LIMITES DE SUITES
Étudier la limite d'une suite \((u_{n})\), c'est examiner le comportement des termes \(u_{n}\) lorsque \(n\) prend des valeurs de plus en plus grandes vers \(+ \infty\).
1. LES DIFFÉRENTS CAS POSSIBLES
Soit une suite \((u_{n})\).
cas 1
Exemple
\({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}n}^{2}={+ \infty}\)
Intuitivement, si « \(u_n\) est aussi grand que l'on veut dès que \(n\) est assez grand » , alors on dit que la suite \((u_{n})\) a pour limite \(+ \infty\).
On note : \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_{n}} = {+ \infty}\)
De manière plus mathématique :
Si tout intervalle de la forme \(\rbrack{A{; + \infty}}\lbrack\) contient toutes les valeurs \(u_{n}\) à partir d'un certain rang alors \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_{n}} = {+ \infty}\)
cas 2
Exemple
\(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}} - n^{2} = {- \infty}\)
Intuitivement, si les termes \(u_{n}\) finissent par être négatifs et « si \(u_n\) est aussi grand que l'on veut en valeur absolue dès que \(n\) est assez grand », alors on dit que la suite \((u_{n})\) a pour limite \(-\infty\).
On note : \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={-\infty}\)
De manière plus mathématique :
Si tout intervalle de la forme \(\rbrack{ {- \infty};A}\lbrack\) contient toutes les valeurs \(u_{n}\) à partir d'un certain rang alors \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={-\infty}\).
Remarque
\({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={-\infty}}\Leftrightarrow {\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}-u_n={+ \infty}}\)
cas 3 (suite convergente)
Exemple
\({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}} \dfrac{1}{n}} = 0\)
Soit \(L\) un réel donné.
Intuitivement, dire que \((u_{n})\) a pour limite \(L\) , signifie que lorsque \(n\) est de plus en plus grand, « les nombres \(u_{n}\) correspondants viennent s'accumuler autour de \(L\)».
On note : \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n=L\)
De manière plus mathématique :
Si tout intervalle ouvert contenant \(L\) contient toutes les valeurs \(u_{n}\) à partir d'un certain rang, alors on peut écrire \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n=L\)
Remarque
Si une suite \((u_{n})\) a une limite finie \(L\) , alors la limite \(L\) est unique.
cas 4
Aucun des trois cas ne se produit.
Exemple
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n}={({-1})}^{n}\) prend les valeurs 1 et -1.
Ainsi \((u_{n})\) n'a pas pour limite \(+ \infty\) , n'a pas pour limite \(-\infty\) et n'a pas pour limite un réel.
Remarque
Une suite qui ne converge pas est divergente. (cas 1 , cas 2 , cas 4)
2. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
Les théorèmes qui suivent, présentés sous forme de tableaux, sont admis.
Pour la plupart d'entre eux , ils sont naturels mais ... comme souvent en mathématiques, il y a quelques cas particuliers.
On note par un point d'interrogation « ? » les cas où il n'y a pas de conclusion générale.
On dit qu'il s'agit de cas de formes indéterminées . Ces cas nécessiteront une étude particulière chaque fois qu'ils se présenteront.
