CK}} + \overrightarrow{\text{DH}}\) \(\overrightarrow{\text{L...}} = \overrightarrow{\text{HG}} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{CP}}\)

Exercice 17 : Décomposer un vecteur dans une base

Décomposer les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AC}}\), \(\overrightarrow{\text{BP}}\), \(\overrightarrow{\text{AG}}\) et \(\overrightarrow{\text{MC}}\) dans la base \(({\overrightarrow{\text{DA}},\overrightarrow{\text{DH}},\overrightarrow{\text{DC}}})\)

Exercice 18 : Relation de Chasles

Soit \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) et \(\text{D}\) quatre points non coplanaires de l'espace.

Montrer que \({\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{DB}}} = {\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}}}\)

Exercice 19 : Représenter des combinaisons linéaires

Sur la figure ci-dessous, représenter les points :

a. \(\text{I}\) défini par \(\overrightarrow{\text{AI}} = \overrightarrow{\text{BF}} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{BC}}\)

b. \(\text{J}\) défini par \(\overrightarrow{\text{AJ}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AE}}\)

c. \(\text{K}\) image de \(\text{I}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{EB}}\)

d. \(\text{L}\) défini par \(\overrightarrow{\text{DL}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{DA}} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{DC}} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{DH}}\)

e. \(\text{M}\) image de \(\text{C}\) par la translation de vecteur \(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AE}}\)

Cube

Points alignés, parallélisme

Exercice 20 : Alignement

Soit \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) trois points non alignés et les points \(\text{D}\) et \(\text{E}\) définis par :

\(\overrightarrow{\text{AD}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{BE}} = 3 \overrightarrow{\text{AC}} - 2\overrightarrow{\text{AB}}\)

En exprimant les vecteurs \(\overrightarrow{\text{CD}}\) et \(\overrightarrow{\text{CE}}\) comme une combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\), montrer que \(\text{C}\), \(\text{D}\) et \(\text{E}\) sont alignés.

Exercice 21 : Parallélisme de droites et vecteurs directeurs

Dans le triangle \(\text{ABC}\), \(\text{I}\) est le milieu du segment \(\text{[AC]}\) et les points \(\text{D}\) et \(\text{E}\) sont définis par \(\overrightarrow{\text{AD}} = 3 \overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{BE}} = 2 \overrightarrow{\text{BC}}\).

  1. Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{\text{BI}}\) et \(\overrightarrow{\text{DE}}\) comme une combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{\text{BA}}\) et \(\overrightarrow{\text{BC}}\).

  2. En déduire que \(\overrightarrow{\text{BI}}\) est un vecteur directeur de \(\text{(DE)}\).

    Peut-on en déduire pour les droites \(\text{(BI)}\) et \(\text{(DE)}\) ?

Exercice 22 : Points alignés

Dans l'espace, on considère les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) non alignés et \(\text{D}\) et \(\text{E}\) tels que \(\overrightarrow{\text{AD}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{AB}} - \dfrac{2}{3} \overrightarrow{\text{BC}}\) et \(\overrightarrow{\text{AE}} = x \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}}\).

Déterminer la valeur du réel \(x\) pour que les points \(\text{A}\), \(\text{D}\) et \(\text{E}\) soient alignés.

Vecteurs coplanaires - bases des vecteurs de l'espace

Exercice 23

On considère la figure suivante.

Cube

  1. Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AE}}\), \(\overrightarrow{\text{AG}}\) et \(\overrightarrow{\text{EG}}\) sont-ils coplanaires ?
  2. Démontrer que \(\overrightarrow{\text{AB}}\), \(\overrightarrow{\text{FH}}\) et \(\overrightarrow{\text{EG}}\) sont coplanaires.
  3. Démontrer que \(\overrightarrow{\text{DH}}\), \(\overrightarrow{\text{AH}}\) et \(\overrightarrow{\text{FH}}\) forment une base.
  4. Montrer que les points \(\text{M}\),\(\text{P}\) et un point quelconque \(\text{Q}\) sont coplanaires.
  5. Montrer que \(\overrightarrow{\text{MN}}\), \(\overrightarrow{\text{PB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont coplanaires.

  6. Montrer que \(\overrightarrow{\text{NP}}\), \(\overrightarrow{\text{BG}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont coplanaires.

  7. Déterminer la décomposition des vecteurs ci-dessous dans la base \((\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}})\)

    a. \(\overrightarrow{\text{DG}}\quad\quad\) b. \(\overrightarrow{\text{BH}}\quad\quad\) c. \(\overrightarrow{\text{AG}}\)

Exercice 24 : Bases des vecteurs de l'espace

Soit \(({\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}})\) une base des vecteurs de l'espace et les vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) définis par :

\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} -\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}\), \(\overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}\) et \(\overrightarrow{w} = 3 \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}\).

  1. Montrer que \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires.

  2. Peut-on trouver des réels \(\text{A}\) et \(\text{B}\) tels que \(\overrightarrow{w} = a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v}\) ?

  3. Peut-on dire que \((\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\) est une base ?

Exercice 25 : Points coplanaires ?

Soit un tétraèdre \(\text{ABCD}\), \(\text{I}\) le milieu de \(\text{[AB]}\) et \(\text{J}\) le milieu de \(\text{[AC]}\).

On construit les points \(\text{E}\) et \(\text{F}\) tels que \(\overrightarrow{\text{CE}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{BC}}\) et \(\overrightarrow{\text{AF}} = \overrightarrow{\text{DE}}\).

  1. Déterminer la nature des quadrilatères \(\text{ECIJ}\) et \(\text{ADEF}\).

  2. Démontrer que \(2\overrightarrow{\text{DJ}} - \overrightarrow{\text{DF}} = \overrightarrow{\text{JI}}\).

  3. Que peut-on en déduire pour les vecteurs \(\overrightarrow{\text{DI}}\), \(\overrightarrow{\text{DJ}}\) et \(\overrightarrow{\text{DF}}\) ?

  4. Que peut-on en déduire pour les points \(\text{D}\), \(\text{I}\), \(\text{J}\) et \(\text{F}\) ?

Exercice 26 : Parallélisme de plans et vecteurs directeurs

Soit un tétraèdre \(\text{ABCD}\) et les points \(\text{E}\) et \(\text{F}\) définis par :

\(\overrightarrow{\text{BE}} = {\overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BC}} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{CD}}}\) et \(\overrightarrow{\text{DF}} = \overrightarrow{\text{DB}} + \overrightarrow{\text{DA}} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\text{BC}}\)

  1. En exprimant \(\overrightarrow{\text{AE}}\) et \(\overrightarrow{\text{AF}}\) dans la base \((\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{CD}})\), démontrer que \(\text{A}\), \(\text{E}\) et \(\text{F}\) ne sont pas alignés.

  2. Démontrer que les plans \(\text{(BCD)}\) et \(\text{(AEF)}\) sont parallèles.

Repères de l'espace

Dans les exercices 27 à 29, on considère la figure suivante.

Cube

Exercice 27 : Calculs de coordonnées

Dans le cube ci-contre, \(\text{M}\), \(\text{N}\), \(\text{P}\) et \(\text{I}\) sont les milieux respectifs de \(\text{[CD]}\), \(\text{[EH]}\), \(\text{[BF]}\) et \(\text{[CG]}\).

On considère le repère \((\text{D};\overrightarrow{\text{DA}},\overrightarrow{\text{DC}},\overrightarrow{\text{DH}})\).

Dans chacun des cas suivants, déterminer les coordonnées :

  1. Des points \(\text{E}\), \(\text{P}\), \(\text{I}\) et \(\text{B}\).

  2. Des vecteurs \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{DA}}\), \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{IB}}\) et \(\overrightarrow{w} = \overrightarrow{\text{BH}}\).