Limite de la suite de terme général \(k \times u_{n}\) (où \(k\) est un réel donné)
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n\) | \(L\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) |
|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{k\times u_{n}}\) (avec \(k > 0\)) | \(kL\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) |
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{k\times u_{n}}\) (avec \(k < 0\)) | \(kL\) | \(- \infty\) | \(+ \infty\) |
Exemple
Soit la suite \((w_{n})\) définie par \(w_{n}=5n^2\)
On a \(w_{n}={5u_{n}}\) où \(u_{n}=n^2\)
Comme \(5 > 0\) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={+ \infty}\), on en déduit que \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}w_n={+ \infty}\)
Limite de la suite de terme général \(u_{n} + v_{n}\)
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n\) | \(L\) | \(L\) | \(L\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | \(+ \infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n\) | \(L'\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | \(- \infty\) |
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({u_{n} + v_{n}})}\) | \(L+L'\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | ??? |
Exemple
Soit la suite \((w_{n})\) définie pour \(n\in{\mathbb{N}}^*\) par \({ {w_{n}=5}\mathit{n^2}} + \dfrac{1}{n}\)
On a \(w_{n}={u_{n} + v_{n}}\) où \(u_{n}={5n^{2}}\) et \(v_{n}= \dfrac{1}{n}\)
Comme \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={+ \infty}\) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n=0\), on en déduit que \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}w_n={+ \infty}\)
Limite de la suite de terme général \(u_{n} \times v_{n}\)
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n\) | \(L\) | \(L>0\) | \(L>0\) | \(L<0\) | \(L<0\) | \(+ \infty\) | \(+ \infty\) | \(- \infty\) | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n\) | \(L'\) | \(+ \infty\) | \(-\infty\) | \(+ \infty\) | \(-\infty\) | \(+ \infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+ \infty\) ou \(-\infty\) |
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({u_{n}\times v_{n}})}\) | \(L\times{L'}\) | \(+ \infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+ \infty\) | \(+ \infty\) | \(-\infty\) | \(+ \infty\) | ??? |
Exemple
Soit la suite \((w_{n})\) définie pour \(n\in{\mathbb{N}}^*\) par \(w_{n}={ {-n^{2}}\times{({5{n^{2} + \dfrac{1}{n}}})}}\)
On a \(w_{n}={u_{n}\times v_{n}}\) où \(u_{n}={-n^{2}}\) et \(v_{n}={ {5n}^{2} + \dfrac{1}{n}}\)
Comme \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_{n}={-\infty}\) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_{n}={+ \infty}\), on en déduit que \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}w_{n}={-\infty}\)
Limite de la suite de terme général \(\dfrac{u_{n}}{v_{n}}\)
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_{n}\) | \(L\) | \(L\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) ou \(-\infty\) | \(L>0\) ou \(+\infty\) | \(L>0\) ou \(+\infty\) | \(L<0\) ou \(-\infty\) | \(L<0\) ou \(-\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_{n}\) | \(L'\) | \(+\infty\) ou \(-\infty\) | \(L'>0\) | \(L'<0\) | \(L'>0\) | \(L'<0\) | \(+\infty\) ou \(-\infty\) | \(0^+\) | \(0^-\) | \(0^+\) | \(0^-\) | \(0\) |
| \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}\dfrac{u_n}{v_n}\) | \(\dfrac{L}{L'}\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | ??? | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | ??? |
Remarque
« 0 en restant négative ou positive » signifie qu'il existe \(n_{0}\in{\mathbb{N}}^*\) tel que pour tout \(n > n_{0}\), \((v_{n})\) garde un signe constant.
On note \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n=0^{\text{+}}\) pour indiquer que \((v_n)\) tend vers 0 en restant positive.
On note \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n=0^-\) pour indiquer que \((v_n)\) tend vers 0 en restant négative.
Exemple
Soit la suite \((w_{n})\) définie pour \(n\in{\mathbb{N}}^*\) par \(w_{n}= \dfrac{5{n^{2} + \dfrac{1}{n}}}{ \dfrac{1}{n}}\)
On a \(w_{n}= \dfrac{u_{n}}{v_{n}}\) où \(u_{n}={ {5n^{2}} + \dfrac{1}{n}}\) et \(v_{n}= \dfrac{1}{n}\)
Comme \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={+ \infty}\) et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n=0^{\text{+}}\), on en déduit que \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}w_n={+ \infty}\)
3. LIMITES ET COMPARAISON
Propriété
Soit deux suites \((u_{n})\) et \((v_{n})\).
Si \(u_{n} < v_{n}\) à partir d'un certain rang et si \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n = {+ \infty}\) alors \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n = {+ \infty}\)
Si \(u_{n} < v_{n}\) à partir d'un certain rang et si \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n = {- \infty}\) alors \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n = {- \infty}\)
Preuve du premier point : exigible
Soit \(M > 0\) et l'intervalle \(\rbrack{M{; + \infty}}\lbrack\).
On a \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={+ \infty}\) , il existe donc \(n_{0}\in{\mathbb{N}}\) tel que, si \(n > n_{0}\) , alors \(u_{n}\in{\rbrack{M{; + \infty}}\lbrack}\).