  3. Du centre de la face \(\text{EHDA}\).

  4. Du centre \(\Omega\) du cube.

  5. Du vecteur \(\overrightarrow{t} = 2 \overrightarrow{u} - 3 \overrightarrow{v}\) et du vecteur \(\overrightarrow{p} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\)

Exercice 28 : Milieux et points alignés

Déterminer les coordonnées des points \(\text{S}\) et \(\text{T}\) milieux respectifs des segments \(\text{[NP]}\) et \(\text{[HB]}\).

Les point \(\text{S}\), \(\text{T}\) et \(\text{C}\) sont-ils alignés ?

Exercice 29 : Recherche des coordonnées d'un point

Déterminer les coordonnées du point \(\text{Q}\) défini par \(\overrightarrow{\text{QP}} + \overrightarrow{\text{QN}} = \overrightarrow{\text{BG}}\)

Dans les exercices qui suivent, on considère un repère \((\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) de l'espace.

Exercice 30: Droite et plan parallèles ?

Soit les points \(\text{A}(-2;2; - 1)\), \(\text{B}(2;0;3)\), \(\text{C}(-2;0;0)\), \(\text{D}(0;-4;1)\) et \(\text{E}(-2;-1;-2)\)

  1. Montrer que \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) définissent un plan.

  2. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{DE}}\) et celles du vecteur \(- \overrightarrow{\text{AB}} - 2\overrightarrow{\text{AC}}\).

  3. Que peut-on en déduire pour ces deux vecteurs et pour la droite \(\text{(DE)}\) ?

Exercice 31 : Droite et plan parallèles ?

Soit les points \(\text{A}(2;3;-1)\), \(\text{B}(1;3;4)\), \(\text{C}(0;1;-3)\) , \(\text{D}(2;0;0)\) et \(\text{E}(-2;-2;8)\) .

  1. Montrer que \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) définissent un plan.

  2. Peut-on trouver deux réels \(x\) et \(y\) tels que \(\overrightarrow{\text{DE}} = x \overrightarrow{\text{AB}}+ y \overrightarrow{\text{AC}}\).

  3. Que peut-on en déduire pour la droite \(\text{(DE)}\) ?

Exercice 32 : Points coplanaires ?

Soit les points \(\text{A}(0;1;-1)\), \(\text{B}(2;1;0)\) , \(\text{C}(-3;-1;1)\) et \(\text{D}(7;3;-1)\).

  1. Montrer que les points \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) ne sont pas alignés.

  2. Calculer les coordonnées du vecteur \(2 \overrightarrow{\text{AB}} - \overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{AD}}\).

  3. Que peut-on en déduire pour les points \(\text{A}\), \(\text{B}\) , \(\text{C}\) et \(\text{D}\) ?

Exercice 33 : Base des vecteurs de l'espace ?

Soit \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-2\\3 \\-1\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1 \\-1\\-2\end{pmatrix}\) ,\(\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}4 \\-2\\-18\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{t}\begin{pmatrix}-3\\1 \\-1\end{pmatrix}\).

  1. Peut-on trouver deux réels \(x\) et \(y\) tels que \(\overrightarrow{w} = x \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{v}\) ?

  2. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{t}\) sont linéairement indépendants.

    Forment-ils une base des vecteurs de l'espace ?

Exercice 34 : Points coplanaires ?

Dans chacun des cas, étudier si les points sont coplanaires ou non.

  1. \(\text{A}(4;5;2)\) , \(\text{B}(-3;-1;7)\), \(\text{C}(9;5;-3)\) et \(\text{D}(1;2;0)\).

  2. \(\text{A}(1;2;3)\) , \(\text{B}(1;3;2)\), \(\text{C}(2;1;3)\) et \(\text{D}(2;3;1)\)

Exercice 35 : Droites parallèles ou sécantes  ?

Soit les points \(\text{A}(2;1;5)\), \(\text{B}(4;2;4)\) , \(\text{C}(3;3;5)\) et \(\text{D}(0;3;7)\).

  1. Montrer que \(\text{(AD)}\) et \(\text{(BC)}\) sont parallèles.

  2. Montrer que \(\text{(AB)}\) et \(\text{(CD)}\) sont sécantes.