De plus, il existe \(n_{1}\in{\mathbb{N}}\) tel que si \(n > n_{1}\), alors \(u_{n} < v_{n}\).
On note \(N\) le maximum de \(n_{0}\) et \(n_{1}\).
On en déduit que, si \(n > N\) , alors \(v_{n}\in{\rbrack{M{; + \infty}}\lbrack}\).
Ce résultat est vrai pour tout intervalle \(\rbrack{M{; + \infty}}\lbrack\) . Donc \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n={+ \infty}\)
Le deuxième résultat se démontre de la même façon.
Exemple
Soit la suite \((w_{n})\) définie par \({w_{n}={n-\sin}}{(n)}\)
Pour tout \(n\in{\mathbb{N}}\), on a \({-1} \leqslant { {-\sin}{(n)}}\), donc \({ {n-1} \leqslant {n-\sin}}{(n)}\)
Comme \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({n-1})}}={+ \infty}\), on en déduit que \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({ {n-\sin}{(n)}})}}={+ \infty}\)
Propriété
Soit une suite \((u_{n})\) croissante telle que \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n=L\), alors tous les termes de la suite \((u_{n})\) sont inférieurs ou égaux à \(L\).
Soit une suite \((u_{n})\) décroissante telle que \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n=L\), alors tous les termes de la suite \((u_{n})\) sont supérieurs ou égaux à \(L\).
Preuve du premier point : exigible
Raisonnons par l'absurde :
Supposons, qu'il existe \(n_{0}\in{\mathbb{N}}\) tel que \(u_{n_{0}} > L\).
Considérons alors l'intervalle ouvert centré sur \(L\) :
\(I={ {\rbrack{ {L-{({u_{n_{0}}-L})}};{L + {({u_{n_{0}}-L})}}}\lbrack}={\rbrack{2{L-u_{n_{0}}};u_{n_{0}}}\lbrack}}\)
Comme \((u_{n})\) est croissante, pour tout \(n > n_{0}\), \(u_{n}\geq u_{n_{0}}\) et \(u_{n}\notin I\).
On a donc trouvé un intervalle ouvert contenant \(L\) qui ne contient pas toutes les valeurs \(u_{n}\) à partir d'un certain rang \(n\).
La supposition de départ est donc fausse et pour tout \(n\in{\mathbb{N}}\), \(u_{n} \leqslant L\).
Théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement : admis
Soit \((u_{n})\) , \((v_{n})\) et \((w_{n})\) trois suites vérifiant à partir d'un certain rang \(u_{n} \leqslant {w_{n} \leqslant v_{n}}\)
Si \((u_{n})\) et \((v_{n})\) sont deux suites convergentes de même limite \(L\) , alors la suite \((w_{n})\) est convergente et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}w_n=L\).
4. LIMITE DE LA SUITE \((q^{n})\) où \(q\in{\mathbb{R}}\)
Propriété
Soit \(q\in{\mathbb{R}}\).
-
Si \({-1} < q < 1\) , alors \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}q}^{n}=0\)
-
Si \(q=1\) , alors pour tout \(n\) , \(q^{n}=1\) et donc \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}q}^{n}=1\)
-
Si \(q > 1\) , alors \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}q}^{n}={+ \infty}\)
-
Si \(q \leqslant {-1}\) , alors la suite \((q^n)\) est divergente
Preuve du troisième point : exigible
-
Soit \(a > 0\) . On a montré par récurrence que pour tout entier \(n\), \({({1 + a})}^{n} \geq {1 + \mathit{na}}\)
-
Montrons que si \(q > 1\) , alors \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}q}^{n}={+ \infty}\)
On a \(q > 1\), on peut donc écrire \(q={1 + a}\) où \(a > 0\).
Ainsi pour tout \(n\in{\mathbb{N}}\), on a \(q^{n}={({1 + a})}^{n}\)
On a alors pour tout \(n\in{\mathbb{N}}\), \(q^{n} \geq {1 + \mathit{na}}\)
Or, comme \(a > 0\), \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}{({1 + \mathit{na}})}}={+ \infty}\)
On en déduit donc que \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}q}^{n}={+ \infty}\)
Exemple
La suite \((u_{n})\) définie par \(u_{n}=2^{n}\) est une suite géométrique de raison 2 supérieur à 1 ; elle est donc divergente et \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={+ \infty}\) .
Remarque
On en déduit facilement la limite d'un suite géométrique de terme général \(u_{0}q^{n}\).
Exemple
Soit \((v_{n})\) La suite définie par \({v_{n}={ {-5}\times 2^{n}}}={ {-5}\times u_{n}}\) où \(u_{n}=2^{n}\).
On a vu que \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_n={+ \infty}\); on en déduit que \(\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}v_n={-\infty}\).
5. CONVERGENCE DE SUITES MONOTONES
Définitions : rappels
-
Une suite \((u_{n})\) est majorée s'il existe un réel \(M\) tel que pour tout entier naturel \(n\) , on ait \(u_{n} \leqslant M\).
-
Une suite \((u_{n})\) est minorée s'il existe un réel \(m\) tel que pour tout entier naturel \(n\) , on ait \(u_{n} \geq m\).
-
Une suite \((u_{n})\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Comme pour les fonctions, on dit que \(M\) (respectivement \(m\)) est un majorant (respectivement minorant) de la suite.
Propriété
-
Toute suite croissante majorée est convergente.
-
Toute suite décroissante minorée est convergente.
Remarque
-
La propriété permet de justifier qu'une suite est convergente, mais elle ne permet pas de donner la limite.
-
Si une suite est majorée par \(M\), sa limite, si elle existe, est nécessairement inférieure ou égale à \(M\).
-
Lorsqu'une suite définie par récurrence est convergente, la relation de récurrence permet de déterminer une relation vérifiée par la limite.
Exemple
Soit une suite \((u_{n})\) vérifiant la relation de récurrence \(u_{n + 1}={ {3u}_{n} + 5}\) .
Si \((u_{n})\) est convergente, alors sa limite \(L\) vérifie la relation : \({L={ {3L} + 5}}\Leftrightarrow{L={- \dfrac{5}{2}}}\)
Attention : Cette relation ne permet en aucun cas d'affirmer que cette suite est convergente, c'est à dire qu'il faudra d'abord prouver que la suite converge avant de l'utiliser.
Si \(u_{0}={- \dfrac{5}{2}}\) , la suite est convergente (c'est une suite constante) et si \(u_{0}\neq{- \dfrac{5}{2}}\) la suite n'est pas convergente.
Elle a pour limite \(+ \infty\) ou \(-\infty\).
Propriété
-
Toute suite croissante non majorée a pour limite \(+ \infty\).
-
Toute suite décroissante non minorée a pour limite \(-\infty\).
Preuve du premier point : exigible
Soit \((u_{n})\) une suite croissante non majorée. Soit \(A\) un réel strictement positif.
La suite \((u_{n})\) n'est pas majorée, il existe donc un entier \(n_{0}\) tel que \(u_{n_{0}} > A\).
Or la suite \((u_{n})\) est croissante . Ainsi pour tout \(n \geq n_{0}\), on a \(u_{n} \geq {u_{n_{o}} > A}\).
Ainsi pour tout \(n \geq n_{0}\), \(u_{n}\in{\rbrack{A{; + \infty}}\lbrack}\) .
Tout intervalle de la forme \(\rbrack{A{; + \infty}}\lbrack\) contient donc tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, et par conséquent \({\lim\limits_{n{\rightarrow + \infty}}u_{n}}={+ \infty}\)
On démontre d'une façon similaire qu'une suite décroissante non minorée a pour limite \(-\infty\).
Remarque
Une suite non majorée n'a pas nécessairement pour limite \(+ \infty\). Une telle suite a des termes aussi grands que l'on veut puisqu'elle n'est pas majorée, mais elle n'a pas nécessairement tous ses termes aussi grands que l'on veut à partir d'un certain rang.
Exemple
On peut citer la suite \((u_{n})\) définie par \(u_n=n \times ((-1)^{n}+1)\)
